圆的相关定理及其几何证明含答案,推荐文档

1、圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆 o是 ABC的外接圆，过点 C作圆0的切线交BA的延长线于点 D .若CD 、3，AB AC 2，则线段AD的长是；圆0的半径是例2:如图，在圆B0中，直径AB与弦CD垂直，垂足为为 F.若 AB= 6 , CF ?CB5，贝V AE= E（ E在A,0之间），EF A BC，垂足例3：如图已知PA与圆0相切于A，半径0C则 PA , PB .0P ,AC 交 P0 于 B，若 0C 1,0P 2 ,P例4：如图，从圆0外一点P引圆0的切线PA和割线PBC ,已知 BPA 30 , BC 11 ,PB 1 ,则PA _，圆0的半径等于 PA演练方

2、阵A档（巩固专练）1.如图，已知直线PD切O O于点D,直线PO交O O于点E,F若PF 23, PD 1，则O O的半径为;EFD.2.如图，AP与eO切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于 点C .若 ACB 90 , BC 3,CP 4，则弦DB的长为.3.如图：圆O的割线PAB经过圆心O, C是圆上一点，PA= AC= 1 AB,则以下结论不正确2的是（）BA.CB CPB. PCAC PABC C. PC是圆0的切线D. BC BABP4如图，已知AB是圆0的直径，P在AB的延长线上，PC切圆0于点C , CD OP于D 若CD 6 , CP 10,则圆O的半径

3、长为； BP -5.如图所示，以直角三角形 ABC的直角边AC为直径作O O ,交斜边AB于点D，过点DBE作O O的切线，交BC边于点E .则竺 .BC6.如图，直线 AM与圆相切于点 M, ABC与ADE是 EG则下面结论中，错误.的结论是（）/ ECA = 9（0/ CEM=Z DMA+ / DBAAM2=AD AEAD- DE = AB BCA.B.C.D.7如图，AB切圆O于点A, AC为圆O的直径，BC交圆O于点D , E为CD的中点,且 BD 5,AC 6,则 CD；AE8 .如图，PC切圆O于点C ,割线PAB经过圆心O , PC 4,PB 8 ,则tan COPOBC的面积是

4、9 如图，AB为O O的直径，AC切O O于点A,且过点C的割线，CMN交AB的延长线于点 D,若 CM MN ND ,AC 2“，则 CM,AD10 .如图，AB,C,D是O O上的四个点，过点BCD 110，贝U DBE ()A. 75B. 70B的切线与 DC的延长线交于点 E.若C. 60D. 55B档（提升精练）1.如图，已知 O O的弦AB交半径 0C于点D若AD=4,BD=3,OC=4则CD的长为2 .如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F ,E是AB延长线上一点，且DF CF 2,AF 2BF,若CE与圆相切,且 CE丄则BE 2E3 如图， AB是半圆0的直径， P在AB的

5、延长线上，PD与半圆0相切于点 C ,AD PD 若 PC 4, PB 2，则 CD OB4.如图，AB是O O的直径，直线DE切O O于点D ,且与AB延长线交于点C，若CD、3 , CB 1，贝y ADE =5 如图，AC为O O的直径，OBAC，弦 BN 交 AC 于点 M 若 OC 3，OM 1，则MN6 如图，PA是圆O的切线，切点为 A，PO交圆O于B,C两点，PA G,PB 1，则 ABC =(A 70B60C45D307 如图所示,E，交圆于D.RtA ABC内接于圆,若 PA=AE, PD= -3，ABC 60o，PA是圆的切线，A为切点， PB交AC于BD= 33， 贝y

6、AP=，AC=.AP8.如图，以 ABC的边AB为直径的半圆交 AC于点D，交BC于点E , EF A AB于点F ,AF = 3BF , BE=2EC=2，那么 DCDE =, CD=.9如图，已知圆中两条弦 AB与CD相交于点F , CE与圆相切交 AB延长线上于点 E ,若 DF CF 2 . 2，AF : FB: BE 4:2:1，则线段 CE 的长为D10.如图，直线PC与e 相切于点C ,割线PAB经过圆心 ,弦CD丄AB于点E ,PC 4, PB 8，则 CE C档（跨越导练）1.如图，ABC是O 的内接三角形， PA是O 的切线，PB交AC于点E，交O 于点 D 若 PA PE

7、, ABC 60 , PD 1, PB 9，则 PA ； EC 2.如图，eO的直径AB与弦CD交于点P , CP= 7, PD = 5, AP= 1，则DDCB = 5OBC3.如图，AB是圆0的直径，CD AB于D，且AD 2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆0于F 若CD 2，则AB,EF4.如图所示，AB=2, AC=1,AB是圆的直径，点 C在圆上，过点则 PC=，PD=B, C的切线交于点 P, AP交圆于D,若5. AB是圆0的直径，D为圆O上一点，过D作圆0的切线交AB延长线于点C，若DC=2、2 , BC 2，贝U sin DCADAC6.如图，已知圆O的半径为3,从圆

8、O外一点A引切线AD和割线ABC ,圆心0到AC的距离为2.2 , AB 3，则切线AD的长为 7.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，贝U ABP=； PB PC 8.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA 22 , PC 4，圆 心O到BC的距离为J3，则圆o的半径为 9.如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆O半径为 3 ,OP 2，则PC ; ACD的大小为10.如图，A, B, C是上的三点,BE切于点B, D是CE与ZO的交点.若 BAC 70 ,则 CBE;

9、若BECE 4,则CDC.3，AB AC 2，由圆幕定理得CD2DA DB，典题探究例1 :答案：1, 2解析：已知CDDB DA AB，所以 CD2 DA (DA AB)，可以求出 AD 1，而 CD AD，取 AB 的中点E,连接OC和OE,则半径 R=OC=2.例2:答案：1CF CE 解析：三角形 CEF与三角形 CBE相似，对应边成比例，所以，即CE CBCE2 CB CF，所以 CE 、5，而 OC=AB 3，所以 OE , OC2 OE2 2，所 2以 AE 1.例 3:答案：PA . 3, PB . 3解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则PD OP OD 1，PE PD

10、DE 3，由圆幕定理得PA2 PD PE 3，所以PA .3，过A点作1 UL M3 1/3LAF OP交OP于点 F，则 OF二，所以 PB= +=、3.2 2 2 2+73例 4:答案：PA=2 ,3，R=7解析：由圆幕定理得 PA2=PB PC=12，所以PA=2 ； 3，设AO与PC交于点D，延长 AO 交圆于 E,则 AD DE=BD DC，所以 2DE=24 , DE=12，所以 2R=2+12 , R=7 .演练方阵A档(巩固专练)1：答案：R= 3 EFD=15解析：由圆幂定理得PD2=PE PF，1=PE (2+ 3)，PE=12+ ：3EF=2R=PF-PE=2 .3， R

11、二爲，OP=2，PD=1，OD=V3，所以 POD=30o，所以1EFD=-2POD=15。2:答案：45解析：由圆幕定理得 AP2=PB PD=PB(PB+BD)，所以725 (5 BD)，所以BD空53:答案：D解析：由圆幕定理得pc22PA (PA AB) PA( PA 2 PA) 3 PA ，PC .3PA，所以D选项错误解析：CD 6,CP10,.所以DPCP2 Ch 8，由三角形相似得CDOCCP，所以6 C，所以R8 10OC107.5 ,由圆幕定理得PC2 BP AP ,100 BP(BP 15)，所以BP15:答案：一2解析：连接CD, AC是圆O的直径, O的切线,12且B

12、C AC，所以BC是圆1 BEBE CE -BC，所以-2 BCD6:答案:解析:所以CD而 DE是圆AB，OBC经过半径OC的端点 的切线，所以C,而EC=ED所以因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以BDE BCE 180。，因为4 :答案：半径R 7.5, BP 5BDE=90。，所以 BCE=90。，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得AMD= MED，而 ABD= CED，所以 CEM= MED+ CED= DMA+ DBA，2所以B正确；由圆幕定理得 AM AD AE，所以选项C正确7:答案：CD 4, AE 2、6解析：设CD x，则根据圆幕定理得 AB2 BD BC，而A

13、B2 (5 CD)2 36，22所以(5 CD) 365 (5 CD)，所以 CD 5CD 36 0，所以 CD 4，而AE . AC2 CD2 DE2，所以 AE 2.6(4188：答案：tan COP,SVOBC3 5解析：由圆幕定理得PC2 PA PB，所以16 8PA，所以PA 2，所以半径R 3,4OC 3, OP 5，所以正切值tan COP ，所以三角形 OBC的面积3118SOBcOB OC sin COP -259:答案：CM=2 , AD=2 J解析：由圆幕定理得 AC2二CM CN=CM 2CM，所以8=2CM 2，所以CM=2 ,而 AD= . CD2-AC2= 36-

14、8=. 710：答案：B解析：因为ABCD四点共圆，所以 A+ BCD=180。而 BCD=110。所以 A=70。又因为BE与圆相切于点B,所以 DBE二 A=70。所以选项B是正确的。B档(提升精练)1：答案：CD=2解析：延长CD交圆于点E，由相交弦定理得AD DB=CD DE，所以4 3=CD(8-CD)，求出CD=2或6，因为CD是小于4的，所以CD=212:答案：BE=-2解析：由相交弦定理得BF AF=DF FC，所以2BF2 =2，所以BF=1，所以AF=2，271而 CE2=BE EA，所以=BE (BE 3)，所以 BE=-4 2123:答案：CD= 5解析：设半径为 R,

15、连接OC则由圆幕定理得 PC2=PB PA，已知PC=4,PB=2，PC po4512而且OC PD，所以4?=2(2+2R)，所以R=3，而，所以，CDCD OACD 354:答案： ADE 60。解析：CD= . 3, CB=1,由圆幕定理得 CD2=CB CA，而 AC=3,AB=2,所以 OC=2,连接 OD，则 OD CD，在 Rt ODC 中，OD=1 , CO=2 , CD二、3，所以 DOC 60。而在三角形BOD中，已知OB=OD,所以有 OBD 60。 ADE= ABD=60。5:答案：MN=1解析：延长BO交圆于点D,连接DN,则 BND=90。而BD=2、. 3，BM

16、2，由圆幕定理可得 MC MA MB MN ，所以(、3 1)( . 3 1) 2MN，所以MN 16:答案：B解析：由圆幕定理可得 pa2 PC PB，所以PCBC2,R1，连接 0A,所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以ABOBOA,ABC 60。7:答案:AP 2., 3, AC=3 ,3解析：由圆幕定理可得AP2 PB PD，所以AP2G3 3.3)12 ,AP=2 ,3，所以 BP=4.3，所 AB . 48 4 3ACAB sin 60 =68答案:CDE 60。5讦解析:设圆心是O,半径为R，连接OE与AE，所以AF+FB=2R ,所以又因为EF所 以 AE=BE t

17、an 60。=2 3AB , OE=EB，所以CD CA=CE CB，所以 CD二OEB是等边三角形， ABE=60 所 以 AC= AE2-CE2 二.1313，CDE=1FB二一R，2ABE=60。，由圆幂定理得9 答案：解析:所以EB=1 ,10 答案:解析:CEf 7由圆幕定理得所以CE2=712CE= 5由圆幕定理得2 2CE =EB EA=7EB ，而 DF FC=FB，CE-.72FA，所以 8=8EB ，PC2=PA所以R=3,所以 CE=PCsin P=4PB，所以 16=8PA，所以 PA=2，又因为 AB=2R=6，35125C档（跨越导练）1:答案：PA=3,EC=4解

18、析：依题意根据圆幕定理得 PA2=PB PD，所以PA2=9 ,PA=3，PA=PE=3，DE=2 , BE=6，所以 PAC二 ABC=60。，在三角形 ADE 中，PE=PA，所以三角形 APE 是等边三角形，PE=PA=AE=3，所以 BE=PB-PE=6 , DE=PE-PD=2 , 而弦AC与BD相交于点E,所以BE DE=AE CE，所以CE=42:答案： DCB=45解析：由相交弦定理CP PO=AP PB，所以 PB=7，2R=AP+PB=8，R=4，所以OP=OA, AP=3,连接OD则有OP2+OD2二PD2，所以 POD=90。，然后连接 BD,则BD= , 2R，由正弦

19、定理得=2R，所以 sin DCBsin DCB2，DCB是锐角,所以 DCB 453:答案：AB=3，EF= 233解析：已知 ACB=90。，根据圆幕定理得 CD2=AD DB，因为AD=2DB，所 以 CD2=2DB 2，所以 CD= .2, BD=1，所以 AB=AD+DB=3 ， DE=1，所以 CE= ,CD2+DE2=、3，又因为 EA EB=EC EF，所以 EF=衣34.答案:pd=377解析：连接 CB，在 ABC 中，AB=2，AC=1，所以 BC= AB2-AC2 =.3，CAB 60。，过点B和点C的切线交于点P，所以 PCB= PBC 60。，所以PB=PC=BC= .3，在 Rt APB 中，AB=2,PB= 3，所以 AP=、7，由圆幕定理得2PB23.1PB PD PA，所以 PDPA75：答案：sin DCA=13解析：连结BD,OD，AB是圆O的直径，ADB 90。，则CD2=CB CA，所1，在 Rt COD 中，以2CA=(2 .2)2，所以CA=4， AB 2，所以半径Rsin DCAODOC6