圆锥曲线基本问题

1、圆锥曲线的基本问题一、圆锥曲线的方程，参数之间的关系的问题x21椭圆 x2a2心率为（ ）2 y22 b21(ab0) 的左焦点 F到过顶点 A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于 b ，则椭圆的离77777分析 : 本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、 B的方程为x y 1 ，左焦点 F(-c,0) ，则 ab| ac b0 1|ab12 12 a2 b2a2 b2 c2b2 a2c2，化简，得 5a -14ac+8c =0 得 c 1 或 5 (舍)， 选 A. a 2 4小结: 应熟悉各 方程的标 准形式 及各参数之间的关系和 几何意义. 若 题面改 为“双曲线 x2 y

2、222ab0, a b, e的范围限制，即x y1（ab0） ”，则由“ ab0 ”这个隐含条件可知离心率22 ab a2c2-a 2 从而 1 e 2.2若双曲线的渐近线方程为3x2，则其离心率为（ ） .A 、 1313分析 : 当双曲线方程为2x2a32 y b21时，b3a线为 y ba x ，从而本题对应3若x22y21kB|k| 2、（1， + ）分析: 首先应把方程标准化，22x2y2 1k12 |k|2ak10b22或313 或 1313 或 1323其渐近线为 yb x , 当双曲线方程为aa32 ，选 D.a2 b22a2 b2或b2c1表示焦点在 y轴上的双曲线，则它的半

3、焦距的取值范围是0，1） C 、（1，2） D 、与 k有关 方程可化为22y2x21k 1 |k| 2222|k | 2 02y2a2x2 1 时，其渐近b2）. k2 c =a+b =k-1+k-2=2k-32 2-3=1 c1 ，选A.x224抛物线 y2-2by+b 2+4m-mx=0的准线与双曲线 x y1 的右准线重合，则 m的值为12 4分析 : 首先将方程化为标准方程 （y-b） 2=m（x-4） x2 y212 4而双曲线 x y1的右准线为 x=3, 抛物线顶点（ 4，b）在 x=3的右侧， 抛物线开口向右， m0, 2p=m, 焦准距（焦参数） p 2（4 3） m ,

4、m=4.25以 3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0 为渐近线，以 5y+4=0为一条准线的双曲线方程为 _ 分析: 注意两条渐近线的交点，或一条渐近线和一条对称轴的交点都是双曲线的中心3x 4y 2 03x 4y 10 02 而，中心与准线相矩 a4中心为（ 2， 1），从而准线 y 为下准线，焦点在平行于 y轴的直线上，从5( 45) 95 , 渐近线斜率为34(y 1) 2 (x 2)29 16x2y2 22b22 26若椭圆 221 (ab0) 与圆 x2y2(a2b2 )2 相交，则椭圆的离心率的取值范围为a2 b22联立，得 a=3, b=4, c=5. 方程为1.分析: 圆

5、锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式判定，一般来说应结合图形分析 由图可知圆半径 r 满足 br0) 上移动，动点 N在线段 MO的延长线上，且满足 |MN|=|MO| |NO|. 求动点 N的轨迹方程 . 解:设N坐标为 (x, y) ，过N作NN x轴于 N, M，O， N共线， |MN | |M N| x ( p) x p分析 : 以 l 1为x轴，以 MN的中垂线为 y轴建立直角坐标系，如图 .以 l 2为准线的抛物线的一部分，由题意，曲线段 C是以 N为焦点， 其中 A、 B分别为 C的端点 .由已知条件，可求方程为 y2=8x(1 5交轨法 例: 抛物线 y2=2px(p0)

6、 ，O为坐标原点， 程.x 4, y0) (过程略)A、B在抛物线上，且 OAOB，过 O作OPAB交AB于P，求P点轨迹方 方1解:设OA=y=kx, 则OB: y x，ky kx2y2px2p 2pk得 A(22p ,2p)kk2同理 B(2pk 2, -2pk)kABk2k2p 2pk 2 k1kk1 k 2 k2 kkAB: y 2pk1 k 2 y k 2 x 2pk1 k 21 k2而 op: y x k(x 2pk2)2pk31 k2 P为 AB与 OP的交点，联立11kkk1 k2k2x1 k 22pk3x 12pkk 22pk2k 2 (x 2 p) 1 k 2 1 k2ky

7、 1 k21 k2yxk(x 2p)(1)(1) (2) 消去 k,(2)|MO | |M O| p p x p |NO| x2 y2(x 0) p 所求方程为 (p 2-1)x 2+p2y2-2px-p 2=0(x0) 4直接法(直接利用曲线定义) 例:如图，直线 l1, l 2相交于 M，l1l2，点Nl1, 的距离相等，若 AMN为锐角 ，| AM | 17 ，2 2 2 y 2=-(x-2p)x, x 2+y2-2px=0(x 0) 即为所求 .四、直线与圆锥曲线的位置关系1过点( 2， 4)作直线与抛物线 y2=8x只有一个公共点，这样的直线有()A 、一条 B 、两条 C 、三条

8、D 、四条分析 : 首先注意点( 2，4)在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物 线交于一点，因而选 B.x2 y22直线 y:kx+1 与椭圆 xy1恒有公共点，则 m的取值范围是( ) .5m、m5A 、m1且 m5 B 、m1 C 、m5 分析: 直线与椭圆恒有公共点 联立方程 恒大于等于 0，22由 0恒成立可得 m1-5k 恒成立， m(1-5k ) max, m 1且m5，选 A. 3直线l : y k(x2)与曲线x2-y 2=1(x0) 相交于A，B两点，则直线 l的倾角为( )33A 、0 ， ) B 、 ( , ) ( , ) 、 0, ( , ) 、 ( , )4 2 2 4 2 2 4 4 分析 : 直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用 判定，12k 2 0022 k1 或 k-1.3 倾角(4,2) (2,34 )，选Bx1x2201 k 221 2k 2x1x2201 k 2x 2-k 2(x 2- 2 2 x+2)=1 (1-k 2)x 2+2 2 k2x-2k 2-1=04在抛物线 y2=4x上恒有两点关于 y=kx+3 对称，求 k范围 .22解:设B、C关于直线 y=kx+3对称，则BC方程为x=-ky+m, 代入 y2=4x 得 y 2+4ky-4m=0 设B(x, y),