微积分综合练习题及参考答案

1、1填空题(1)函数 f(X)综合练习题1 (函数、极限与连续部分)ln(x 2)的定义域是答案：x 2且x(2)函数 f(x)ln(x 2).4 x2的定义域是答案：(2, 1)(3)函数f(x2)x2 4x7，则f(x)答案:f(x)x23(4)若函数f (x).3xsi nxk,1,0处连续,答案:3.1,2k 1(5)函数f(x 1)x22x，则f(x)答案:f(x)(6)函数2xx 1 3的间断点是答案:(7)(8).1 xsi n xsin4x 右lim x 0 sin kxlimx2，则k2 单项选择题(1)设函数y答案：1答案：k 2xe，则该函数是()A奇函数 B偶函数C.非奇

2、非偶函数D 既奇又偶函数答案：B(2)下列函数中为奇函数是()A xsinxx e B.答案：C(3)函数C.ln(x1x2)D.x2A. x答案:ln(x(4)设f(x1)1,则A. x(x 1)5)的定义域为f(x)精选C. x(x 2)D . (x 2)(x 1)（5）当k(）时，函数ff(x)ek,2,xx0右 在x00处连续A. 0B.1C.2D.3答案:D2 x1,x0(6)当k()时,函数ff(x)，在x 0处连续k,x0A. 0B.1C.2D .1答案:B(7)函数f(x)x23的间断点是（)x3x 2A.x1,x 2Bx3答案：C无间断点1,x2,x3C.xD答案：3.计算题

3、(1)解:(2)limx 32 x3x22 x42 x3x22 x42x9xm22x2 2x 3limx 2(x 2)(x2)2 x(x 2)(x1)limx 2 x 2解:limx 3x2 2x 3lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3)(x1)limx 3 x 1(3)x2 6x 8 lim 厂 x 4 x 5x 4解:x2 6x 8limx 4 x 5x 44x 22limx 4 x 13(X 4)(x2)(x 4)( x 1)综合练习题2 （导数与微分部分）1 填空题(1)曲线f(x)1在 (1,2)点的切斜率是答案:12(2)曲线f(x)e在(0,1)点的切线方程是答案:yx 1

4、(3)已知f(x)3 x3x，则 f (3)=答案:f (x) 3x23xl n3f (3)=27( 1ln3)(4)已知f(x) Inx，则f (x)答案:1 f (x)f (x) =1 2xx(5)若 f (x) xe x：，则f(0)答案:f (x)2exxexf22. 单项选择题(1)若 f (x) e xcosx，贝y f (0)=()A. 2B. 1C. -1D. -2因 f (x) (e x cosx) (e x) cosx e x(cosx)xxx .A 2 f (cos2x)dxe cosx e sin x e (cosx sin x)所以f (0)0 e(cos0 sin

5、0)1答案：C(2)设 ylg2x，则 dy ()11ln 101A.dxB .C dx D .dxdx2xxln 10xx答案：B(3)设 yf(x)是可微函数，则df (cos2x) () f (cos2x)sin 2xd2xBf (cos2x)sin 2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdx D答案：D(4)若 f (x)si nxa3，其中a是常数，则f (x)().2A . cosx 3aB.sin x6aC.sin xD.cosx答案：C3.计算题1ex，求(1 )设 yx2y .111 ) 2) x解：y 2xex2 x /x ex(2x 1)(2 )设 ysin

6、 4x3cos x ,求y 2解: y 4cos4x 3cos x( sin x)4cos4x 3sin xcos2 x2(3)设 y e，求 y .x解:ye121 x22x(4)设yx. xIn cosx，求 y 解:y3 1x213-(sinx)x2 tanx2cosx2综合练习题3 （导数应用部分）1 .填空题(1)函数y 3(x1）2的单调增加区间是答案：（1,）（2）函数f（x） ax2 1在区间（0,）内单调增加，则a应满足答案：a 02单项选择题（1）函数y （x 1）2在区间（2,2）是（ ）B .单调减少D 先减后增A.单调增加C.先增后减答案：D(2) 满足方程f(x)

7、0的点一定是函数 y f(x)的( )A极值点B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3) 下列结论中()不正确.A . f(x)在x x0处连续，则一定在 x0处可微B . f (x)在x x0处不连续，则一定在 x0处不可导C 可导函数的极值点一定发生在其驻点上D.函数的极值点一定发生在不可导点上答案：B(4) 下列函数在指定区间(，)上单调增加的是().A . sinxB . exCx2D . 3 x答案：B3. 应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108 m3的长方体开口容器，怎样做法用 料最省？6是函数的极小值点也解：设底边的边长为xm，高为hm，容器的表面积

8、为ym2。怎样做法所用是最小值点。故当x 6m, h108623 m时用料最省.材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知x2h108,h 啰x所以y2 2 108 2 x2 4xh x2 4x r x2 x432x令yc 4322x2x0，解得唯一驻点x 6。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以 x(2)用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用 为10元/ m,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总 费用是多少？解：设水箱的底边长为x m,高为h m,表面积为S m2,且有h弓x所以S(x)2 x八2164xh xx16S(x)2x2x令S

9、(x)0，得x 2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当X 2 m , h 1 m时水箱的表面积最小.此时的费用为 S(2) 1040160 (元)(3)欲做一个底为正方形, 用料最省？容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法解：设底边的边长为xm，高为hm，所用材料(容器的表面积)为 ym2由已知所以令y2x2一 一一 -32X h32,h2xy2 x4xh2 /32x 4x 2x2 X1282 X0，解得唯一驻点x 4因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯128x所以x 4是函数的极小值点也是最小值点。故当x 4m，h 甞 2m时用料最省4请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综

10、合练习题4 (一元函数积分部分)1 填空题(1 )若f (x)的一个原函数为lnx2，则f(x).2答案：-x(2)若 f (x)dx sin2x c，贝y f (x).答案：2cos2x(3 )若 cosxdx 答案：sinx c(4)x2de答案：2e x c(5) (si nx)dx 答案：si nx c(6) 若 f (x)dx F(x) c，贝U f (2x 3)dx1答案：一F(2x 3) c2(7) 若 f (x)dx F (x) c，贝U xf (1 x2)dx1 2答案：-F(1 x2) c2(8) /si nxcos2x x x)dx 答案：23d e 2(9)ln (x2

11、1)dxdx 1答案：0(10)e2xdx =答案：丄22 单项选择题(1)下列等式成立的是()A. d f (x)dx f (x)B.f (x)dx f (x)C. f (x)dx f (x) dx答案：c(2)以下等式成立的是(A. In xdx d(-)xD.df (x) f (x)d(cos x)C. dxd .xD.3xdxd3x xln 3答案：D(3) xf(x)dx ()A. xf (x)f(x) cB.xf (x)cC. 1 x2 f(x) cD.(x 1)f(x) c.sin xdxB答案：A(4)下列定积分中积分值为0的是(. xx1 e e ,dx1 2). xx1 e

12、 e ,dx1 2答案:(x3 cosx)dx(5)设A. 0答案:f (x)是连续的奇函数，则定积分0Bf (x)dx-a(6)下列无穷积分收敛的是().(x2 sin x)dxaf (x)dx ()-af(x)dx0D. 2 f(x)dx-aA.0sinxdxB.1dxxc.1dxxD.e 2xdx答案：D3.计算题(1)(2x 1)10dx解:(2x 1)10dx1)10d(2x1)(2x221)11(2).1 sin君dxx2解:.1 sinex)2dxsin-d1x xln2ex(4ex)02dxln 21cos-x2e x c(4 ex)2d(401X =(4 e )3Xe )ln

13、 2-(21603125)303解:e1 5ln x , dx1e(1 5lnx)d(1 5lnx)丄(11 105l n x)2e 171 护 1) 21xexdx0解:1xexdx0xxe1exdx002Xsinxdx解:02 xsin xdxxcosx 0cos xdx si nx1综合练习题5 (积分应用部分)1 填空题(1)已知曲线y1f(x)在任意点x处切线的斜率为 1 ，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是答案:(2)由定积分的几何意义知,a a2 x2dx =0 答案:微分方程y y, y(0)1的特解为答案:(4)微分方程y 3y 0的通解为答案：yce 3x(5)微分方程(y )3 4xyy7 sin x的阶数为答案：42.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通