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文档简介
1、圆的相关定理及其几何证明典题探究例1:如图,圆 o是 ABC的外接圆,过点 C作圆0的切线交BA的延长线于点 D .若CD 、3,AB AC 2,则线段AD的长是;圆0的半径是例2:如图,在圆B0中,直径AB与弦CD垂直,垂足为为 F.若 AB= 6 , CF ?CB5,贝V AE= E( E在A,0之间),EF A BC,垂足例3:如图已知PA与圆0相切于A,半径0C则 PA , PB .0P ,AC 交 P0 于 B,若 0C 1,0P 2 ,P例4:如图,从圆0外一点P引圆0的切线PA和割线PBC ,已知 BPA 30 , BC 11 ,PB 1 ,则PA _,圆0的半径等于 PA演练方
2、阵A档(巩固专练)1.如图,已知直线PD切O O于点D,直线PO交O O于点E,F若PF 23, PD 1,则O O的半径为;EFD.2.如图,AP与eO切于点A,交弦DB的延长线于点P,过点B作圆O的切线交AP于 点C .若 ACB 90 , BC 3,CP 4,则弦DB的长为.3.如图:圆O的割线PAB经过圆心O, C是圆上一点,PA= AC= 1 AB,则以下结论不正确2的是()BA.CB CPB. PCAC PABC C. PC是圆0的切线D. BC BABP4如图,已知AB是圆0的直径,P在AB的延长线上,PC切圆0于点C , CD OP于D 若CD 6 , CP 10,则圆O的半径
3、长为; BP -5.如图所示,以直角三角形 ABC的直角边AC为直径作O O ,交斜边AB于点D,过点DBE作O O的切线,交BC边于点E .则竺 .BC6.如图,直线 AM与圆相切于点 M, ABC与ADE是 EG则下面结论中,错误.的结论是()/ ECA = 9(0/ CEM=Z DMA+ / DBAAM2=AD AEAD- DE = AB BCA.B.C.D.7如图,AB切圆O于点A, AC为圆O的直径,BC交圆O于点D , E为CD的中点,且 BD 5,AC 6,则 CD;AE8 .如图,PC切圆O于点C ,割线PAB经过圆心O , PC 4,PB 8 ,则tan COPOBC的面积是
4、9 如图,AB为O O的直径,AC切O O于点A,且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点 D,若 CM MN ND ,AC 2“,则 CM,AD10 .如图,AB,C,D是O O上的四个点,过点BCD 110,贝U DBE ()A. 75B. 70B的切线与 DC的延长线交于点 E.若C. 60D. 55B档(提升精练)1.如图,已知 O O的弦AB交半径 0C于点D若AD=4,BD=3,OC=4则CD的长为2 .如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F ,E是AB延长线上一点,且DF CF 2,AF 2BF,若CE与圆相切,且 CE丄则BE 2E3 如图, AB是半圆0的直径, P在AB的
5、延长线上,PD与半圆0相切于点 C ,AD PD 若 PC 4, PB 2,则 CD OB4.如图,AB是O O的直径,直线DE切O O于点D ,且与AB延长线交于点C,若CD、3 , CB 1,贝y ADE =5 如图,AC为O O的直径,OBAC,弦 BN 交 AC 于点 M 若 OC 3,OM 1,则MN6 如图,PA是圆O的切线,切点为 A,PO交圆O于B,C两点,PA G,PB 1,则 ABC =(A 70B60C45D307 如图所示,E,交圆于D.RtA ABC内接于圆,若 PA=AE, PD= -3,ABC 60o,PA是圆的切线,A为切点, PB交AC于BD= 33, 贝y
6、AP=,AC=.AP8.如图,以 ABC的边AB为直径的半圆交 AC于点D,交BC于点E , EF A AB于点F ,AF = 3BF , BE=2EC=2,那么 DCDE =, CD=.9如图,已知圆中两条弦 AB与CD相交于点F , CE与圆相切交 AB延长线上于点 E ,若 DF CF 2 . 2,AF : FB: BE 4:2:1,则线段 CE 的长为D10.如图,直线PC与e 相切于点C ,割线PAB经过圆心 ,弦CD丄AB于点E ,PC 4, PB 8,则 CE C档(跨越导练)1.如图,ABC是O 的内接三角形, PA是O 的切线,PB交AC于点E,交O 于点 D 若 PA PE
7、, ABC 60 , PD 1, PB 9,则 PA ; EC 2.如图,eO的直径AB与弦CD交于点P , CP= 7, PD = 5, AP= 1,则DDCB = 5OBC3.如图,AB是圆0的直径,CD AB于D,且AD 2BD,E为AD的中点,连接CE并延长交圆0于F 若CD 2,则AB,EF4.如图所示,AB=2, AC=1,AB是圆的直径,点 C在圆上,过点则 PC=,PD=B, C的切线交于点 P, AP交圆于D,若5. AB是圆0的直径,D为圆O上一点,过D作圆0的切线交AB延长线于点C,若DC=2、2 , BC 2,贝U sin DCADAC6.如图,已知圆O的半径为3,从圆
8、O外一点A引切线AD和割线ABC ,圆心0到AC的距离为2.2 , AB 3,则切线AD的长为 7.如图,BC是半径为2的圆O的直径,点P在BC的延长线上,PA是圆O的切线,点A在直径BC上的射影是OC的中点,贝U ABP=; PB PC 8.如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA 22 , PC 4,圆 心O到BC的距离为J3,则圆o的半径为 9.如图,AB是圆O的直径,P在AB的延长线上,PD切圆O于点C.已知圆O半径为 3 ,OP 2,则PC ; ACD的大小为10.如图,A, B, C是上的三点,BE切于点B, D是CE与ZO的交点.若 BAC 70 ,则 CBE;
9、若BECE 4,则CDC.3,AB AC 2,由圆幕定理得CD2DA DB,典题探究例1 :答案:1, 2解析:已知CDDB DA AB,所以 CD2 DA (DA AB),可以求出 AD 1,而 CD AD,取 AB 的中点E,连接OC和OE,则半径 R=OC=2.例2:答案:1CF CE 解析:三角形 CEF与三角形 CBE相似,对应边成比例,所以,即CE CBCE2 CB CF,所以 CE 、5,而 OC=AB 3,所以 OE , OC2 OE2 2,所 2以 AE 1.例 3:答案:PA . 3, PB . 3解析:延长PO与圆O分别交于点D和点E,则PD OP OD 1,PE PD
10、DE 3,由圆幕定理得PA2 PD PE 3,所以PA .3,过A点作1 UL M3 1/3LAF OP交OP于点 F,则 OF二,所以 PB= +=、3.2 2 2 2+73例 4:答案:PA=2 ,3,R=7解析:由圆幕定理得 PA2=PB PC=12,所以PA=2 ; 3,设AO与PC交于点D,延长 AO 交圆于 E,则 AD DE=BD DC,所以 2DE=24 , DE=12,所以 2R=2+12 , R=7 .演练方阵A档(巩固专练)1:答案:R= 3 EFD=15解析:由圆幂定理得PD2=PE PF,1=PE (2+ 3),PE=12+ :3EF=2R=PF-PE=2 .3, R
11、二爲,OP=2,PD=1,OD=V3,所以 POD=30o,所以1EFD=-2POD=15。2:答案:45解析:由圆幕定理得 AP2=PB PD=PB(PB+BD),所以725 (5 BD),所以BD空53:答案:D解析:由圆幕定理得pc22PA (PA AB) PA( PA 2 PA) 3 PA ,PC .3PA,所以D选项错误解析:CD 6,CP10,.所以DPCP2 Ch 8,由三角形相似得CDOCCP,所以6 C,所以R8 10OC107.5 ,由圆幕定理得PC2 BP AP ,100 BP(BP 15),所以BP15:答案:一2解析:连接CD, AC是圆O的直径, O的切线,12且B
12、C AC,所以BC是圆1 BEBE CE -BC,所以-2 BCD6:答案:解析:所以CD而 DE是圆AB,OBC经过半径OC的端点 的切线,所以C,而EC=ED所以因为四边形BDEC是圆的内接四边形,所以BDE BCE 180。,因为4 :答案:半径R 7.5, BP 5BDE=90。,所以 BCE=90。,A正确;直线AM与圆相切,由弦切角定理得AMD= MED,而 ABD= CED,所以 CEM= MED+ CED= DMA+ DBA,2所以B正确;由圆幕定理得 AM AD AE,所以选项C正确7:答案:CD 4, AE 2、6解析:设CD x,则根据圆幕定理得 AB2 BD BC,而A
13、B2 (5 CD)2 36,22所以(5 CD) 365 (5 CD),所以 CD 5CD 36 0,所以 CD 4,而AE . AC2 CD2 DE2,所以 AE 2.6(4188:答案:tan COP,SVOBC3 5解析:由圆幕定理得PC2 PA PB,所以16 8PA,所以PA 2,所以半径R 3,4OC 3, OP 5,所以正切值tan COP ,所以三角形 OBC的面积3118SOBcOB OC sin COP -259:答案:CM=2 , AD=2 J解析:由圆幕定理得 AC2二CM CN=CM 2CM,所以8=2CM 2,所以CM=2 ,而 AD= . CD2-AC2= 36-
14、8=. 710:答案:B解析:因为ABCD四点共圆,所以 A+ BCD=180。而 BCD=110。所以 A=70。又因为BE与圆相切于点B,所以 DBE二 A=70。所以选项B是正确的。B档(提升精练)1:答案:CD=2解析:延长CD交圆于点E,由相交弦定理得AD DB=CD DE,所以4 3=CD(8-CD),求出CD=2或6,因为CD是小于4的,所以CD=212:答案:BE=-2解析:由相交弦定理得BF AF=DF FC,所以2BF2 =2,所以BF=1,所以AF=2,271而 CE2=BE EA,所以=BE (BE 3),所以 BE=-4 2123:答案:CD= 5解析:设半径为 R,
15、连接OC则由圆幕定理得 PC2=PB PA,已知PC=4,PB=2,PC po4512而且OC PD,所以4?=2(2+2R),所以R=3,而,所以,CDCD OACD 354:答案: ADE 60。解析:CD= . 3, CB=1,由圆幕定理得 CD2=CB CA,而 AC=3,AB=2,所以 OC=2,连接 OD,则 OD CD,在 Rt ODC 中,OD=1 , CO=2 , CD二、3,所以 DOC 60。而在三角形BOD中,已知OB=OD,所以有 OBD 60。 ADE= ABD=60。5:答案:MN=1解析:延长BO交圆于点D,连接DN,则 BND=90。而BD=2、. 3,BM
16、2,由圆幕定理可得 MC MA MB MN ,所以(、3 1)( . 3 1) 2MN,所以MN 16:答案:B解析:由圆幕定理可得 pa2 PC PB,所以PCBC2,R1,连接 0A,所以三角形OPA是直角三角形,B是OP中点,所以ABOBOA,ABC 60。7:答案:AP 2., 3, AC=3 ,3解析:由圆幕定理可得AP2 PB PD,所以AP2G3 3.3)12 ,AP=2 ,3,所以 BP=4.3,所 AB . 48 4 3ACAB sin 60 =68答案:CDE 60。5讦解析:设圆心是O,半径为R,连接OE与AE,所以AF+FB=2R ,所以又因为EF所 以 AE=BE t
17、an 60。=2 3AB , OE=EB,所以CD CA=CE CB,所以 CD二OEB是等边三角形, ABE=60 所 以 AC= AE2-CE2 二.1313,CDE=1FB二一R,2ABE=60。,由圆幂定理得9 答案:解析:所以EB=1 ,10 答案:解析:CEf 7由圆幕定理得所以CE2=712CE= 5由圆幕定理得2 2CE =EB EA=7EB ,而 DF FC=FB,CE-.72FA,所以 8=8EB ,PC2=PA所以R=3,所以 CE=PCsin P=4PB,所以 16=8PA,所以 PA=2,又因为 AB=2R=6,35125C档(跨越导练)1:答案:PA=3,EC=4解
18、析:依题意根据圆幕定理得 PA2=PB PD,所以PA2=9 ,PA=3,PA=PE=3,DE=2 , BE=6,所以 PAC二 ABC=60。,在三角形 ADE 中,PE=PA,所以三角形 APE 是等边三角形,PE=PA=AE=3,所以 BE=PB-PE=6 , DE=PE-PD=2 , 而弦AC与BD相交于点E,所以BE DE=AE CE,所以CE=42:答案: DCB=45解析:由相交弦定理CP PO=AP PB,所以 PB=7,2R=AP+PB=8,R=4,所以OP=OA, AP=3,连接OD则有OP2+OD2二PD2,所以 POD=90。,然后连接 BD,则BD= , 2R,由正弦
19、定理得=2R,所以 sin DCBsin DCB2,DCB是锐角,所以 DCB 453:答案:AB=3,EF= 233解析:已知 ACB=90。,根据圆幕定理得 CD2=AD DB,因为AD=2DB,所 以 CD2=2DB 2,所以 CD= .2, BD=1,所以 AB=AD+DB=3 , DE=1,所以 CE= ,CD2+DE2=、3,又因为 EA EB=EC EF,所以 EF=衣34.答案:pd=377解析:连接 CB,在 ABC 中,AB=2,AC=1,所以 BC= AB2-AC2 =.3,CAB 60。,过点B和点C的切线交于点P,所以 PCB= PBC 60。,所以PB=PC=BC= .3,在 Rt APB 中,AB=2,PB= 3,所以 AP=、7,由圆幕定理得2PB23.1PB PD PA,所以 PDPA75:答案:sin DCA=13解析:连结BD,OD,AB是圆O的直径,ADB 90。,则CD2=CB CA,所1,在 Rt COD 中,以2CA=(2 .2)2,所以CA=4, AB 2,所以半径Rsin DCAODOC6
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