考研加油年考研数学二历年真题word版

1、考研加油年 - 考研数学二历年真题 w版作者 :日期：2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 : -8 小题 , 每小题 4分 , 共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（ ) 曲线 yx2x 的渐近线条数x21( )(A) 0(B)1(C) 2(D)3( )设函数 f ( x)( ex1)(e2 x2)(enxn) ，其中 n 为正整数 , 则 f (0)( )( ） (1)n 1 (n 1)!(B)(1)n (n 1)!(C ） ( 1)n 1 n!（ D)( 1)n n!(3 ）设 an0

2、(n1,2,3),Sna1a2a3an ，则数列Sn 有界是数列an收敛的(）（ A) 充分必要条件（ B) 充分非必要条件（C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4 ） 设 Ikkex2sin xdx,(k 1,2,3), 则有0()( )I1I 2I 3(B)I 3I 2I1( ）I 2I 3I 1(D)I 2I1 I 3( )设函数 f ( x, y）为可微函数 , 且对任意的 x, y 都有( x, y)0, ( x, y)0, 则使xy不等式 f ( x1 , y1 )f ( x2 , y2 ) 成立的一个充分条件是）( )x1x2 , y1y2(B)x1x2 , y1y2(C)x

3、1x2 , y1y2(D)x1x2 , y1y2(6)设区域 D 由曲线 ysin x, x, y1 围成，则( x5 y1)dxdy2D（ )（ A)( )(C) -2(D)-0011(7）设 1 0, 21, 31 ，41 , 其中 c1 ,c2 ,c3 ,c4 为任意常c1c2c3c4数，则下列向量组线性相关的为（ )( ) , ( ), ,(C),123124134（ D) ,234100( ） 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵 , 且 P 1 AP010. 若 P1,2 ,3 ，002Q , 则 Q 1 AQ1223（）100100200( ） 020(B)010（

4、C）010001002002200(D) 0 2 00 0 1二、填空题：9-14 小题 , 每小题分 , 共 4 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 .(9) 设 yy( x) 是由方程 x2y 1 ey 所确定的隐函数， 则 d 2 y x 0dx2(10) lim n12212212n1 n2nnn.(11)设 z fln x1, 其中函数 f u可微，则 x zy2z.yxy(12)微分方程 ydxx3 y2dy 0 满足条件 y x 11 的解为y( 3） 曲线 yx2xx 0上曲率为2 的点的坐标是.2( 4) 设 A 为 3阶矩阵，A =3 , A* 为 A 伴随矩阵 , 若交

5、换 A 的第 1行与第行得矩阵B , 则 BA*.三、解答题：1 -23 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.( 5)( 本题满分1分 )已知函数 f1x1, 记 alim f x ，xsin xxx 0(I ）求 a 的值 ;（ II ）若 x0 时， fxa 与 xk 是同阶无穷小，求常数k 的值 .（ 16)(本题满分 0 分 )x2 y2求函数 fx, yxe2的极值 .(17） ( 本题满分 2 分 )过(0,1) 点作曲线 L : ylnx 的切线 , 切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点 , 区域 D 由 L与直线 A

6、B围成 , 求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 .(1 )( 本题满分 0 分 )计算二重积分xyd，其中区域 D 为曲线 r1 cos0与极轴围成 .D( 9)( 本题满分 0 分 )已知函数 f ( x) 满足方程 f(x)f( x) 2 f ( x)0 及 f( x)f (x) 2ex ,(I)求 f (x) 的表达式 ;(II)xf (t2 )dt 的拐点 .求曲线 y f ( x2 )0(20)(本题满分10 分 )证明 xln1xcos x 1x2,( 1x 1)1x2( 1）（本题满分0 分 )(I)证明方程 xn +xn-1x 1 n1的整数 , 在区

7、间1,1 内有且仅有一2个实根；(II)记(I)中的实根为 xn ，证明 limxn 存在，并求此极限n(2 ) （本题满分 11分 )1a001设 A01a01001a，0a0010（ I ） 计算行列式A ；(II)当实数 a 为何值时 , 方程组 Ax有无穷多解，并求其通解 .(2 )(本题满分 11分 )101已知 A011，二次型 fx1, x2 , x3 xT AT Ax 的秩为2，10a0a1(I) 求实数 a 的值；（ II ） 求正交变换xQy 将 f 化为标准形 .2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1- 小题 , 每小题 4 分 , 共 3分 .

8、 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1. 已知当 x0 时，函数f (x)3sin xsin 3x与 cxk是等价无穷小，则 =1,c=4=， c=- k=3,c=4 =3,c= 42. 已知 f ( x)在 x0处可导，且 f (0)0, 则 limx2 f ( x) 2 f ( x3 )x3x 02 f( 0)Bf(0)Cf (0)D3. 函数 f ( x)ln (x1)( x2)( x3)的驻点个数为A 0B 1C34. 微分方程 y2 ye xex (0)的特解形式为A (xex)Bax(exex)C x(aexbex)

9、a eD x2 (ae xbex )5 设函数 f( x) 具有二阶连续导数，且 f (x)0, f(0)0，则函数 z f ( x) ln f ( y)在点（，0）处取得极小值的一个充分条件Af ( 0) 1, f (0) 0f ( 0) 1, f (0) 0Cf (0)1, f(0)0f ( 0)1, f(0)06. 设Iln sin xdx, Jln cot xdx, Kln cos xdx 则 I、 J、 K的大小关系是444000IJ K JC JIKD K JI7设为阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵B，再交换的第二行与第一100100P 11 11 , P 200 1,行得单位矩

10、阵。记000010则AP1P2 BP11P2CP2 P1 P21P18 设 A( 1 ,2 , 3 , 4 )是阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵 , 若 (1,0,1,0)T 是方程组Ax0的一个基础解系 ,则 A* x0 的基础解系可为A1 , 3B1 ,21 , 2 ,3D2 , 3 , 4二填空题9. lim (12 x1) x _ _x0210. 微分方程yy ex cos 满足条件y(0)0的解y _x_1. 曲线 yxtan tdt ( 0x) 的弧长 s _ _ _041设函数f( x ), x0,0, 则xf( x ) dx0 , x 03. 设平面区域 D 由 y=x, 圆

11、x2y 22 y 及 y 轴所组成，则二重积分xyda_D二次型 f ( x1, x2 ,x3) x123x22x322x1 x22x1x32x2 x3 ，则 f 的正惯性指数为 _ _ _三解答题x2 )dtln( 1 t15. 已知函数F ( x)0, 设 limF (x)lim F ( x)0 ，试求的取值范xxx0围。x1t3t13316. 设函数 y=y(x)有参数方程y1t3t1，求 y=y(x) 的数值和曲线y=y(x) 的凹凸33区间及拐点。17. 设 zf (xy , yg (x) , 其中函数具有二阶连续偏导数, 函数 (x)可导，且在 x2 zx1, y11 处取得极值

12、g(1 ） =1，求xy18. 设函数 y(x ）具有二阶导数 , 且曲线 l: = (x ）与直线 y= 相切于原点 , 记 是曲线 l 在点 (x,y)外切线的倾角 ddy , 求 y(x ）的表达式。dxdx19证明： 1) 对任意正整数n，都有n11ln(11 )111nn2）设ln(1,2,), 证明 a 收敛。an1nn nn2 . 一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面 , 该曲面由x2y22 y( y1 ), x2y 21( y1 ) 连接而成。22（ 1) 求容器的容积。(2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出, 至少需要多少功？( 长度单位 :m; 重力加速度

13、为 gm / s2; 水的密度为103 kg / m3)2 . 已知函数 f （ x,y) 具有二阶连续偏导数，且f( ,y)=0,f(x,1） =0，f ( x, y)dxdya , 其中 D( x, y) 0x1,0y1 ，计算二重积分DIxyxy(x, y)dxdy 。D1 11123.A 为三阶实矩阵 , R( A)2 ，且 A 0 00 0111 1求的特征值与特征向量；(2 ）求 A201年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1- 小题， 每小题分 , 共 3分 . 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上200

14、9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.（ ) 函数 fxx x3(）的可去间断点的个数，则sin nxA .B 2.C ? D 无穷多个 .(2)当 x 0时， f xxsin ax 与 gxx2 ln1bx是等价无穷小 , 则 ()Aa1,b1. ?B a 1,b1.Ca1,b166.16Da1,b6(3 ）设函数 zfx, y的全微分为 dzxdxydy , 则点0,0 （）A不是 fx, y的连续点B?不是 fx, y的极值点 .C是 f x, y

15、 的极大值点D是 fx, y的极小值点 .(4)设函数 fx, y连续 , 则2224yx, y dx(）dxf x, y dydyf1x1yA24xB24xx, y dy .1dxf x, y dy 1dxf?1xC24yx, y dx 22x, y dx .D?1dyfdyf11y( ) 若 fx不变号，且曲线yfx 在点1,1上的曲率圆为 x2y22 , 则fx 在区间1,2内 (）A 有极值点，无零点B ?无极值点 , 有零点 .?C 有极值点 , 有零点 .D 无极值点 , 无零点 .(6 ）设函数 yfx 在区间1,3上的图形为：f (x)O-01 2 3x-则函数 F xxf t

16、 dt 的图形为 (）0f (x)1-01 2 3xA . ?-? B .f (x)1-01 2 3x-f (x)1-0 123xC .f (x)200100C .010?D . 0200020021-0123x-D.（ 7) 设A、B均为 2 阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若A =2 B =3，则分块矩阵0A)B的伴随矩阵为 (0A .03B*? B02B*2A*03A*0C .03A*?D .02A *2B*003B*100( ) 设 A，P 均为 3阶矩阵 ,PT 为 P 的转置矩阵 , 且 PT AP= 010 , 若002P=（ 1， 2， 3）， Q= （ 1 + 2，

17、 2， 3）, 则 QT AQ 为（ )210110A .110B .120002002二、填空题 :9- 4 小题 , 每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.1-t2（ 9）曲线x=0du（0，0）e u在处的切线方程为yt 2 ln(2t 2 )（ 10）已知+ek x dx1 , 则 k( )lim1xsin nxdxen0(1 ) 设 yy( x) 是由方程 xyyd2 y=ex 1确定的隐函数 , 则2x=0dx（ 13) 函数 yx2 x 在区间 01， 上的最小值为200(14) 设，为 3 维列向量 ,T 为的转置，若矩阵T 相似于000，则000T =三

18、、解答题： 15 23 小题，共 4 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15) （本题满分9 分）求极限 lim1 cos x xln(1 tan x)sin4xx 0( 6)( 本题满分0 分）计算不定积分1x( x 0)ln(1)dxx(17 （）本题满分 1分 ) 设 zf xy, xy, xy，其中 f具有 2 阶连续偏导数 , 求 dz与2 zx y（18) （本题满分10 分 )设非负函数 y y xx0满足微分方程 xyy 20 ，当曲线 yy x 过原点时 , 其与直线 x1及 y0围成平面区域D 的面积为 , 求 D 绕 y

19、轴旋转所得旋转体体积。( 9） ( 本题满分1分）求二重积分x ydxdy ,D其中 D222, y xx, y x 1y 1(2 ）（本题满分12 分）设yy(x)（- ， ），）的光滑曲线，当-x 0时 , 曲线上是区间内过（-22任一点处的法线都过原点，当0 x时，函数 y( x) 满足 yy x 0 。求 y(x)的表达式( 1） ( 本题满分分）（）证明拉格朗日中值定理: 若函数fx 在 a, b 上连续 , 在 a,b 可导，则存在a, b , 使得fb fafba ( ) 证明 :若函数 fx 在 x0 处连续 , 在 0,0内可导 , 且 lim fxA ，则 f 0存在 ,

20、且 f 0A 。x01111（ 2)( 本题满分1分）设 A111， 110422( ）求满足 A 21 , A231的所有向量2 ,3( ) 对( ）中的任一向量2 ,3，证明：1 , 2 ,3 线性无关。(23 ）（本题满分1 分 ) 设二次型f x1 , x2 , x32222x1x3 2x2 x3ax1ax2 a 1 x3（ ) 求二次型f的矩阵的所有特征值;（）若二次型f 的规范形为 y12y22 ，求 a 的值。2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 : 8 小题 , 每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字

21、母填在题后的括号内.(1 ）设 f ( x)x2 (x 1)(x2) ，则 f ( x)的零点个数为 (）A ?B 1.C2?D3a( ）曲线方程为yf ( x) 函数在区间 0, a 上有连续导数， 则定积分af t (x)dx0（）A 曲边梯形 AB D面积 ?B 梯形 ABOD面积 .C 曲边三角形 ACD 面积 . ?D 三角形 ACD 面积 .（3）在下列微分方程中, 以 yC1exC2 cos2xC3sin 2x（ C1 ,C2 , C3 为任意常数）为通解的是 ()Ayy4 y4 y0 ?B4 y 0yy4 yCyy4 y4 y0 ? D yy4 y4 y0（）设函数f ( x)

22、 在 (,) 内单调有界 ,xn 为数列 , 下列命题正确的是 （）A若 xn收敛 , 则 f ( xn ) 收敛 . ?B 若 xn 单调 , 则 f (xn ) 收敛 .C若f ( xn ) 收敛 , 则 xn 收敛 ?D若f ( xn )单调 , 则 xn 收敛 .（6)设函数 f 连续 , 若 F (u, v)f ( x2y 2 )dxdy ，其中区域 Duv 为图Duvx2y 2C vf (u) ?Dvf (u)u（ ) 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 .若 A30 , 则（）A EA 不可逆， E A 不可逆 . ?BEA 不可逆， EA 可逆 .C EA 可逆

23、， EA 可逆 . ?DEA 可逆 , EA 不可逆 .（ 8) 设 A12A 合同的矩阵为（)2, 则在实数域上与12121.A2. ? B21121?12.CD1122二、填空题 :9- 小题 , 每小题 4分 , 共 4分 , 请将答案写在答题纸指定位置上.(9 ） 已知函数 f ( x) 连续，且 lim1cosxf ( x)1 , 则 f (0)_ .(ex21) f ( x)x0（ 10) 微分方程 ( y x2e x )dxxdy0 的通解是 y _ .（ 11）曲线 sinxyln yxx 在点0,1 处的切线方程为.2（ 12) 曲线 y( x5) x 3 的拐点坐标为 _

24、_中阴影部分 , 则Fuxz( y y_ 3）设 z，则(1,2)A vf (u2 ) ? B v f (u2 ) uxx(14) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为2,3,若行列式2A48 ，则_ .三、解答题：1-2 题，共分请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.sin xsin sin xsin x(15) （本题满分9 分 ) 求极限 limx4.x 0（1 )( 本题满分10 分 )xx(t)设函数 yy( x) 由参数方程t 2确定 , 其中 x(t) 是初值问题yln(1u)du0dx2tex02y2 .dt的解 . 求xx t 00(17)(本题满

25、分分）求积分1x arcsin xdx .01 x2（1） ( 本题满分11 分）求二重积分max(xy,1),其中 D ( x, y) 0 x 2,0 y 2dxdyD（ 19)( 本题满分 1分 )设 f(x) 是区间0,上具有连续导数的单调增加函数, 且 f (0) 1 . 对任意的 t 0, 直线 x0, xt ，曲线 yf ( x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2 倍，求函数 f (x)的表达式 .（ 0) （本题满分11 分）（ 1） 证明积分中值定理: 若函数f (x) 在闭区间 a, b 上连续 , 则至少

26、存在一点bf ( )(ba) （ 2）若函数 ( x) 具有二阶导数 , 且满足 a, b ，使得f (x)dxa(2)(1), (2)3( x) dx , 证明至少存在一点(1,3), 使得( ) 02(21)(本题满分分 )求函数 ux2y2z2在约束条件 z x2y2和 x y z4下的最大值与最小值(22 ） ( 本题满分 12分 )2a1设矩阵 Aa22a, 现矩阵 A 满足方程 AXB , 其中1a22a nnXx1 , , xnT1,0,0 ,， B（ 1)求证 An1an ;（ )a 为何值，方程组有唯一解，并求x1 ；（ 3)a 为何值 , 方程组有无穷多解，并求通解 .(23）( 本题满分 0分）设 A 为阶矩阵 ,1, 2 为 A 的分别属于特征值1,1特征向量 ,向量 3 满足A 323 ,( ）证明1,2 , 3 线性无关 ;( ) 令 P1, 2 , 3 , 求 P 1 AP .2 7 年全国硕士