微积分习题讲解与答案

1、1. 指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1) x(y )2 2yy xy 0 (2)2x y xy y 0(3) x 3 2 是，左 = 2 xy xy 2xy y 是，左 = ( xy x) 3 x 2 y 4y (sinx)y 0 (4)ddp p sin2解 (1) 1 阶 非线性(2) 1 阶 线性(3) 3 阶 线性(4) 1 阶 线性2. 验证下列函数是否是所给微分方程的解(1)sin xxy y cosx , yx(2)(1x 2 ) yxy2x, y2 C1 x 2 ( C为任意常数 )(3) y 2y y 0, y Ce x ( C为任意常数 )(4)y

2、( 12)y1 2y0, yC1e 1x C2e 2x ( C1 , C2为任意常数 )22(5)(x2y) y2xy,x2xyy2 C ( C为任意常数 )(6)(xy x)yxy2yy2y0,y ln( xy)xcosx sin x sinx解 (1) 是，左 = x 2cosx = 右x 2 xCx(2) 是，左 =(1 x2)x(2 C 1 x2 ) 2x =右1 x2(3) 是，左 =Cex 2Cex Ce x 0=右(4) 是，左 =(C1 21e1xC222e 2x )( 12)(C11e1xC22e2x)1 2(C1e 1xC2e 2x )0=右2 x y(5)是，左 =(x

3、2y) 2x y 2x y 右(6)y y 2 y xy x xy xx 2 y2xy2 xy3 2xy xy2( y2 2y)(xy x) 0( xy x)2 (xy x)2( xy x)2= 右3. 求下列微分方程的解(1)dydx(2)d2y2 cosx ;dx2(1 y2 )x2(1 x2 )y1y(3)11 yydydx(1 y) 21ydy dx(3) (1 y)dx (1 y) dy 0 (4)解 (1) dy 2dx, y 2x C(2) y dx cosxdx, y sin x C1y dx (sinx C1)dx, y cosx C1 x C22解得 dy dy dx 1y

4、即 y 2ln |1 y | x C(4)1 yy21ydy (1 xx2)dx解得 ln(1 y2 ) ln(1 x2) C12整理得1 y21 x 24.已知曲线 y f ( x)经过原点，并且它在点 (x, y)处的切线的斜率等于 2x 2 ，试求这条曲 线的方程。解 已知 y 2x 2解得 y 2 x 3 C3又知曲线过原点，得 C 0所求曲线方程为 y 2 x3习题 8.21. 用分离变量法求下列微分方程的解(1)y 4x y(2)(3)y 10 x y(4)xy y ln y 022sec x tan ydx sec y tan xdy 0(5)x dx y1 y 1 x0, y

5、| x 0 1(6)y e2x y, y|x 0 01解 (1) dy 4xdx 解得 y ( x2 C)2 y(2) dydx解得 y eCxy ln yx(3) 10 y dy 10xdx 解得 10 y 10x C 即 10x 10 y C22sec ysec x(4) dy dx 解得 ln | tan y | ln | tan x | C 1 tan ytan x整理得 tanx tany C1 2 1 3 1 2 1 3(5) y(1 y)dy x(1 x)dx 解得 y2 y3 x 2 x 3 C 23235由于 y |x 0 1 ，解得 C6则 1 y2 1 y3 1 x2 1

6、 x3 523236(6) e ydye2 xdx 解得 e y 1 e2x C23由于 y |x 0 0 则 C2原方程解为 2e y 3 e2x2. 求下列齐次方程的解(1)yxy y ln(2)dyxyxdxxy(3)xy yy2 x 2 0 (4)x2dy22( y xy x ) dx2 2 dydy(5) y x xydxdx(6) x( x 2y) yy2 0,y|x 1 1解 (1) 令 u y ，代入方程得 xduu x uln udx分离变量得du dxu(ln u 1) x两边积分得ln|lnu 1| ln| x| C1整理得|lnu 1| C2 |x |将 u y 回代，

7、即得原方程通解 xln y 1 Cx x(2) 原式可化为dy 1 y dy x dx 1 y x令 u y ，代入方程得 xdu 1 u uxdx 1 u分离变量得(1 - u)du dx1 u2x两边积分得12arctan u ln( 1 u ) ln | x | C12将 u y 回代，即得原方程通解xyy222arctan ln(1 2 ) ln x 2 Cxx 2整理得2arctan y ln( x 2 y2 ) C x(3) 原式可化为dy yy 2 1dx xx令 u ，代入方程得xdu 2x u 1 dx分离变量得du dx u2 1 x两边积分得ln|u u2 1| ln|

8、x| C1即|u u2 1| C| x|y将 u回代，即得原方程通解x(4) 原式可化为yxyx 1 Cx2dyy 2 y 1dxx x令 u y ，代入方程得xdu 2u x u u 1 dx分离变量得du dx2u 2u 1 x两边积分得1u1 x Ce1 uln |x | C1将 u y 回代，即得原方程通解 x(5) y2 (x2 xy) dy 0dxxx Ce x yu, 则 u xdudxu1udx x(1 u)du 01udu dx C1uxln | xu| u C1(6) 原式可化为yexux2dx2xy令 u y ，代入方程得 xd uu2uxd x 1 2u分离变量得(1

9、2 u)duu u2dxx两边积分得将 u y 回代，即得原方程通解 x2y xy Cx将 y|x 1 1代入得 C=2于是，特解为2y xy 2x1. 求下列微分方程的通解(1) y y e x (2)(3) (x2 1)y 2xy 4 x 2(5) y ln ydx ( x ln y)dy 0习题 8.32xy y x2 3 x 2(4)1 2xy 2 y 1 x(6)2(2x y2 )y2y解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程dy y 0dx的通解。分离变量得dydxy两端同时积分，得ln| y| x C1得通解为y Ce x用常数变易法，把 C换成 C( x) ，

10、即y C(x )e x两边微分，得dy C ( x)e x C( x)e x dx代入原方程，得C ( x) 1两端同时积分，得C( x) x C故所求微分方程通解为其中 C 为任意常数。12(2) P(x) ,Q( x) x 3xxP ( x )dxQ(x)eP(x)dxdx Ce xdxx32exdxdxCex3xedxCe ln|x| ( x2 3x 2)dx C1 1 x33 x22xCx 32或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程dy y 0dx x的通解。分离变量得dy dx yx两端同时积分，得得通解为ln | y |ln | x | C 1C yx 用常数变易法，把

11、 C换成 C( x) ，即C(x) x两边微分，得dy C (x) x C(x)dxx 2代入原方程，得两端同时积分，得故所求微分方程通解为其中 C 为任意常数。(3)2xP(x) x22x 1,Q(x)yeP ( x )dxP(x)dx Q( x)e(4)(5)C ( x) x 2 3 x 2C(x) 13 x13x y 3 x4x2x 2 1P(x)dxdx C4x22e x2 1e ln( x2 1) 4x2dx C214 x3 Cx2 1 32x2 dxx 2 1 e4xP(x) 1 22 x ,Q(x) 1xyeP( x)dxQ(x)e1 x22 xdx1x2e1x1x2e1x原式可

12、化为12ex32x 2 2x C2xx22x1dxdxCP( x)dxdx C1x22xdxdxCdx C12x xe1e xd1Cx1xe lnx x dln x2 e1xdx C1 xC11 Ce xdx x 1 dy y ln y yP(y)11,Q(y)y ln yyx eQ( y)eP( y)dydy Cyl1nydyy ln ye1 yln yey1 dy dy Cln |ln y| eln|ln y|dy C1ln yln ydy C y1ln y1ln22yC(6) 原式可化为 dx xydy y2P(y)1y,Q( y)2yy2P(y)dyP( y)dyQ( y)e dy C

13、1ydyydy Celn|y|2ye ln|y|dy Cy1| y | dy C2|y|12 y C2. 某种商品的消费量 X随收入 I 的变化满足方程dX X aeI (a 是常数)dI当 I 0 时， X X 0 ，求函数 X X ( I ) 的表达式。解原式可化为 dX X aeI P(I) 1,Q(I ) aeIdIP(I )dI P(I )dI则 X e Q(I )e dI CeaeI edI C e I adI C eI aI C又当 I 0时， X X0 ，得 C X0则原方程解为 X eI aI X 0习题 8.41. 某商品的需求函数与供给函数分别为Qd a bP,Qsc d

14、P (其中 a,b,c,d, 均为正常数 )假设商品价格 P是时间 t 的函数，已知初始价格 P(0) P0 ，且在任一时刻 t，价格 P(t)的变化率与这一时刻的超额需求 Qd Qs 成正比(比例常数为 k0)(1) 求供需相等时的价格 Pe (均衡价格)2)求价格 P(t) 的表达式3)分析价格 P( t) 随时间的变化情况解 (1)当 Q d Qs时，即a bP c dP ，得 P Peacbd(2)由于 dP k(Qd Qs) k(a bP) ( c dP) ，即 dtdPk(b d)P k( a c) dt方程通解为P a c Ce k(b d)t Pe Ce k(b d)tb d

15、e已知价格 P(0) P0 ，代入得 C P0 Pe，于是P(t) Pe (P0 Pe )e k( b d)t(3)由于tlim P(t) tlimPe (P0 Pe )e k(b d)t PeQ为需求量，且当2. 已知某种商品的需求价格弹性为p ep 1 ，其中 p 为价格，Qp=1 时，需求量 Q=1，试求需求函数关系。解 设需求关系式为 Q Q(p) ，则由题设知pQ (p)p ep 1Q( p) Q(p)即1pQ ( p) Q( p) pepp此微分方程通解为Q( p) e pepe p dp C 1 ( p 1)ep Cp将 Q(1)=1 代入，得 C=1 ，故所求需求函数为Q( p

16、) p 1ep 1pp3. 设某厂生产某种产品， 随产量的增加， 其总成本的增长率正比于产量与常数 2 之和， 反比于总成本，当产量为 0 时，成本为 1，求总成本函数。解 设产量为 x ，总成本为 C，比例系数为 1，则依题意有dy x 2dx y y |x 0 1解此微分方程，得y2 ( x 2)2 C把初始条件 y |x 0 1代入解得 C 3于是总成本函数为y2 (x 2)2 34. 在宏观经济研究中， 发现某地区的国民收入 y，国民储蓄 S和投资 I 均是时间 t 的函数，且储蓄额 S是国民收入的 1 ，投资额为国民收入增长率的 1 。若当 t =0时，国民收入10 3为 5 亿元，

17、试求国民收入函数(假定在时间 t 的储蓄额全部用于投资)于是 y 5e10解 依题意得1S 1 y, I1 dy103 dt因为储蓄额全部用于投资，故有SI即国民收入函数应满足方程1 dy1y3 dt103t解得 y Ce 10将初始条件 y |t 0 5 代入上式，得C5t习题 8.51、求下列微分方程通解(1)y2(2)y sin x(3)y (y )2 0(4)2(x2 1) y 2xy 0解 (1)y 2dx 2 x C12y (2x C1 )dx x2 C1 x C2(2)sinxdx cosx C1y ( cosx C1)dxsinx C1 x C2(3)p, yp ，原方程降阶为

18、dpdxp2 0分离变量得dp2 p2dx两边积分得1 x C1 pp C1 x所以C1 x1y dx ln|C1 x| C2 C1 x(4) 令p, yp ，原方程降阶为dp 2x p 0分离变量得两边积分得dxdpp2x dxln | p | ln( x 2 1) C即所以p C1 (x2 1)2y C1(x 2 1)yC1( x2 1)dx C1 1 x3 x C21 1 3 22 求解初值问题32yy(1) 2y(3) 1, y (3) 1(2)(1 x) y y y(0) 0, y(0)ln( x 1)0解 (1) 设 y p ，则 yp dp ，代入原方程，得dydp 3 2 pd

19、y 2 y2分离变量得pdp32 y2dy积分得23py由 y(3) 1, y ( 3) 1 得 C 03则 y y2，由 y 0知y 单调增加，于是 再积分一次，可得通解12y 2 x C1y(3) 1 得 C1 5(2)令 y p,则y p , 原方程化为(x 1)p p ln(x 1)p x11p ln(xx 11) 属于一阶线性方程 p e x 1dx ln(x 1)e x 1dxdx C1x 1 11 ln(x 1)dx C1 ln(x 1) C1 xx 1 x 1 由 y (0) 0 得 C1 0ln(x 1) xx1 dxC2(x 1) ln( x 1) 2x ln(1 x) C

20、2又由 y(0) 0 得 C 2 0 初值问题的解为y (x 1) ln( x 1) 2x ln(1 x)1. 求下列方程通解(1) y 2 y 3 y 0(3) y 6y 9 y 0习题 8.6(2) y 7 y 12 y 0(4) y y y 0解 (1) y 2 y 3 y 0 解 特征方程为解得两个不同实根 1 3, 2 1 ，所求方程的通解为y C1e3 x C2e其中 C1,C2 是任意常数(2) y 7 y 12y 0 解 特征方程为2 7 12 0解得两个不同实根 1 3, 2 4 ，所求方程的通解为 其中 C1,C2 是任意常数y C 1e3xC2e4x(3) y 6y 9

21、y 0 解 特征方程为其特征根 1 2 3 为二重实根，所求方程通解为y (C 1 C2 x)e3x其中 C1,C2 是任意常数(4) y y y 0 解 特征方程为解得两个共轭虚根 113 i, 212222所求方程通解为33(C1 cos x C2 sinx)e22其中 C1,C2 是任意常数2.求方程 y 2y 3y 0满足初始条件 y|x 0 1,y |x 0 1的特解解 特征方程为2 2 3 0解得两个共轭虚根 1 1 2i, 2 1 2i ，所求方程通解为y (C1 cos 2x C2 sin 2x)e x由初始条件 y|x 0 1,y |x 0 1得 C1 1又由y (e x c

22、os 2x) C 2(e x sin 2x)e x(cos 2x 2 sin 2x) C2e x( sin 2x 2 cos 2x)由 y |x 0 1 ，得 C 2 2于是满足初始条件的特解为y (cos 2 x2 sin 2 x )e x3. 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1的一个特解解 f ( x) 3x 1 (3x 1)e0x，其中 n 1, 0 不是特征方程 2 2 3 0 的根，得y ax b为所给方程的一个特解，直接将 y 代入原方程，得3ax 2a 3b 3 x 1比较系数得3a 32a 3b 11 解得 a1, b 13所以 y x 1 即为所求特解34. 求微分方程

23、 y 2 y y 12xe x 的通解解 f (x) 12xex ，其中 n 1, 1对应的齐次方程为y 2 y y 0特征方程 2 2 3 0 有二重特征根1齐次方程通解为xxy C1e C2 xe由于1 是重特征根，所以设非齐次方程特解为yx 2 ( ax b) ex直接将 y 代入原方程，得(2b 6ax)ex 12 xe x比较系数得6a 122b 0解得 a 2,b 0，因此 y 2x3ex 为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为 y C1ex C2 xex 2x3ex其中 C1,C2 是任意常数5. 求方程 y 4y 4y cos2x 的通解解 对应齐次方程为y 4 y 4y 0

24、它的特征方程 2 4 4 0 有重根122故对应齐次方程的通解为2xy e (C1 C2 x)由于 0 2i 不是特征根，因此设所给方程的特解为y asin2 x bcos2x代入原方程得8bsin2 x 8a cos2x cos2x比较系数得8b 08a 111解得 a ,b 0 ，因此 ysin 2x 为所给方程的一个特解，从而通解为882 x1y e 2x(C1 C2 x)sin2x8习题 8.71. 设某种产品就要推向市场， t 时刻的销量为 x(t ) ，由于产品良好性能，每个产品都是一dx个宣传品， t 时刻产品销售的增长率 dx 与 x(t) 成正比，同时，考虑到产品销售存在一定

25、的 dtdx市场容量 N，统计表明 dx 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x(t )也成正比，试给出dtx(t )的方程，并求销量达到多少时最为畅销。解dxdtkx(Nx)其中 k 为比例系数，分离变量积分，可得x(t)1 Ce kNt以及dxdtCN 2ke kNt(1 Ce kNt ) 2d2x CN3 4k2e kNt (Ce kNt 1) dt2 (1 Ce kNt )2dx当 x(t ) N 时，有 0，即销量 x(t) 单调增加；当 dtx(t ) N2 时，ddt22x 0；当x(t ) N2 时，d2xdt2 0 ；当 x(t ) N2 时，d2x dt20；即当销量达到

26、最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量 Q均是价格 P 的线性函数：S 1 3 P,Q 4 P若价格 P是时间 t (年)的函数，且已知在时刻 t 时，价格 P 的变化率与过剩需求 Q S成正比，比例系数为 2，试求价格 P 与时间 t( 年) 的函数关系，且已知初始价格 P0 2元，问当 t 0.3 年时价格应为多少？ 解 依题意，得dPdt2(Q S ) 2(5 4P )解得5 8tP Ce 8t4于是 P 5 3 e 8t44则当 t 0.3 时， P(0.3) 1

27、.32习题 8.81、计算下列各题的差分(1) yn f (n) n2 3n(2) yn n(n 1)( n 2) (n m 1)解 (1) yn (n 1)2 3n 1 n2 3n 3n(2n2 6n 3)(2) yn n( n 1)(n 2) (n m 1)解 yn (n 1)n(n 1) (n m 2) n(n 1)( n 2) (n m 1) n(n 1) (n m 2)( n 1) (n m 1) mn(n 1) ( n m 2)2、求下列差分方程的通解2(1) yn 1ynn3(2) yn12 yn2n21(3) yn 12yn32n(4) yn15 yn1解 ( 1) 因 a 1

28、 ，对应齐次方程通解为y C 1n C (C 为任意常数)设 y (n) a0n2 a1n代入原方程，有22a0(n 1) a1 (n 1) a0n a1n n 3比较系数得 a0 1,a1 5 ，所以 y (n) 1 n2 5 n2 2 2 2所求方程通解为y(n) C 1 n2 5n22C为任意常数(2) 因 a2 ，对应齐次方程通解为y C 2n ( C为任意常数)设 y (n) a0n2 a1n a2 代入原方程，有2 2 2a0(n 1)2 a 1(n 1) a2 2a0n 2 2a1n 2a 2 n 2 1比较系数得a 02, a14 , a 25故有 y ( n)2n2 4n 5所求方程通解为n2y(n) C 2 2n 4n 5(3) 对应齐次方程通解为y C ( 2)n ( C为任意常数)又 f(n) 3 2n，即