微分学SECTION

1、十、微分的应用( I) 函数的极值1单变量函数的极值极值(极大值或极小值) 若函数 f (x)在点 x0 的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域 0|x-x0| 内的一切点 x，下面不等式成立：f(x) f(x0)则称函数 f (x)在点 x0 处有极大值(或极小值) .极值存在的必要条件 假定函数 f(x)在区间(a,b)内存在有限导数 .若在点 x0(a,b)处函数 有极值，则必有f (x0)=0(1)所以可微函数的极值只能在使 (1)式成立的点达到，这种点称为稳定点 . 极值存在的充分条件 第一法则 若函数 f(x)满足条件：(i)在点 x0的某邻域 |x-x0|内有定义并且连续，且在 点

2、x0处， f (x0)=0 或不存在，(ii )在范围 0|x-x0|内有有限的导数 f ( x) ，(iii ) f (x) 在点 x0 的左右两侧有固定的符号，则函数 f (x)在点 x0 有无极值见下表：xx x0f(x)f (x)+0+极大值 极小值 上升 下降第二法则 若函数 f(x)有二阶导数 f (x) ,并且在点 x0处下列条件成立：f (x0)=0及 f (x0)0则函数 f(x)在此点有极值，当 f ( x0 ) 0时，有极小值 . 第三法则 设函数 f ( x)在某邻域 |x-x0| 内有导数 f (x), , f (n)(x) ，且 f (k)(x0 )=0(k=1,

3、,n 1)f (n) (x0)0若 n为偶数，则函数 f (x)在点 x0处有极值(当 f(n)(x0)0时有极 小值);若 n为奇数，则在点 x0处无极值 .以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程f (x0 )=0的实根 .有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根 .关于实根的近似计算法可参考第三章， 4.2多变量函数的极值极值 (极大值或极小值 ) 设函数y= f (x1,x2, ,xn )= f(x)1 / 11定义于区域 D 中，且 x0=( x10 ,x20, , xn0 )是这区域内的一点 . 若点 x0 有一个邻域0|xi xi0|,i=1,2, ,n使对

4、于其中一切点，下面不等式成立：f(x) f(x0) 则称函数 f (x)在点 x0 处有极大值(或极小值) .极值存在的必要条件 假定函数 f(x)在区域 D 内存在有限偏导数 .若在点 x0(D)处函数有极值，则必有f x1 (x0) 02)fx2( x0) 0 fxn( x0) 0x0=( x10 , x20 )为函数 y= f (x1,x2)的稳定点， 并有一阶及二阶连续偏导数 .引进记号所以极值只能在使( 2)式成立的点达到，这种点称为稳定点 . 极值存在的充分条件 (二元函数的情形 ) 设点 并且函数 f (x1,x2)在稳定点 x0 的邻域内有定义，连续，0yx1p1x2p2kyp

5、1 p2 x1 x2 上指标“ 0”表示偏导数是在 x0计算的.记，k = p1+p2x0D1= y x02 ,D2=10yx0120y x2x10yx1x20yx022那末( i)稳定点 x0是极小点的充分条件是：D10 和 D20即yx012 0 和 y x012 y x022 (yx01x2)/ 110( ii)稳定点 x0 是极大点的充分条件是：D10即yx012 0若 D20, i=1,2, ,n(ii )稳定点 x0 是极大点的充分条件是： 所有标号为偶数的行列式是正的， 所有标号为奇 数的行列式是负的，即Di0, i=2,4,6, 如果上列两条件都不满足，那末稳定点可以不是极值点

6、 .如果所有的 Di 都是零，就必须考 察更高阶的偏导数 .3约束条件为等式的条件极值 求函数y = f(x), x=(x1,x2, ,xn ) 在 m(m0 D2=Fx12Fx22 (Fx1x2 )2 =800这是一个极小点，函数90 y的极小值为 970.惩罚函数法 在搜索极小点时引进修正函数m(1)F 的无条件2F = y+ Pk (gk )k1m式中 Pk是任意大的正整数，Pk(gk)2 称为惩罚函数 .这样就可把问题化为新函数k1极值问题，可以用不断增大 Pk 的数值来极小化 .也可引进如下形式的新函数 mF = y+ (gk )2Pkk1式中 Pk 是任意大的正整数 .对搜索极大点

7、时，惩罚函数前取负号，即引进新函数m2F = y Pk (gk )2k1m或F = y (gk )2Pkk1例 用惩罚函数法解例 .解 利用方程( 1 )引进修正函数F = y+P(g)2=4x12 5x22 P(2x1 3x2 6)2解方程组4 / 11Fx28x1 4P(2x1 3x2 6) 0得当 P 很大时，5x1= 56 x2，x2=52Px2趋于 9 ，x1趋于15 ，这就是稳定点 .由于7 1410x2 6P(2x1 3x2 6) 0D1=Fx2 =8(1+P)0x12D2= Fx12 Fx22 (Fx1x2 ) 2 =16(5+14P)0所以稳定点是一个极小点，这和例 1的结果

8、一致 .4约束条件为不等式的条件极值比前面所考虑的更一般的极值问题是求函数y =f(x)，x = (x1,x2, ,xn)在 m 个约束条件gk(x) 0，k =1,2, m, 下的极值问题，这里的 m 不必小于 n.松弛变量法 对每一约束不等式都引进一非负的松弛函数 Si, 将它变为等式： i =gi+Si=0 每一松弛函数 Si 仅依赖于一个松弛变量 xn+i,一般取Si=xn2 i 引进松弛函数后就把问题化为约束条件是等式的极值问题，前面的方法就可以应用了 例3 求函数y =4x12 5x22 在约束条件x1 1 下的极值.解 约束条件可写为g1=1- x1 0 利用松弛函数 S1(x3

9、)可将这个不等式约束化为等式1 =g1+S1= 1 x1 + x32 =0 利用直接代入法可在函数 y 中将 x1消去得到y=4(1+ x32 )2+5 x22 这是一个无约束问题 .稳定点是 x2=0,x3=0,所以 x1=1.由于D1= yx2 =100yx3x2yx2 x3yx3210016=1600所以稳定点是修改后的以及原来的函数的极小点，其极小值为 4.拉格朗日乘数法 引进松弛函数后，将约束不等式化为等式 k =gk+Sk(xn+k)=0, k=1, 2, ,m 同等式约束的情形一样，引进新的目标函数mF=y+ k kk1这是一个 n+2m 个变量的无约束问题 .稳定点可以由解下列

10、方程组得到 FF =0， j=1,2, ,(n+m)xjk =0, k=1, 2, ,m以上介绍的多变量函数的极值和条件极值求法中，求稳定点时最后都归结为求实函数方程组fI (x1, x2, ,xn)=0, i=1,2, ,n的一组实根 .有时上列方程组的实根不易求得， 要求近似根 .关于实根的近似计算法可参考第三 章，4.十一、微分的应用( II )曲线的性状与作图1、曲线的性状及其条件6 / 11结点2(i) ac b2 0(ii) 在点 P0 的充 分小的邻域里， 除了点 P0 外，没 有曲线上其他的 点. 的符号在二重点中又可分出如下几种类型的奇点 .名称与图形 条件与性质 举 例双纽

11、线(x2 y2 1) 2 4x2 1 是以原点 (0,0) 为其结点孤立点曲线22(x2 y2)(x 1) 0 的轨迹是由直线 x=1和原点 (0,0)组 成的，原点就是它 的一个孤立点7 / 11第一种尖点(i) ac b2 0 (ii)曲线由两支组 成，在点 P0 有公 共切线，这两支 在其公共法线的 同侧，而在公共 切线的异侧 .半立方抛物线23yx是以 原点 (0,0) 为其第一种尖 点名称与图形条件与性质举例第二种尖点2(i) ac b2 0 (ii)曲线由两支组 成，在点 P0 有公 共切线，这两支 在其公共法线的 同侧，又在公共 切线的同侧 .曲线(y x2) 2 x5 0 在原点的邻近有两支， 即y x2 x2 x22y x x x 它们在原点有公共切线，由于 0x1 时为正，当 x1 时为负 .因此，在区间 (1, 内曲线是凹的，在区间 ,1)内曲线是凸的 .因为 f (x)只当 x=1时变号，而 x的这个值对应于一条平行于