异面直线的夹角,线面角含答案

1、空间角1异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围:cosZ DBE逍1 7A(C,A.JT |J | X.7./: 一f IrD：/r.I C图（，2】*几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几 何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的 点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中 一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是 常用的方

2、法之一。例1在正方体 ABCD A BCD中，E是AB的中点,（1）求bA与cC夹角的度数.（2）求bA与CB夹角的度数.（3）求AE与CB夹角的余弦值.例2:长方体ABCD-ABCD中，若AB=BC=3 AA=4,求异面直线 Bi D与BC所成角的余弦值。直接平移：常见的利用其中一个直线 a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 平行线。解法一：如图，过 B点作BE/ BC交CB的延长线于E点。则/ DBE就是异面直线 DB与BC所成角，连结 DE交AB于M DE=2DM=3 5 ,170fVI-4解法二：如图，在平面 DDBB中过B点作BE/ DB交D B的延长线于E

3、,则Z C BE就是异面直线 DB与BC所成的角，连结C丘，在厶Bi C E中,Z C B E=1 35, C E=3 5 ,COS Z C BE=课堂思考:1 .如图，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC= 1 0,求AD与PC所成角的余切值为。2.在长方体 ABCD-ABCD中，若棱 BBi=BC=1 AB=J3，求D B和AC所成角的余弦值例3 如图所示，长方体 ABCD-ABCD中，/ ABA=45 , / AAD=60 ,求异面直线 AB与AD所成的角的度数课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱 AB, BC, CD，(1) 求直线AB和CE所成的角的余弦值。(2) 求直线A

4、F和CE所成的角的余弦值。二、线面角例3题图DA及对角线 AC BD均相等，E为AD的中点，F为BC中,n1、 线面角的范围：0 ,.2、线面角的求法1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角.在某一 直角三角形内求解.2） 线面角的求法还可以不用做出平面角.可求出线上某点到平面的距离d,利用sin a =d可求直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在 平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1 ）四面体 ABCS中，SA,

5、SB,SC两两垂直，/ SBA=45 ,/ SBC=60 , M 为AB的中点，求（1） BC与平面SAB所成的角。（2） SC与平面ABC所成的角。解：（1）/ SCL SB,SC丄 SA, SC丄平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结 SM,CM 则 SML AB,又 SCL AB,. AB丄平面 SCM,面 ABCL面 SCM过S作SHL CM于 H, 则SH丄平面ABC CH即为SC在面ABC内的射影。/ SCH为SC与平面ABC所成的角。sin / SCH=SH/ SC SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/

6、7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是: 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sin 0 =h/i其中B是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2(如图2) 长方体 ABCD-ABQD , AB=3 ,BC=2, A iA= 4 ，求AB与面 ABQD所成的角。解：设点B到ABCD的距离为h,VB-ABIC仔VA- BB1C1. 1/ 3 S AB1C1

7、 h= 1 / 3 S BB1C1 AB 易得 h=12/ 5设AB与面A B 1C1D所成的角为B ,则sin 0 =h/AB=4/5C34H1D1图2 AB与面ABCD所成的角为 arcsin 4 /5例3、如图甲，在平面四边形 ABCDZ A= 45,/ C= 90。，/ ADC= 105, AB= BD再将四边形 ABCD& BD折起, 使平面ABDL平面BDC如图乙)，设点E、F分别为棱AC AD的中点.(1)求证：DCL平面ABC 求BF与平面ABC所成角的正弦值.证明：在图甲中， AB= BD且/ A= 45,/ ADB= 45 . / ABD= 90,即卩 A吐 BD在图乙中，

8、平面 ABDL平面BDC且平面 ABCT平面BDC= BD AEL平面 BDC AEL CD又/ DCB= 90,二 DCL BC 且 ABH BC= B.DCL平面 ABC2) / E F分别为 AC AD的中点， EF/ CD 又由(1)知DCL平面 ABC EF丄平面ABC垂足为点E. / FBE是 BF与平面 ABC所成的角.在图甲中，/ ADC= 105, /BDC= 60,/ DBC= 30.T设 CD= a,贝V BD= 2a, BC= J3a,BF=1 1,EF= CD=尹在 Rt FEB中, sin / FBE=囂=BF 2a4即BF与平面ABC所成角的正弦值为练习3在三棱柱

9、 ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BBIC1C的中心，则AD与平面BB1CIC所成角的大小是（） 答案：CA. 30B. 45C. 60D. 90练习4（2011 全国卷）如图，四棱锥 S ABCDKAB/ CD BCL CD 侧面 SAB为等边三角形，AB= BC= 2, CD= SD= 1.（1）证明：SDL平面SAB求AB与平面SBC所成的角的正弦值解：（1）证明：取AB的中点E,连接DE则四边形BCDE矩形，DE= CB= 2.连接 SE 贝U SEL AB SE=73.又SD= 1，故ED= SE+ SD，所以/ DSE为直角,即 SDL SE由 ABL

10、 DE ABL SE DE? SE= E,得 ABL平面 SDE 所以ABL SDSD与两条相交直线AB SE都垂直，所以SDL平面SAB由ABL平面SDE知，平面 ABCL平面 SDESFL DE垂足为F,贝U SF丄平面ABCD SF=SDX SE_ 並 DE = T.作FGL BC垂足为 G贝U FG= DC= 1.连接SG则SGL BC又 BCL FG SG? FG= G,故BCL平面SFG平面SBCL平面SFG作FHL SG H为垂足,贝U FH丄平面SBC即F到平面SBC勺距离为由于ED/ BC 所以ED/平面SBC E到平面SBC的距离d也为设AB与平面SBC所成的角为a ,则s

11、in ad .21EB=课后作业、如图，在四棱锥 P- ABCD , PAL底面ABCD ABL AD ACL CD/ ABC= 60 , PA= AB= BC E 是 PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；证明AEL平面PCD(3)求二面角A PD C的正弦值.思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.(1)解 在四棱锥P-ABC中,因PAL底面 ABCD AE?平面ABCD故 PAL AB 又 A吐 AD PAH AD=代从而AB丄平面PAD故PB在平面PAD内的射影为PA 从而/ APB为PB和平面

12、PAD所成的角.在 Rt PAB中, AB= PA 故/ APB= 45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45证明在四棱锥P- ABCD中,因PAL底面 ABCD CD?平面ABCD故 CDL PA 由条件 CDL AC PAH AC= A, CD丄平面PAC又 AE?平面 PAC - AE! CD.由 PA= AB= BC / ABC= 60，可得 AC= PA/ E是PC的中点， AEL PC又PCH CD= C,综上得 AE!平面PCD解 过点E作EML PD垂足为 M 连接AM如图所示. 由 知，AE!平面PCD AM在平面PCD内的射影是 EM 则 AML PD.因此/ AME1二面角 A- PD C的平面角.由已知，可得/ CAD= 30 .设AC= a,可得咲a , ADa,唤导,AE=為亠小PAAD在 Rt AD冲， AML PD - AM PD= PA- AD 贝U AM= “ = l PD 血 vaAE 14在Rt AEM中，sin / AME= AT 丁所以二面角A PD C的正弦值为探究提高(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成;计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的 棱