微分几何答案

1、第二章曲面论 1曲面的概念1求-正螺而产二 ucosv ,u sinv, bv 的坐标曲线.解 u-曲线为r =ucosv0 ,u sin v0,bv0 = 0,0, bv0) +u cosv0, sin v0, 0,为曲 线的直母线：V-曲线为f = z/0cosv, M0sinv,bv 为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面”=a (u+v) , b (u-v) ,2uv的坐标曲线就是它的直母线。证 U-曲线为 7二 a (u+v0 ) , b (u-v0 ) ,2uv0 = av0 bv00+ ua, bt2v0表示过 点 a v0, b v0,0 la, b, 2v0为方向向量的直线;v-曲线

2、为产二a (w0+v) , b ( u0 -v) ,2m0 v) = a0 , bw0,0) +va, -b, 2m0 表示 过点(aw0, bw0,0)以a, -b, 20 为方向向量的直线。3求球而r = a cos9sin (p. a cosi9sin cp. a sin 9上任意点的切平而和法线方程。解 心二一。sin 3cos0-dsin i9sin cp.acosG, 和二-acosDsindcosi9cos0,OZ-r/sini9acos3 =00x-acos3cos y -acos3sin (p一 cosi9sin (p acos3cos0任意点的切平而方程为一 “sin 9c

3、os0 - a sin i9sin (p即 xcosi9cos(p + ycos9sin0 + zsini9 - a = 0 ；法线方程为x-a cos i9 cos (py -a cos 9 sin (p z-a sin 9o cos3cos0cos i9sin psin 34. 求椭圆柱而+- = 1在任意点的切平而方程，并证明沿每一条直母线，此曲而只有 cr r一个切平而。解椭圆柱面二+二=1的参数方程为cr rcos 9 , y = asin 3 , z = t ,rd =-asin 3, cos 3,0 =0,0,1。所以切平面方程为:x-cos9 y-sin 3-asin 3 bc

4、os&z-t0=0,即 x bcos9 + y asin3 a b = 0此方程与t无关，对于3的每一确泄的值，确左唯一一个切平面，而3的每一数值对应一条直 母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5. 证明曲而r = u, v, 的切平而和三个坐标平面所构成的四而体的体积是常数。IIV证 乙=10, 人.=0丄。切平面方程为：- 2 = 3 irvuii v a与三坐标轴的交点分別为(3u,0,0), (0,3v,0), (0,0, )o于是，四而体的体积为：UVV = 13lul3lvl = -a3 是常数。6I ii v I 2 2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物而7= a (

5、u+v) , b (u-v) ,2uv的第一基本形式.解 ru =a,bt2v,rv =a-b,2u, E = rJ = a2 +b2 +4v2,F =乙 = “2 ，+ 4wv,G = rx2 =a2 + b2 +4u2,/. I = (a2 +b2 +4v2)du2 +2(a2 -b2 + 4uv)dudv + (a2 +b2 + 4w2)dv22. 求正螺而r = ucosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解 rlt = cos xsiii v,0, a;, = -wsin xmcos v,Z?) , E = r= , F = E 尺=0, G = r；

6、=u2+b :. I =du2 +(u2 +b2)dv29 VF=0, A坐标曲线互相垂直。3 .在第一基本形式为I =du2 + sinh $的曲而上，求方程为u = v的曲线的弧长。解由条件ds2= J/?+sinh2/Jv2,沿曲线u二v有du二dv ,将其代入(川得 ds2 = chr 4-sinh2 i/Jv2 = cosh2 vJv2 , ds = coshvdv ,在曲线 u = v 上,从片到冬的弧长 为IJ coshivl=l sinh v2 一 sinh 片 I。4. 设曲而的第一基本形式为I二dir +(u2 +a2)dv2,求它上而两条曲线u + v二0,u-v =0的

7、交角。分析由于曲而上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变戢只须知道 曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲而的第一类基本ME = 1, Fv =0, G = u2 +a曲线u + v = 0与u - v二0的交点为u二0, v二0,交点处的第一类基本量为E = 1 Fv = 0 , G = a2 o 曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u - v = 0的方向为fiu=6v ,设两曲线的夹角为y, 则有_Edudii + Gdvdii_ ayl Edu1 + Gdv1 yl Ear + G2 l +5. 求曲面z = exy上坐标曲线

8、x = x0 ,y二儿的交角.解曲面的向量表示为r =x, y, axy,坐标曲线x = x0的向量表示为r = xo,y,axoy ,其切向Mrv = 0, b ax0：坐标曲线y二儿的向量表示为7二x., ax y0 ,其切向量人二1,0, a y0 ,设两曲线x二X。与y二儿的夹角为(p,则有cos (p1和乙16求u-曲线和曲线的正交轨线的方程.解 对于U-曲线dv二0,设其正交轨线的方向为Su： Sv，则有Edu S u + F(du 6 v + dv 6 u) + G d v S v = 0,将dv二0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的 微分方程为E6u + FSv = 0 .同

9、理可得V-曲线的正交轨线的微分方程为F6u + G5v = 07.在曲而上一点，含du , dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + RJv2 = 0 ,确定两个切方向 (du : dv)和(6u : Sv),证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=O.证明因为du, dv不同时为零,R二0 ,设其二根_ du E+ F(dv况假泄dvHO,则所给二次方程可写成为P()2+2Q-dv dv二兰，+ =又根据二方向垂直的条件知P dvP 将代入则得ER - 2FQ + GP二08证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Ed沪二Gd於.证 用分别用、d表示沿u 曲线，V-曲线及

10、其二等分角线的微分符号，即沿u -曲线0, 6v=0 ,沿v曲线Fu=0, VvH 0 沿二等分角轨线方向为du:dj根据题设条件，又交角公式得Edu& + Fdvdii)2 _+ Gdv6yEdirds2Gv2ds2(Edit + Ft/v)2 即E(Fdu + Gdv)2G展开并化简得E(EG-F2) J/2=G(EG-F2)6/v2t而EG-hX).消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gclv2.9设曲而的第一基本形式为I二 du2 +(u2 +a2)dv2f求曲面上三条曲线U二dv, V=1 相交所成的三角形的而积。解三曲线在平而上的图形(如图)所示。曲线围城 的

11、三角形的面积是a a=2 J yjir +a2dujdv =2 j(l - )/zr + a2du 0w0 aa/A2 + in(l +运)。10.求球而 r =acost9sin ncosOsin tp.asin 3的面积。解片二-asin 3cos0,-asin 9sin (p.i/cosi9 , rp = -“cosDsin(p、acos9cos0,OE =r92 = 6/2,F=r5 /= 0 , G =对=a2 cos2 9 球而的面积为:：cos&/i9 = 2加，sin L 0t9u, v F =人丘=0 ,G = n2 =ir +b2, L二 0, M, N = 0 所以有 E

12、N - 2FM + GL二 0 4. 求岀抛物而2=丄 +by)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.2解 rx = l,O,av(oo)=1,0,0, ry = 0,l,Zy(00) = 0,1,0, rxx = 0,0,。, rxy = 0,0,0 rvy = 0,0, E二 1, F二0, G二 1, L二a, M二0, N=b,沿方向 dx：dy 的法曲率、竺 .dx +dy-5. 已知平而兀到单位球而(S)的中心距离为d(0dxy2), rx +lQy,几=0丄2小,入=0,0.0,rxy = 0Q2y, rvv =02x.E = r；+ + 4yF = rxry=2xyG =

13、 fv2 = 1 + 4x2 y2.厶= 0,M =2yjl+4&+y4,N =2x71+4x2y2+/渐近线的微分方程为曲 + 2Mdxdy + Ndy?,即4ydxdy + 2xdy2 =0.-族为dy=O,即 y = C, C为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 In x2y = c2,或v2y = c,c为常数.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近线.证在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的切平而是由(C)的切向量与(C)的主法向疑 所确左的平面，与曲线(C)的密切平而重合，所以每一条曲线(C)在它的主法线曲而上是渐近线.方法二：任取曲线r：r=r(s),它的主法线曲

14、而为S:0 = Q(,r) = “s) + /p(),ps = d(5)+tp(s = a + t(-Ka + t/) = (1 - tK)a + try , & = 0,x pt = 一/血+ (1-比)歹在曲线f上，t = 0AxA=Z曲而的单位法向量曲线r在它的主法线曲而上是渐近线.10. 证明在曲而z二f(x)+g(y)上曲线族x二常数，y二常数构成共轨网.证曲面的向量表示为r=Uy, f(x)+g(y),x=常数，尸常数是两族坐标曲线。E=lQf ,和0丄g) ：=0,0J 心=000忑,=0,0,g ,因为M = r v -. =0,所以坐标曲线构成共轨网，即曲线族x二常数，y二常

15、数构成共轨乌 Jeg-f?网。11. 确泄螺旋而r = (ucos v, usinv,bv的曲率线.解兀=cos v,sin iO, rv = -usin v,ucosv,b , MM=0,0,0, /;.v = -ucosv, -usinv, 0rliv =-sinv, cosv, 0, E = r= . F =人人=0, G = J;2 =u2 + h2 ,L=0,贮占卫曲率线的微分方程V2- dudvdu21 0u2 +b2-0,即小一+ ,d”，积分得两族曲率线方程:n亠0y/u2 +b2ylu2 +b2v = ln(” + J” +b?) + c#|y = n(yjir +/?2 一

16、u) + c212. 求双曲而z二axy上的曲率线.解 E = + a2yF = crx2yG = + a2xL = M = ady1由1 + /十0_ dxdycrxya-2 丁。1 + a L +cryL ,亠2 , 2.2clx2+a2x2 =Q 得( + a2y2)dx2 =( + a2x2 )dy2, 分得0 两族曲率线为 In(心 + Jl + a7 ) = n(ay + Jl + /天)+ c.13. 求曲而r=-(u - y),(“ + v),上的曲率线的方程.2 2 2a2 +b2 + v24+ b2 +uv -76a2 +b2 +u24丄=0,N=0 代入曲率线的微分方程得

17、所求曲率线的方程是: (6/2 +b2 +u2)dv2 =(a2 +b2 +/)积分得: ln(” + yla1 +b2 +U1 ) = ln(v + l(r +b2 + v2 ) + c 14给出曲而上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲而在该点的法向量成左角，求证L是一平而曲线.证法一：因L是曲率线,所以沿L有晰=-心石，又沿L有歹匝二常数,求微商得/ n + / h = 0,而丘/ dn / 与旺交，所以/ n = 0 ,即一 r p n =0,则有t =0,或 p n-0 .若i二0,则L是平而曲线；若p 亓二0 , L又是曲面的渐近线，则沿L , K“二0 ,这时 d = O ,兀

18、为常向量，而当L是渐近线时，y=n,所以歹为常向量，L是一平而曲线.证法二：若歹丄丘，则因斤丄历=II a ,所以并II p，所以临，由伏雷内公式知d斤II （-加+帀）而1,是曲率线，所以沿L有航II d,所以有0,从而曲线为平 而曲线；若歹不垂直于亓，则有歹亓二常数，求微商得歹5 +八亦=0,因为L是曲率线，所以沿L有丽II d?丄八所以f-n=O,所以y-n=O,即一p 亓二0 ,若0,则问题得 证：否则R 并二0 ,则因n d = O,有nW/, dn II dy II （-r II d ,矛盾。15. 如果一曲而的曲率线的密切平而与切平而成左角，则它是平面曲线。11E曲线的密切平面与

19、曲面的切平而成定角，即曲线的副法向量和曲而的法向量成立角，由 上题结论知正确。16. 求正螺而的主曲率。解 设正螺而的向量表示为r=ucosv,usinv,bv.解兀=cos v,sin v,0, rv =-wsin v.wcos , tt = 0,0,0,rvv =-ucosv, -usinv, 0, rliv. =-sinv, cosv, 0, E = r =, F = ru -ry =0G = rx2 =u2L= 0, M 二 “,N 二 0,代入主曲率公式2(EG-F2)灯- (LG-2FM+EN) kn+ LN-M2= 0 得二 / (zr +cry所以主曲率为耳=/u +(r/ +

20、(r17确泄抛物而z=a(x2 +y2)/ (0, 0)点的主曲率.解曲面方程即乙=0,0,2, r = x.ya(x2 + y2) , rv =L0,2x) ry =0A,2ay 9 rxx = 0,0,2d) , =0,0,0, =0,0,2d。在(0, 0)点,E=1 ,F=0, G=1 , L=2a ,M=0 ,N=2a 所以恋一4火“+4/二0 ,两主曲率分别为心二2 a , k2= 2 a18 证明在曲而上的给左点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为勺.任给一方向3及与其正交的方向3 + %， 则这两方向的法曲率分别为匕($) =旳cos2 3

21、+心sin2 3 ,K”(9 + %) = X cos(i9 + %) + K2 sini9 + %) = K sin9 + 2 cos3 ,即Kn (9)+ Kn (9 + %) = 0 + 为常数。19. 证明若曲而两族渐近线交于沱角，则主曲率之比为常数.证由 Kn = k cos2 9 + sin2 9 得 r2l9 = -，即渐进方向为耳=dg一丄，Enrctg一又-卩 + E二2&为常数，所以为q为常数，即乞 为常 数.20. 求证正螺而的平均曲率为零.证 由第3题或第16题可知.21. 求双曲面z=axy在点x=y=O的平均曲率和高斯曲率.LG _ 2FM + NE 证在点 x二y

22、二0 , E=l, F=0, G=l, L=0, M=a, N二0, H二；=0,2(EG-F2)ZJV - M 22二wEG-F222. 证明极小曲而上的点都是双曲点或平点.证法一：由肛仝：；乞二0有勺二心二0或心二-心 工0 .若勺二心二，则沿任意方向0心（9）=心cos? 3 +丘sin2 9=0,即对于任意的du:dv,=0,所以有L=M=N=0,对应的点为平点II Un2 +2Mdudv+Ndv27 Edu2 + IFdudv + Gdv2若二-心H 0,则K=心0，即LN-M20,G0，所以 LN 0 .若 ZJV-M?二 0,则 L = M = N = 0 ,曲 而上的点是平点，

23、若ln-m2 0,则曲而上的点是双曲点。23. 证明如果曲而的平均曲率为零，则渐近线构成正交网.证法一：如果曲而的平均曲率为零，由上题曲而上的点都是双曲点或平点.若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.若为双曲点，则曲而上存在渐近曲线网由19题，渐近方向a)f并令其绕轴旋转的圆环而,参数方程为r = (b+acos?)cosi9 , (b+acos0)sin9 , asint求圆环而上的椭圆点、双 曲点、抛物点。解 E -a1, F二 0 , G=(Z? + acos?)2, L = a, M = 0, N = cos。(b+acos0),LN -M =a cos (p (b+acos0 ,由 / b a 0 , b+acos (p 0,所以 LN - Af 的符号与 cos0 的符号一致，当0 W00，曲面上的点为椭圆点，即圆环面外 侧的点为椭圆点：当-%，曲而上的点为双曲点，即圆环而内侧的点为双曲点；当 a歼%或耳时，LN -M2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。225. 若曲面的第一基本形式表示为Z=22(h,vX2)的形式，则称这个曲而的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲而F = g(f)cos2ga)sin3J(/)上存在等温网。ilE旋转曲而F = g(/)cos9g(/)sinS/a)的第一基本形式为l = s2(