微专题之等和线

1、基本定理】uuur uuur 已知 OA OB1，则 A,B,C 三点共线；反之亦然一） 平面向量共线定理 uuurOC ，若二） 等和线uuur uuur平面内一组基底 OA ,OB 及任一向量uuru uuuruuurOP ， OPOAuuur OB ( ,R），若点 P在直线 AB 上或者在我们把直线AB 以及与直线 AB平行的直线称1、2、3、uuur uuur 若 OC xOA为等和线。（1）当等和线恰为直线 AB时， k 1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB之间时， k(0,1) ；（3）当直线 AB 在点 O和等和线之间时， k(1, ) ；（4）当等和线过 O 点时， k

2、0；（5）若两等和线关于 O点对称，则定值 k 互为相反数；k （定值），反之也成立，平行于 AB 的直线上，则解题步骤及说明】确定等值线为 1 的线； 2 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值； 说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研 究的代数式为基底的系数和。典型例题】uuur uuru例1、 给定两个长度为 1的平面向量 OA和OB ，它们的夹角为1200 ，如图所示，

3、点 C在以 O为圆心的圆弧 ?AB 上变动。uuuryOB ，其中 x, y R，则 x y的最大值跟踪练习：已知 O为 ABC 的外心，若 cos ABCuuurAOuuurABuuurAC ，则的最大值为例 2、在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，两定点uuurA,B满足 |OA|uuur uuur uuur|OB | OA OB 2，则点集uuurP |OPuuur uuurOA OB,| | | | 1, , R 所表示的区域面积为例3、如图，在扇形 OAB中， AOB 600，C为弧 AB上不与 A, B重合的一个动点，uuur uuur uuurOC xOA yOB ，若 u x

4、 y （ 0）存在最大值，则 的取值范围为 跟踪练习：在正方形uuur 设 AEuuur xADABCD中， E为BC中点， P为以 AB为直径的半圆弧上任意一点， yuAuPur ，则 2x y 的最小值为 .强化训练】1、在正六边形 ABCDEF 中， P是三角形 CDE 内（包括边界）的动点，设uuurAPuuur xAB的取值范围 2、如图，在平行四边形 ABCD中， M , N为CD边的三等份点， S为 AM , BN的交点，uuury AF ，则 x yP为边 AB 上的uuur 一动点， Q为 SMN 内一点（含边界） ，若 PQuuuur uuurxAM yBN ，则 x y

5、的取值范围3、设 D,E 分别是 ABC的边 AB， BC 上的点，1 2 uuurAD AB ， BE BC ，若 DE 23（ 1, 2 为实数），则 1 2的值为 .4、梯形 ABCD中， AD AB， AD DC 1， AB 3， P 为三角形 BCD内一点 uuur uuur uuurAP xAB y AD ，则 x y的取值范围 .uuur uuur1AB 2 AC包括边界） ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur5、已知 |OA| 1,| OB |3，OA OB0，点C在AOB内，且 AOC 300 ，设OCmOAnOB ，则 m 的值为 .n6、

6、在正方形 ABCD 中， E 为 AB 中点， P为以 A为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 uuur uuur uuurAC xDE yAP，则 x y的最小值为 .uuuur uuur uuur uuuur uuur7、已知 |OM | |ON| 1，OP xOM yON （ x, y为实数）。若 PMN 为以M 为直角顶点的直角三角 形，则 x y 取值的集合为 。uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 8、平面内有三个向量 OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为1200，OA,OC的夹角为 300，且|OA| |OB| 1，uuur uuur uuur uuur|OC| 2 3，若 OC mOA nOB，则 m n的值为 。9、如图， A,B,C 是圆O上的三点 ，CO的延长线与 线段 BA的延长线交于圆O外的点 D，若uuur uuur uuurOC mOA nOB ，则 m n 的取值范围为 10、已知2O为 ABC的外心，若 A(0,0), B(2,0) ， AC 1, BAC 23 ，且uuurAOuuurABuuurAC ，11、已知a,b 是两个互相垂直的单位向量，且 c a c1，则对任意的正实数t，|cta1b | 的最小 t值为1、征服畏惧、建立自信的最快