微分方程习题及解答

1、v1.0 可编辑可修改第十二章 微分方程 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程1.下列所给方程中，不是微分方程的是( ) (A)xy 2y ；(B) xy2 C2；(C)y y 0 ；(D) (7x 6y)dx(x y)dy 0答 (B)2.微分方程 5y4 yxy 2y(3)0 的阶数是 ( )(A)1 ； (B)2；(C)3；(D) 4 ；答 (C)3.下列所给的函数，是微分方程yy 0 的通解的是 ( ) (A)y C1 cosx ；(B) yC2 sin x ；(C)y cosx Csinx ；(D) yC1 cosxC2 sinx答 (D) .4.下列微分方程中，可分

2、离变量的方程是( )(A)xyye；(B) xyy x ；(C)y xy 1 0 ；(D) (xy)dx (xy)dy 0 答 (A) .5.下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( ) (A)xyyex y ；(B)xy y x22；(C)y xy x 0；(D)(x y)dx(x y)dy 0答 (D) .、单项选择题、填空题1函数 y 5x2是否是微分方程 xy 2y 的解 2微分方程 dx dy 0, yx 3 4的解是y x x 33微分方程 3x2 5x 5y 0 的通解是 4微分方程 xy yln y 0 的通解是5微分方程 1 x2 y 1 y2 的通解是6微分方程 xy y

3、 y(ln y ln x) 的通解是答：是 .答： x2 y2 25 答：答：CCx ye答： arcsin y arcsin x C 答： y eCx 三、解答题1求下列微分方程的通解22(1) sec xtanydx sec ytanxdy 0 ；2(2) y xy a(yy )；解：解：v1.0 可编辑可修改(3)dydx10x y ；解：2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(2) ysinx ylny, yx解：(1) y e2x y,yx 0 0；解：(3) xdy 2ydx 0, y x 2 1；(4)dy 10x y dx解：解：3* 设连续函数 f (x)2xf0dtln2

4、 ，求 f(x) 的非积分表达式答：f(x) ex ln2 v1.0 可编辑可修改 一阶线性微分方程、全微分方程、单项选择题1.(A)(C)列所给方程中，是一阶微分方程的是dy y 23(ln x) y2 ；dx xdy 2(x y)2 ；dx(B)(D)2. 微分方程 (x y2)dx 2xydy( ).dydx(x0 的方程类型是2yx1y)dx(x(x51)2y)dy 0 答 (B) .(A) 齐次微分方程；(C) 可分离变量的微分方程；(B) 一阶线性微分方程；(D) 全微分方程答 (D) .3. 方程 xyx2y2 y 是(A) 齐次方程；(B) 一阶线性方程；、填空题1微分方程dy

5、x y e x的通解为 答：yCexxxe dx32微分方程(x2y)dxxdy 0 的通解为 答：x3xyC3方程 (xy)(dxdy)dx dy 的通解为 答：xyln(x y) C(C) 伯努利方程；(D) 可分离变量方程 . 答 (A) .三、简答题1求下列微分方程的通解：(1) ysin xycosx e解：(2) xdy yln y； dx x解：(3) xy y x2 3x 2 ；(4)解：y ytanx sin2x ； 解：v1.0 可编辑可修改(5) (y2 6x)ddyx 2y 0；(6)解：ey (xey 2y)dy 0 ；解：2 2 2(7) (a2 2xy y2)dx

6、 (x y)2dy 0 解：2求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) dy 3y 8, yx 0 2； (2) dx解：解：dydxsinxx , yx13* 求伯努利方程 dy 3xy xy2 的通解dx解：v1.0 可编辑可修改、单项选择题 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程(A)ycosx12C1x2C2xC3 ；(B) y cosx C1 ；(C)ysinx1C1x221C2xC3 ；(D) y 2sin2x .1. 方程 y sinx 的通解是 ( ).答 (A)2(B)21221(A) y (x 1)2 ；yx2412(C) y (x 1)21；(D)yx21522243.

7、 对方程 y y2y2，以下做法正确的是( ) 2. 微分方程 y y xy 满足条件 y x 2 1， yx 2 1的解是 ( ).(A) 令 y p(x)， y答 (C) .(B) 令 y p(y)， y p p代入求解；(C) 按可分离变量的方程求解；(D) 按伯努利方程求解4. 下列函数组线性相关的 是 ( )2x 2x(A) e2x , 3e2x;2 x3x(B) e , e ；(C) sinx, cosx ;2x 2x(D) e2x , xe2x p 代入求解；答 (B) .答 (A) .(A)y2y(y )3 0；(B) y 2yy xy ex ；(C)yx2y y2 3x2 ；

8、(D) y 2xy x2 y 2ex6.y1,y2 是 y py qy0 的两个解，则其通解是 ( ) (A)yC1y1 y2 ；(B) y C1y1 C2y2 ；5. 下列方程中，二阶线性微分方程是 ( )(C) y C1y1 C2y2 ，其中 y1与 y2 线性相关；答 (D) .v1.0 可编辑可修改(D) y C1y1 C2 y2 ，其中 y1与 y2线性无关7. 下列函数组线性相关的 是 ( ).(A) e2x, 3e2x ；(B)(C) sin x, cosx ； (D)、填空题1微分方程 y x sin x 的通解为2微分方程 y y x 的通解为答 (D) .2x 3x e ,

9、 e ；2x 2x e , xe 答 (A) .答：y3xsin x C1x C26 1 2答：y2xxC1ex C2.1 2 2三、简答题1求下列微分方程的通解(1) y 1 (y )2；(2) y 12(y )2解： 解：2求方程 y x(y )2 0满足条件 y x 1 2， y x 11的特解解： 二阶常系数线性齐次微分方程、单项选择题1.下列函数中，不是微分方程yy0 的解的是 ( ) (A)y sinx ；(B)ycosx；(C)xy ex ；(D)ysin x cosx 答 (C)2.下列微分方程中，通解是yC1e xC2e3x 的方程是 ( ) (A)y 2y 3y 0 ；(B

10、)y2y 5y 0 ；(C)y y 2y 0 ；(D)y2y y 0 答 (A)3.下列微分方程中，通解是yC1exC2xex 的方程是 ( ) (A)y 2y y 0 ；(B)y2y y 0 ；(C)y 2y y 0 ；(D)y2y 4y 0 答 (B)4.下列微分方程中，通解是yex(C1 cos2xC2sin2x) 的方程是 ( ) (A)y 2y 4y 0 ；(B)y2y 4y 0(C)y 2y 5y 0 ；(D)y2y 5y 0答 (D)v1.0 可编辑可修改5. 若方程 y py qy 0 的系数满足 1 p q 0 ，则方程的一个解是 ( ) (A) x；(B) ex；(C) e

11、 x；(D) sinx 答(B) .6*. 设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0的一个解，若 f(x0) 0, f (x0) 0，则 f(x) 在x x0 处 ( ) (A) x0的某邻域内单调减少；(B) x0 的某邻域内单调增加；(C) 取极大值； (D) 取极小值 答(C) .二、填空题(1) y y 2y 0 ；解：(2)4ddt22xdt2dx20dx 25x 0 dt解：1微分方程的通解为y 4y 0 的通解为 答：yC1 C2e4x 2微分方程yy2y 0的通解为 答：yC1ex C2e 2x 3微分方程y4y4y 0 的通解为 答：yC1e2x C2xe2x 4微分方程y

12、4y0 的通解为 答：yC1 cos2 x C2 sin2x5方程 y6y13y0 的通解为 答： y3x e(C1 cos2x C2sin2x)三、简答题1求下列微分方程的通解：2求下列方程满足初始条件的特解(1) y 4y 3y 0,y x0 10, y x 0 6； (2) y 25y 0,y x 0 5, y x 0 2 解： 解： 二阶常系数线性非齐次微分方程1. 微分方程 yyx2 的一个特解应具有形式 ( )(A) Ax2 ；(B) Ax2 Bx ；(C) Ax2 BxC；(D) x(Ax2 BxC)2. 微分方程 yy2x2 的一个特解应具有形式 ( )(A) Ax2 ；(B)

13、 Ax2 Bx ；(C) Ax2 BxC；(D) x(Ax2 BxC)、单项选择题答 (C) .答 (C) .3.微分方程y5y 6yxe 2x 的一个特解应具有形式 ( )(A)Axe 2x；2x(B) (Ax B)e 2x；(C)(Ax2BxC)e2x；(D) x(Ax B)e 2x答 (B)4.微分方程yy 2yx2ex 的一个特解应具有形式 ( )(A)Ax2ex(B) (Ax2 Bx)ex ；(C)x(Ax2BxC)ex；(D) (Ax2 Bx C)ex 答 (C)5.微分方程y2y 3yex sinx 的一个特解应具有形式 () (A)ex (AcosxBsin x) ；(B) Aex sinx ；(C)xex ( Asin xBcosx)； (D) Axex sinx答 (A)、填空题x3 x 4 8 1微分方程y4yx3 x 的一个特解形式为答：y*2微分方程y2yx 的一个特解形式为 .答：y*x(AxB)3微分方程y5y6y xex 的一个特解形式为. 答：