第四章 特征值的估计与摄动-1

1、返回 第四章 特征值的估计与摄动 返回 教学目标：教学目标： 了解特征值界的估计了解特征值界的估计; 掌握掌握Gerschgorin圆盘定理圆盘定理 了解特征值的摄动了解特征值的摄动 返回 应用举例应用举例 系统稳定性系统稳定性 自动控制中，估计自动控制中，估计A A的特征值是否都有负的的特征值是否都有负的 实部，即是否都位于复平面的左半平面实部，即是否都位于复平面的左半平面 差分方法稳定性差分方法稳定性 估计一个矩阵的特征值是否都在复平面的估计一个矩阵的特征值是否都在复平面的 单位圆上单位圆上 线性方程组迭代求解收敛性线性方程组迭代求解收敛性 估计一个矩阵的特征值是否都在复平面的估计一个矩阵

2、的特征值是否都在复平面的 单位圆内单位圆内 返回 4.1 特征值界的估计 定理 1 (Shur不等式) 22 111 | nnn iij iij a 的特征值为的特征值为设设 nn CA 则则, 21n A且且等等号号成成立立当当且且仅仅当当 为为正正规规矩矩阵阵。 返回 返回 11 (),() 22 HH BAACAA , 21n CBA 的的特特征征值值分分别别为为 且且满满足足, 2121nn iii |,| 21n 12 , n 12 . n n n AC 返回 定理 2 (Hirsch) 的特征值为的特征值为设设 nn CA 则则, 2n , 1 |,|max| )1 , ij ji

3、 i an |,|max|Re| )2 , ij ji i bn |,|max|Im| )3 , ij ji i cn 返回 定理 3 (Bendixson) , n n ARA 设设则则 的的任任一一特特征征 i 值值有有 |max 2 )1( |Im| , ij ji i c nn 返回 扫描扫描 P130 返回 有上界， 是否有下界呢？ 返回 定理 4 则则定义同上定义同上设设, iii nn CBCA 1 Re, ni 1 Im ni 返回 定理 5 (Browne): 的特征值为的特征值为设设 nn CA 12 , n 奇奇异异值值 12 , n 1 |(1,2, ) ni in有有

4、 返回 特征值的整体情况？ 返回 定理 6 (Hadamard不等式) 则则设设, nn CA 2/1 11 2 1 )|(|det| )(| n j n i ij n i i aAA 返回 练习练习 估计估计A的行列式的上界的行列式的上界 返回 2 圆盘定理 :| iiiiij j i SzC z aRa 定义 1 () n n ij AaC 设设 行盖尔圆盘行盖尔圆盘 :| iiiiji j i GzC z aCa 列盖尔圆盘列盖尔圆盘 定理定理 1 (圆盘定理圆盘定理1) n n ACA 设,则 的任一特征值设,则 的任一特征值 1 n j j SS 返回 12 (,)0) T n Ax

5、x xxxx 证： 1 (1,2, ) n ijji j a xx in 1 | max(|,|)0 kn xxx 1 n kjjk j a xx () kkkkjj j k xaa x | | kkkkjj j k xaa x | kjj j k ax | kkj j k xa | kkk aR 返回 例例 1 11 10 22 13 0 22 05 22 1005 i A ii i 估计矩阵估计矩阵 的特征值的特征值 的分布范围的分布范围 返回 解： 1 :|1| 1;Sz 2 33 :|; 22 Sz 3 :|5| 1;Sz 4 :|5 | 1Szi O 5 1 2 3 5 1 S 3

6、S 4 S 2 S 推论推论 1 n n ACA 设,则 的任一特征值设,则 的任一特征值 1 n ii j G 返回 定理定理 2(2(圆盘定理圆盘定理2)2) nAn设 阶方阵 的 个盖尔圆盘中设 阶方阵 的 个盖尔圆盘中 kG有 个圆盘的并形成一连通区域 ，且它与余下有 个圆盘的并形成一连通区域 ，且它与余下 -n kG的个圆盘都不相交，则在该区域 中恰好有的个圆盘都不相交，则在该区域 中恰好有 Ak的 个特征值.的 个特征值. 返回 11 a 2 2 a kk a 1,1kk a ,n n a G 返回 推论推论 2 n n ACA 设,则 的任一特征值设,则 的任一特征值 11 ()

7、() nn iij ij SG 推论推论 3 nAn设 阶方阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交，设 阶方阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交， .A则 相似于对角阵则 相似于对角阵 返回 1, | (1,2, ) n iiiij jj i aRain 定义 2() n n ij AaC 行对角占优行对角占优 列对角占优列对角占优 1, | (1,2, ) n iiiji jj i aCain 行严格对角占优行严格对角占优 1, | (1,2, ) n iiiij jj i aRain 列严格对角占优列严格对角占优 1, | (1,2, ) n iiiji jj i aCain 返回 定理定理 4 n n AC 设设行行(或列或列)严格对角占优严格对角占优 ，则，则 1 (:| |) n iiiiiii i ASSzCzaa 可可逆逆，且且 1, | | n iijii jj i Raa A行严格对角占优 证： 1 (:| |) n iiiiiii i SSzCzaa 0 i S 1 0 n i i S 返回 定