微分方程数值解报告

1、微分方程数值解报告三迎风格式和 Lax-Friedrichs 格式求解微分方程、引言双曲型方程差分格式的性质和定解问题解析解的性质之间有着密切的联系， 由于其对初 值的局部依赖关系和特征关系是其他两类方程所没有的， 其初值函数的一些性质也会沿特征 线传播，从而使解不具有光滑性质，在构造双曲型方程的差分格式时应充分考虑这些特性， 下面江将用两种常见格式求解一个简单的偏微分方程 .、方法原理本题求解首先用到一阶迎风格式( Upwind Scheme )其中定义：格式：三、求解问题txu0 x 10xx 000 0x 0四、编程设计和方法分析x 0.01 考虑网格参数： x 0.01 t 0.005

2、接下来我们按照迎风格式和 Lax-Friedrichs 格式分别对方程进行离散处理 迎风格式：另外，为了克服中心差分格式的不稳定性，还有 Lax-Friedrichsn1uj(1 t)u?njtx jxnj1Lax-Fredrichs 格式为：unj 1 21 (u?nj 1 unj 1) unj 1 unj 1) t 2 x 迎风格式代码：% 迎风格式clear allclose allclc% 设置计算网格的参数L= 1.0 ;% 计算区域的长度T= 0.5 ;% 计算的时间长度 dx= 0.01 ;dt= 0.005 ; x=-L:dx:L; t= 0 :dt:T;xn=size(x,

3、2)- 1;% 网格段的个数 tn=size(t, 2)- 1;% 时间段的个数 u=zeros(tn+ 1,xn+ 1);% 设置初始条件for xi= 1:xn+ 1 if(x(xi)= 0)u( 1 ,xi)= 1 ;%x 0 时 ,uo(x)= 0 end end% 在计算开始前，将中间的网格点的值设为零for i= 2:xnu(i, 1)= 1;% 将中间的网格点的值设置为 0 end for ti= 1:tnfor j= 2 :xnu(ti+ 1,j)=dt*u(ti,j-1 )/dx+( 1.0 -dt/dx)*u(ti,j);end end% 绘制计算结果for i= 2:30

4、 :92subplot( 2 , 2 , 1 +(i- 2)/ 30 );plot(x,u(i,:);str=num2str(t(i),T=%f);xlabel(str);str=num2str(i,u(%d,x);ylabel(str);endLax-Friedrichs 格式代码2 %Lax-Friedrichs格式clear all close all clc% 设置计算网格的参数L= 1.0 ;% 计算区域的长度T= 0.8 ;% 计算的时间长度dx= 0.01 ;% 网格尺寸dt= 0.005 ;% 时间步长 miu= 1;x=-L:dx:L;t= 0 :dt:T; xn=size(

5、x, 2)- 1;%x 的分段数 tn=size(t, 2)- 1;% 时间的分段数 u=zeros(tn+ 1,xn+ 1);%u 的上标为时间标号 ,下标为坐标标号 % 设置初始条件for xi= 1:xn+ 1if(x(xi)= 0)u( 1 ,xi)= 1 ;%x 0 时 ,uo(x)= 0endendfor i= 2:xnu(i, 1)= 1;endfor ti= 1:tnfor j= 2 :xnu(ti+ 1,j)= 0.5 *( 1 -dt/dx)*u(ti,j+ 1)+ 0.5 *( 1 +dt/dx)*u(ti,j- 1); endend% 绘制计算结果for i= 2:30 :92subplot( 2 , 2 , 1 +(i- 2)/ 30 ); plot(x,u