常微分方程习题

1、常微分方程习题 (3)常微分方程期终试卷 (3). 解下列方程 (10%*8=80%)1. 2xylnydx+ x2+y2 1 y2 dy=0dy y 22. =6 -x ydx x3. y =2( y 2 )2 xy1 2 24. x y = x y +y5. tgydx-ctydy=0226. y-x( x2+ y2 )dx-xdy=07一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一 个和时间成正比(比例系数为 k1)的力作用在它上面，此 外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比(比例系 数为 k2 )。试求此质点的速度与时间的关系。x8. 已知 f(x) 0 f(t)dt =1

2、,x 0,试求函数 f(x)的一般表达式。证明题 (10%*2=20%)9. 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M 、N 试同 齐次函数，且 xM+yN 0,则1 是该方程的一(xM yN) 个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解， 则可用初等 方法求得它的通解。试题答案：02412-28MNM N y x 2xln y1. 解： =2xlny+2x ,=2x,则=y y M 2xyln y11 , 故方 y1dy程 有 积 分 因 子 y = e y = 1 ， 原 方 程 两 边y2xy ln y dx+ x y 1yy2 y2dy=0 是恰当方程 . d(

3、x lny)+y 1y2 dy=0,两边积分32 1 2 2 得方程的解为 x lny+ 1 1 y2 =C。32.解： 1)y=0是方程的特解。 2)当 y 0时，令 z=y11得3.dzdx6z+x. 这是线性方程，解得它的通解为 x代回原来的变量 y 得方程解为1c6 yx2x；8；解：令 x=u+3, y=v 2, 可将原方程变为dv=2du再令 z=v ，得到 z+u dz =2 uu1z分离变量并两端积分得cz= 6xy=0.uv即u dz=u2z， 2， 1zdz=du+lnC即 ln z +2arctgz= ln u +lnC ，v 2arctg ln zu = 2arctgz

4、+lnC 代回原变量得 v=C e u2arctg y 2所以，原方程的解为 y+2=C e x 34. 解：将方程改写为 y= 1 y2 +y (*) 令 u= y ,得到 x y=xu+ u,则(*) x x x变为 x du = 1 u , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u dx解为 arcsin y =lnCx 。x+lnC, 故方程的5.解： 变量 分离 ctgxdy=tgydx, 两边积 分 得 ln(siny)=ln cosx +C 或sinycosx=C (*) 另 外 ， 由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=kx=t + (t=0 、1 )也是方程的解。

5、tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特 殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。(k=0 、 1 ) ，6.2 2 2 2解： ydx-xdy-x( x2+ y )dx=0,两边同除以 x2+ y 得ydx2 xd2y xdx=0, 即 d(arctg x ) 1 d x =0, 故原方程的解为 x2 y2 y 2 xx 1 2arctg x =C。7解：因为 F=ma=m dv dt 即 m dv=k1t dt k1，又 F= F 1 F 2=k1t k2v ，k2v (v(0)=0)，即 ddvt =k1t k 2v (v(0)=0)，解得 v= k1m2k2k

6、m2t k 1 mem + k12 (t km2 ).81x解：令 f(x)=y ， = 0f (t)dt ，两边求导得 y 1 =y， f (x)1即 1 y =y ，即 ydy =dx ，两边求积得9.10.从而 y=12 =2x+C ，y2x C ，故 f(x)=12x C证明：如 M、N都是 n次齐次函数，则因为xM x+yM y =nM ，x N x +y N y =nN，故有MNy xM yN x xM yN(xMyN)2N x(xMyN) N(xM x M yN x)(xMyN)2= M(xN xyN)N(xM x yN y)(xMyN)2= M (nN)N(nM)2=0.= (xMyN)2M y(xM yN) M(xM y N yNy)故命题成立。解： 1)先找到一个特解 y= %y。2)令 y= %y +z ，化为 n=2 的伯努利方程。 证明：因为 y= y%为方程的解， 所以 d y =P(x) y%+Q(x) %y +R(x) (1) 令 y= %y +z ，则有d%y dz2ddxy + ddxz = P(x) ( y% z) +Q