四种命题与充要条件

1、常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有 一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解 析几何、数列等知识综合在一起考查 .2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基 础知识和基本技能，题目难度中等偏下1命题的定义用语言、 符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫 真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1) 原命题为“若 p则 q”，则它的逆命题为若 q 则 p；否命题为若 p则 q；逆否命题为若 q 则 p.(2) 原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价四种

2、命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为 反面情况处理，即 ，可以转化为判断它的逆否命题的真假命题真假判断的方法：(1) 对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出 一个反例(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表(3) 也可以利用 “互为逆否命题 ”的等价性，判断其逆否命题的真假3充分条件与必要条件的定义(1) 若 p?q 且 q p，则 p 是 q 的充分非必要条件(2) 若 q?p且 p q，则 p是 q 的必要非充分条件(3) 若 p?q且 q?p，则 p是q的充要条件(4) 若 p q 且 q p，则

3、p 是 q 的非充分非必要条件设集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，则有(1) 若 A?B，则 p是 q的充分条件，若 A B，则 p 是q的充分不必要条件；(2) 若 B?A，则 p是 q的必要条件，若 B A，则 p 是q的必要不充分条件；(3) 若 AB，则 p是 q 的充要条件；(4) 若 A?B，且 B?A，则 p 是q 的既不充分也不必要条件来源：网络转载2充分、必要条件的判定方法(1) 定义法，直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2) 传递法(3) 集合法：若p以集合 A的形式出现， q以集合 B的形式出现， 即A x| p( x) ，B x| q(

4、 x) ， 则若 A?B，则 p是q的充分条件；若 B?A，则 p是 q的必要条件；若 AB，则 p是q的 充要条件(4) 等价命题法：利用 A?B与 B? A，B?A与 A? B， A?B与 B? A的等价关系，对于条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可 以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础1简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pqpqp或 qp且 q（p 或 q）（p 且 q）p或qp 且q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2.全称量

5、词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的” 等(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某 个”“有的”等3全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题 4命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p 或 q 的否定：非 p 且非 q； p 且 q 的否定：非 p 或非 q. 注：1逻辑联结词 “或” 的含义 来源：网络转载 逻辑联结词中的 “或”的含义，与并集概念中的 “或 ”的含义相同如 “ xA 或 xB”，是指：xA 且 x?B；x?A且 xB；xA

6、且 xB 三种情况再如“p 真或 q真”是指：p真且 q假；p假且 q真；p真且 q真三种情况2命题的否定与否命题“否命题”是对原命题 “若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命 题，它既否定其条件，又否定其结论； “命题的否定 ”即“非 p”，只是否定 命题 p 的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命 题与否命题的真假无必然联系3含一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1 (2013 皖南八校 )命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正

7、数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数选 B.2(2012 湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理 数C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理 数答案 B解析 这是一个特称命题， 特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一 个”改为全称量词“任意一个”，故选B。2已知 a，b，cR，命题“若 a b c3，则 a2 b2c23

8、”的否命题是 ( )2 2 2A若 abc3，则 a2b2c23B若 abc3，则 a2b2c2y，则 x|y|”的逆命题来源：网络转载B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x 2 0”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 A解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题， 这是因为 x|y|，必有 xy； 对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x 5，x2 251；对于 C， 其否命题：若x1，则 x2x20，因为 x2时，x2x20，所以是假命题； 对于 D，若 x20，则 x0或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题， 故

9、选 A.2已知命题 p：?nN,2n1000，则p 为()A ?nN,2n1000B?nN,2n1000C?nN,2n 1000D?nN,2n1000解析 特称命题的否定是全称命题即 p：?xM，p(x)，则 p：?xM， p(x)故 选 A.答案 A4(2012 湖北改编 )命题“存在 x0?RQ，xQ”的否定是( )A存在 x0D/?RQ， xQB存在 x0?RQ，xD/QC任意 xD/?RQ，x3 QD任意 x ?RQ，x3D /Q答案 D解析 “存在”的否定是 “任意”，x3Q 的否定是 x3D/Q.3命题“存在 x0?RQ，xQ”的否定是“任意 x?RQ，x3D/Q”，故应选 D.

10、1(2011安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题 “所有能被 2 整除的整数都是偶数 ” 是全称命题，其否定为特称命题 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 ” 来源：网络转载2(2012 辽宁改编 )已知命题 p：对任意 x1，x2R，(f(x2)f(x1) (x2 x1)0，则p 是 ()A存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1) 0B对任意 x1，x2R，(

11、f(x2) f(x1)(x2x1)0C存在 x1， x2R，(f(x2)f(x1)(x2 x1)0D对任意 x1，x2R， (f(x2) f(x1)(x2x1)0 答案 C解析 p：存在 x1， x2R，(f(x2)f(x1)(x2 x1)1”的否定是 ()A对任意实数 x，都有 x1B不存在实数 x，使 x1C对任意实数 x，都有 x1D存在实数 x，使 x 1答案 C解析 利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数 x，使 x1”的否定是“对任意实数 x，都有 x1”故选 C. 11给出以下三个命题： 若 ab0，则 a0或 b0； 在 ABC中，若 sinAsinB，则 AB； 在一元二

12、次方程 ax2bxc0 中，若 b24ac0 的解集为，故由 x?2x2 x 10，但 2x2 x 10D?/x，故选 A.(2)在ABC 中，由正弦定理得 sinAsinB?ab?AB.故选 B. 6下列结论： 若命题 p：存在 x R ，tanx1；命题 q：对任意 xR，x2x10.则命题“ p 且 q”是假命题；来源：网络转载 已知直线 l1：ax3y10，l2：xby10，则 l1l2 的充要条件是 3； 命题“若 x2 3x20，则 x1”的逆否命题：“若 x1，则 x23x20” 其中正确结论的序号为 答案 解析 中命题 p 为真命题，命题 q为真命题，所以 p 且q为假命题，故

13、 正确； 当 ba0 时，有 l 1 l2，故 不正确； 正确所以正确结论的序号为 . 5下列命题中正确命题的序号是 若 ac2bc2，则 ab； 若 sin sin，则 ； “实数 a 0”是“直线 x 2ay1 和直线 2x2ay1 平行”的充要条件； 若 f(x)log2x，则 f(|x|)是偶函数答案 解析 对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin30 sin150 D?/30 150， 所以错误；对于，l1l2?A1B2A2B1，即2a4a?a0 且 A1C2A2C1，所以 对；对于 显然对6已知 p(x)：x22xm0，如果 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数

14、m 的取值 范围为 答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 1 2m0，解得 m3；又因为 p(2) 是真命题，所以 4 4m0，解得 m8.故实数 m 的取值范围是 3 m0”的否定是“ ?x0 R,2x00”答案 D解析 对 A ，只有当 p，q 全是真命题时， pq 为真；对 B，sin? 2k或 2k ， kZ，故 “ sin ”是“ ”的必要不充分条件；对 C，l， ?l 或 l?；对 D，全称命题的否定是特称命题，故选 D.15给出下列四个命题： 命题“若 ，则 cos cos”的逆否命题； “ ?x0R，使得 xx00”的否定是：“ ?xR，均有 x2x0”的否定应是：

15、 “?xR，均有 x2x 0” ，故错； 对，因由“x24”得 x2，所以 “x2 4”是“x 2”的必要不充分条件，故 错； 对，p，q均为真命题，由真值表判定 p且 q为真命题，故 正确 10给出下列 命题：2 ?xR，不等式 x22x4x3 均成立； 若 log2xlogx22，则 x1； “若 ab0且 c”的逆否命题； 若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题其中真命题是 ( ) ABCD答案 A来源：网络转载 解析 中不等式可表示为 （x1）220，恒成立； 中不等式可变为 log2x 2， 得 x1；中由 ab0，得 ，而 c1，则 mx22（m1）xm30 的解集为 R

16、”的逆命题 其中真命题是 （把你认为正确命题的序号都填在横线上 ）解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假， 故错误，正确又因为不等式 mx22（m1）xm30 的解集为 R， 由?m1.故正确答案：3设 x，yR，则“ x2y29”是“ x3且 y3”的（ ）A充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件答案 B解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手如图： x2y29表示以原点为圆心， 3为半径的圆上及圆外的点，当 x2y29 时，x3 且 y3并不一定成立，当 x2，y3时，x2y29，但 x3 且y3不成立；而 x3 且 y3

17、 时， x2y29 一定成立，故选 B.一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的 形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定 是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是 判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题 为假只要举一个反例即可4“a0”是“a|0 ”的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件来源：网络转载 解析 因为 |a|0?a0 或 a0 ?|a|0，但|a|0 a0，所以 a0 是|a|0 的充分不必要条 件，故选 A.5

18、0x5 是不等式 |x2|4 成立的 ()A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 由| x2|4 ，得 2x6。0x5 是 2x6 的子集， 0x5 是不等式 |x2|4 成立 的充分不必要条件。6(2012 陕西 )设 a，bR，i 是虚数单位，则“ ab0”是“复数 a为纯虚数”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析 由 a为纯虚数可知 a0， b 0，所以 ab 0.而 ab0 a0，且 b0.故选 B 项 7(2012 重庆 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f

19、(x)为0,1上的增函数” 是“ f(x)为3,4 上的减函数”的 ( )A既不充分也不必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D充要条件解析 x 0,1 时， f( x)是增函数，又 yf(x)是偶函数， x1,0时， f(x)是减函数当 x3,4 时， x41,0， T2， f(x)f(x4)x3,4 时，f(x)是减函数，充分性成立反之： x 3,4 时， f(x)是减函数， x41,0， T2， f(x)f(x4)x1,0时， f(x)是减函数yf(x)是偶函数， x0,1时， f(x)是增函数，故选 D.8(2011 天津 )设 x，yR，则“ x2 且 y2”是“ x2y24”

20、的 ()A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 因为 x2 且 y2?x2y24 易证，所以充分性满足，反之，不成立，如xy，满足x2y24，但不满足 x2且 y 2，所以 x2 且 y2 是 x2y24 的充分而不必要条件，故选 择 A.ab9已知 a、 b 是实数，则 3a3b是 log3 a log 3b 的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件解析 由题知， 3a3b?ab，log3alog3b?0ab.故 3a3b是 log 3a”是“ 2x2x10”的()A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件3（2013福建）已知集合 A1，a，B1,2,3 ，则“ a3”是“ A?B”的（）A 充分而不