微积分学习总结

1、第一章函数与极限第一节函数函数内容网络图区间定义域不等式 定义集合 对应法则I表格法表达方法图象法 0，使得对每一个 x D，都有f x M则f(x)为D上的有界函数。几何意义，若f(x)为D上的有界函数，则 f(x)的图象完全落在直线 y=-M与y=M之间。注意：直线y=-M，y=M不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是定义 设y=f(x)为定义在 D上的函数，若对每一个正常数M (无论 M多么大)，都存在x0D，使f x0 M，则称f(x)为D上的无界函数。6 函数的延拓与分解有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性岀发，开拓由已知 产生新的函数的方法。设y

2、f x,x 0,a，我考虑区间-a,a上的函数F(x)，它是偶函数，且在0,a上，使F(x)=f(x)，则宀亠f x, x 0,a,应有F x f x x a,0.称F (x)是f(x)的偶延拓同样可给岀f(x)的奇延拓，即函数 F ( x)在-a,a上的奇函数，且在(0,a) 上, F ( x) =f(x)，则应有f x , x 0, aF x 0, x 0这样，研究f(x)只要，研究F (x)就可以了。f x , x a,0同样，对于函数 y=f(x), x a, b，可以构造一个以(b-a)为周期的周期函数F (乂)，在(a,b) 上,F (x) =f(x)，则有 F Xf x , x

3、a,bf x n b a ,xnb n 1 a, n 1 b na , n z这就是函数f（x）的周期延招，研究 f（x）只要研究F 此外，定义在区间（ff Xf X-a,a）上的任何一个函数X f X（X ）就可以了。f（x）都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上设f1 X由奇偶函数的定义知,fl（X ）是奇函数。f2（X ）是偶函数，且ff1 xf2 x .X g1 Xg2我们还可以证明fl（X）, f2（X）是唯一存在，如果其中g1（x）是奇函数，g2（X）是偶函数，于是f X g1 X g2 X , fX g1 Xg2X g1 Xg2 X ,f x解得g1 x xf1 X，g2解题

4、基本方法与技巧一、求函数定义域的方法（2）偶次根号下应大于或等于零;分式的分母不能为零;1 若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，且在（1）(3)对数式的真数应大于零且底数大于零不为1 ;（4） arc sin X 或arc cos X，其(5)tan x，其 k 2若函数的表达式由几项组成，分段函数的定义域是各段定义域的并集。定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的x k , k 乙 cot x ,其 k2则它的定义域是各项定义域的交集；（6）（7）2. 若函数涉及到实际问题， 集合。3. 对于抽象函数的定义域问题，要依

5、据函数定义及题设条件。例1求下列函数的定义域：(1) y 3x x3 ；(2) yarc2解（1）要使函数式子有意义，就必须满足3x1 XX30。化简有30,.30.解之，得定义域为 X0,：?；3。(2)要使函数式子有意义，就必须满足2x1 x1，即2x1 X例2不清设f X故所给函数的定义域为x : x R 且 x 1,x2x注意：如果把一1丄x 2化简为，那么函数的定义域为1的一切实数，因此，求函数的定义化简有 122 1，321，1 x1 x不等式各边除以(-2)有，31121 x21x2各边取倒数得，2。解之，得函数的定义域为3，求f(x)的定义域1 x 2解要使函数式子有意义，必须

6、满足变形式时需特别小心，避免出错。3已知f Xx2e1 x且 x 0，求并写出它的定义域。由In 14 设f(x)的定义域为要使f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足000，1，试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域(a0)。1,1,1 a,a.知函数的定义域为a。当a 1时，由a1 a，知定义域2即 x 0，所以 x In 1 x , x 0。不存在。、求函数值域的方法1. 由定义域x的范围，利用不等式求岀f(x)的范围；2. 若y=f(x)有反函数x=F-1(y)，求岀反函数的定义域就是函数的值域;3.利用一元二次方程的判别式求函数的值域。例5 求下列函数值域:（1） y x ,1

7、x ；(2) yx2 2x 1(3) y解（1）令1 x t,则x 1 t2，于是yx 1 x 1 t2 t当且仅当t故函数y x . 1 x的值域是(2)由 y -x 3，得（x+3）y=x+1，解之,的反函数,x 3x的定义域是yy 11,故函数值域是,11,（3）由原函数式变形，得2x 1,y 1 x2当 y-1=0,即y=1时，x=0；当0,即y故函数的值域为0，4。三、判断两函数是否为同一函数的方法例6 判断下列各组函数是否为同一函数：（1） （ i） ysin x 0 x ；x 1（2）（ i）y 厂x 1解（1）由y=sinx的定义域是0 ,n , s(ii) S . 1 COS

8、2 t 0 t ,1(ii) yx 1.1 COS2t的定义域是0 ,n 。知两函数定义域相同,又 SV1 cos21Jsin2tsi ntsi nt 0 t,知两函数对应法则相同，故（i）（ ii）为同一函数。x 1（2）由y 2的定义域是xx 1两函数定义域不同，尽管当x 1时,1的全体实数,是同一个函数的定义域是1的全体实数，知，知两函数对应法则相同，但（i)( ii )不四、求反函数方法步骤：1.从 y=f(x)中解岀 x=f-1(y) ;2.改写成 y=f-1(x),则 y=f- 1(x)是 x=f 1(y)的反函数.例7 求下列函数的反函数：(1) y41 _X1 x 0 ；( 2

9、) y Vx O,a工1常数)2解(1)由fx2 3厂x2V 1 X 2 V 1 X 2 f x，知f(x)为偶函数(2)由 f XIn -In,1x 1xIn1x 1 x(3)由 fx1111x a1 21x a1 21xa1 ax1111xa2 1xa2xax a12ax1 a1丄211-fx，知f(x)为奇函数a12In 10,知f(x)为奇函数。七、周期函数的判断与周期的求法1 周期函数周期的求法(1)若T为f(x)的周期，则f(ax+b)的周期为 a 0axx(1) f x2ta n3ta n ；23(2)44x sin x cos x ；( 3)(2)若f(x)的周期为Ti, g(

10、x)的周期为T2,则cif(x)+C2g(x)的周期为Ti, T2的最小公倍数。2 周期函数的判断方法。(1) 用定义。(2) 用周期函数的运算性质。常见函数的周期：sinx,cosx,其周期 T=2n; tan x, cot x, sin x, cosx,其周期 T=n。例12 求下列函数周期x解(1)由tan 的周期T12x故f(x)的周期性期为6n-2 ，tan的周期 T231313(2) 由 f2x sin x彳1f1sin 2x22cos x222si ncos4x2x cos x11 14341 cos4x，矢知4f(x)的周期T21042(3)设 xn r 0 r1,nZ , T

11、为任意整数,由x T fn T r nTrn T rnT r Tnrnr n r f x知任意整数均为其周期，则最小周期T=1例13 若函数f Xx的图形关于两条直线x=a和x=b对称(ba)，则f(x)为周期函数。证由条件函数的对称性知fax fa x ,(1)f bx f b x ,(2)故函数在a,bK 中占(a+b)/2处的值等于占 aab a处的函数值1 八、处口八、2/和1 b2从而猜想如果f(x)为周期函数，则周期应为bb aab a2 b a22事实上f x2 b af b x b 2af bx b2af2a xfa ax fa ax f x所以f(x)是以2(b-a)为周期的

12、周期函数。八、单调函数的判断方法1 .用定义。2 利用单调函数的性质。(1)两个递减(增)函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数 例14 设 x , X及f(x)为递增函数证明：若(1)(2)证 设X0为三个函数公共域内的任一点，则Xo f XoXoXo由(1)以及函数f(x)的递增性知f Xo f f Xo ,Xo从而Xof f Xo同理可证f f xoxo由Xo的任意性知，于是(2)式成立。九、函数有界性的判断 判断函数是否有界，经常用定义。 例15 判断下列函数是否有界:(1) f X;1 X(2)12Xo,1解(1)由f(x)的定义域是Ro当X 0时，f XX1

13、X2x 12x 2，当 % 时,fO O,有 fO1知x R时，f x ，所以f(x)为有界函数。2卄1(2)M O,取 Xo O,1 o1Jm 1f Xo1M 1M 1 M 1 M .由无界函数的定义知 f(x)在(O，1) 上无界第二节函数极限与连续函数极限定义函数极限内容网络图lim f(x) Axlim f (x) Ax X0lim f (x)x xolim f (x)性质 唯性,有界性,不等式，保号性，四则运算r夹逼定理判断函数极限存在准则单调有界定理单侧极限与双侧极限j函数极限与数列极限一一归结原则。关系定理极限与连纟函数极限与无穷小无穷大与无穷小无穷小的阶高阶、同阶、等价。函数连

14、续定义 lim f(x)x x0f(x0)或 lim y 0x 0可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断点分类第二类间断点闭区间上连续函数的性质初等函数在其定义域内的 闭区间上连续内容提要与释疑解难最大(小)值定理V零值点定理(根的存在定理)介值定理、函数极限的概念1. lim f(x)A:若存在一个常数A,x0, X0,当 xX 时，都有 f (x) A2. lim f (x) A:把 1 中“ x X 换成“ x X ”x3. lim f(x) A:把 1 中“ x X ” 换成“ x X ” x7定理 lim f (x) A Jim f (x) A且 Jim f (x) A.limX Xo

15、f (x) A:设f (x)在Xo的某空心邻域U Xo有定义，若存在一个常数A，0,0,当0Xo时，都有f (x)limX Xof (x) A:f (x)在xo的某左半邻域(xo)内有定义，若存在一个常数A，o,o,当xXoo时，都有f(x)可用记f (Xoo)或 f(Xo)极限值 A， 因此可写成lim f (x)X Xof (x0 0)或 lim f (x)f (x0 )X Xo6. limX Xof(x) A:设f(X)在Xo的某右半邻oU (Xo)内有定义，若存在一个常数A,o,o，当Xo8时，都有f (x) A此时也可用f (Xoo)或 f(X。)表示右极限因此可写成lim fX X

16、of Xoo 或 lim f(x)x X)Xo。定理 lim fX Xolim fX xoA 且 lim f x A.X XoXo的左右极限7. lim f (x)X XoM o,o,当oXo时，都有f(x)M。此时称xXo 时，f(x)该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在 存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。是无穷大量。而 lim f (x)X Xo，只要把公式中“f(x)M ” 改成“ f(x)，lim f (x)X Xo，只要把上式中“ f (X)”改成“f (X)8. im f (x)M o,X时，都有f(x)读者同理可给出lim (或

17、X)f(x)(或 )定义。注：lim f (x)X xoA (常数)与 lim f (x)X xo的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说 函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。9. lim f (x) o。称f(x)当xXo是无穷小量。这里的Xo可以是常数，也可以是X Xo定理 lim f(x)A(常数)f(x) A (x)。X Xo其中 lim (x)0。x x010若 0, M 0,当x U(Xx,)时，都有f(x) M，称f (x)当xXo时是有界量。、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷

18、大量关系设 lim f (x)X x00, lim g(x)，以后我们不指岀都是指的这个意思)(1)若f(x) lim0，称f(x)当Xx X。g(x)f(x)(g(x)(xX0 )。(2)若f(x) limc(常数)0,，称x Xo g(x)(3)若.f(x) lim1，称 f (x)当 Xx x g(x)此时(2)式也可记作f x cg xX(4)若.f(x)limk c(常数)0(kx X0 XX0(这里x0可以是常数，也可以是X0时是g(x)的高阶无穷小量，记作由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，弓I入X0。f(x)当XX0时是g(x)的同价无穷小量。x0时是g(x)的

19、等价无穷小量，记作f x g x xX。，0常数)，称f (X)当XX0时是X X0的k阶无穷小量。若 lim f (x)1。记作 f (x) g(x)(x x0)，x x g(x)如果f(x), g(x)均是无穷小量，称为等价无穷小量； 如果f(x), g(x)均是无穷大量，称为等价无穷大量;如果f(x), g(x)既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如 lim f (x)A(常数)0，则 f (x) A(xx0)X X)注：A不能为零，若 A=0， f (X)不可能和0等价。X。时，均为无穷小量，则无穷小量的性质：1若 1(X),2(X), m(X )当X(i) lim Ci i(

20、x) C2 2(x)Cm m(x)0.x Xo其中C|,C2, cm均为常数。(ii)吧 i(x) 2(X) m(X)02 若f (X)当XX0时是有界量,(X)当XX0时是无穷小量，则lim f(x) (x)X x0无穷大量的性质：1 有限个无穷大量之积仍是无穷大量。2 有界量与无穷大量之和仍是无穷大量 无穷小量与无穷大量之间的关系：r r1若 lim f (x),则 limxxx X0 f ( x)若 lim f(x)0,且0,当xXxo0U (x0,)时f (x) 0,则 limx x函数连续的概念。定义若 lim f (x)f (x0),称f (x)在x x0 处连续。X X语言可写为

21、设f (x)在x0的某邻域U (x0)内有定义，若0,0,当xX。时，都有f(x)f (x0)，称f (x)在X X0处连续。用函数值增量y形式可写为定义 若lim y 0,称f (x)在x x0处连续。x 0若lim f (x) f (x0),称f (x)在x x0处左连续。X x若lim f (x) f(x),称f (x)在x X0处右连续。X X0定理f (x)在x0处连续f (x)在x0处既是左连续又是右连续。如果f (X)在X X0处不连续，称X X0为f(x)的间断点。间断点的分类：(1)若lim f (x) A(常数),但f (x)在x x0处不连续，称x x0是f (x)的可去

22、间断点X X0若xXo为函数f(x)的可去间断点，只须补充定义或改变f(x)在x X0处的函数值,使函数在该点连续。但须注意，这时函数与f (x)已经不是同一个函数但仅在x x0处不同，在其它点相同。我们正是利用这一,性质去构造一个新的函数F (x)，使F (x)在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当x x0时，也具有这种性质。而x x0时，F(x) f (x)，所以f (x)在x x0的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的例如f(x)呼lim0f(x)x x 0但f(x)在x 0处没定义，知f(x)在x 0处不连续，设F(x)sin xx1,xx 0,0.W F x在x 0处连续，但

23、F x与f x定义域不同,虽然F(x)与f (x)不是同一函数，但在x 0处完全相同，又如f(x)sin x,xx0, x0,0.lim0f(x)f (0)0,知f(x)在x 0处不连续设 F(x)sin x,xx1, x0,0.则F(x)在x 0处连续，虽然 F(x)与f (x)定义域相同，但在 x0处，两个函数值不同，知F(x)与f(x)不是同一函数，但仅在x 0不同，其余点函数值处处相同。(2) 若 lim f (x)f (x0 0). lim f (x) f (x0 0),但 f (x 0) f (x 0)，称 x x0 为 f (x)x x0x x0的跳跃间断点，称f(x0 0) f

24、 (x0 0)为f (x)的跳跃度。(1)( 2)两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。(3) 若X。处，左、右极限至少有一个不存在，我们称x X。为f (x)的第二类间断点。若lim f (x)，我们也称xx为f (x)的无穷型间断点，属于第二类间断点x 勺四、函数极限的性质 在下述六种类型的函数极限:(1) lim f(x)X(2) Jim f(x)(3) lim f (x)(4)lim f (x)X Xo(4)lim f (x)X Xo(6) lim f (x)X X它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以lim f(x)为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作X x

25、o适当修改就可以了。性质1 (唯一性)若极限limX Xof(x)存在，则它只有一个极限。性质2 (局部有界性)若极限lim f(x)存在，则存在xo的某空心邻域X Xo0 0U (x0)，使 f (x)在 U (x0)内有界。、:I . 7.注意:lim f (x)存在，只能得岀f(x)在xo的某邻域内有界，得不岀XX0f (x)在其定义域内有界。若 lim f (x) A, lim g(x) B,且A B，则存在X XoXoXXo0的某空心邻域U (Xo, o)，使0x U(Xo, o)时,都有f (x) g(x)。性质4(局部保号性)若 lim f (x)X xoA o(或o)，则对任何

26、常数A(或A0)，存在X。o的某空心邻域u (x0)，使得对一切0x U (x0)，都有f (x)性质 5 (不等式)若 lim f (X) A, lim g(x) X X0Xxo0(或f (x)0)成立。0B，且存在Xo的某空心邻域U(Xo, o )，使得对一切0x U(Xo, o)，都有 f (x)g(x),则 A性质6 (复合函数的极限)若limX Xo(x)Uo,limU Uof(u)A，且存在X。0的某空心邻域U(Xo,)，0U (Xo,)时，(x)性质limX X则limX6是求极限的一个重要方法一一变量替换法，即f ( (x)令(x) u lim f (u) A。Uo ，xof(

27、x)limU uof(u) A。且 x xo, (x) UoUo7 (函数极限的四则运算)limX Xof(x)与lim g(x)x Xo均存在，则函数f(x)g (x), f (x) g (x), cf (x)(c为常数)在Xx0时极限均存在且(1) lim f (x)X Xog(x)lim f (x)X Xlim g(x)；X Xo(2)lim f (x)X Xog(x)lim f (x) lim g(x)；X XoXX(3)lim cf (x)X XoC limX Xof (x);又若lim g(x)X Xoo,则g xXo时的极限也存在，且有lim Xn Xo Xn xo,n 1,2,

28、极限 limnn逆否定理若存在两个数列lim f(xn) A, lim f(xn)B, A B 或存在nn存在。此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。五、函数连续的性质若函数f (x)在点x x0处连续，即lim f (x)x xo的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把利用极限的四则运算，我们有性质 1 (连续函数的四则运(4)lim 型x Xo g(x)lim f (x)x X0lim g(x) X Xo利用极限的四则运算，可得下列重要结果。nn 1lim_ (a。， ,an,bo, ,bm均为常数，a 0,b 0)x boxbixbm ixbmxn a0X，m Xm bo1 . a

29、1LX1an 1 n 1X1an nX0, nao b ,n bo,nmmmb1- L Xb 1bm 1 m 1Xbm mX上面的结论可作为公式用。性质8 (归结原则或海涅(Hei ne)定理)limX Xof (x)存在的充要条件是f (xn)都存在且相等。Xn , Xn , limXn = Xo, lim Xn = Xo,且nnXn ,lim XnXo,lim f (Xn)不存在，则 lim f (Xo)不nnn Xof (xo)，利用极限的性质1-5可得到函数在X Xo连续oU (Xo)改成U(Xo)即可，读者自己叙述岀来。算)若 f(x), g(x)在点x Xo处连续，则f (x) g

30、 (x), f (x)g(x),cf (x)(c为常数)f (x) (g(xo)o)在x xo处也连续g(x)性质2若u(x)在Xo处连续，yf (u)在uo(xo)处连续，则y f( (x)在x Xo处也连续且 lim f ( (x) f( (xo) f(lim (x)XX)x Xo在满足性质2的条件下，极限符号与外函数f可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论若limx x0(x) U0,yf(u)在u U0处连续,则nf(X)f (limX X0(X)。证设 g(x)(x), x x0,亠则g(x)在xX。处连续，又yf (u)在 uUog(x)U0,x X。，处连续，由性质2 知 lim

31、 f (g(x) f(lim g(x)。x xoXX。由于xx0,要求x x0,有g(x)(x),所以 lim f (x xo(x)f (limx Xo(X)。在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。即极限符号与外函数f交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。定理初等函数在其定义域上连续。六、闭区间上连续函数的性质定理(最大值与最小值定理)若 f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a, b上一定能取到最大值与最小值，即存在Xj, x2a,b,f(xj M , f (x2) m，使得对一切x a,b，都有

32、m f (x) M。推论1 若f (x)在闭区间a,b上连续，则f (x)在a,b上有界。定理(根的存在定理或零值点定理)若函数 f (x)在闭区间a,b上连续，f (a) f(b) 0 ,则至少存在一点 (a,b),使f( )0。推论1若函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f (b), c为介于f(a), f(b)之间的任何常数，则至少存在一点(a,b),使f( ) c。推论2若函数f (x)在闭区间a, b上连续，则 值域R( f) m, M 。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。七、重要的函数极限与重要的等价量利用初等函数的连续性及

33、极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。.isin x 彳门-1. lim1.2. lim (1 x)x e.x 0 xx o1 13. lim1x)lim 丄1 n(1x) lim ln(1x)x In lim (1x)x In e 1 .x 0 xx 0 xx 0x 0e1、八 xt14. lim设 e 1 t limlim1.0 xt 0 ln(1 t) t 0 ln(1 t)txxln a5. lim lim ln a ln a(a 0, a 1 为常数).x 0 x x 0 xln a6. lim gU讪匸_9 bb(b为常数,b 0).x 0 x

34、x 0 bln(1 x) x8.arctan x、几，,设 arcta n x t9.xIn x Xim = X xlim t 0 tantst8t 、nsi 叫t10.klimx a0(k0(a11 .若 lim u(x) ax xqlim u(x)V(x)X x00常数).1常数，k为常数).0, lim v(x)X x0V (x) ln u(x)lim eX x0b(a, b均为常数),则lim V(x) lnu(x)ex x0lim V(x) lim lnu(x)x xox xo=ebln aln abe e即 lim u(x)v(x)abx Xq注：不仅要记住这些公式的标准形式,更要

35、明白一般形式。 即上面公式中的 X可换成f(x)，只要XXoarcsinx、八xl.t7. lim设arcsinx tlimlim .1x 0xt 0 si ntt 0 sintt时，f (x)0 ,结论依然成立 利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当 x 0 时，si nxx,l n(1 x) x,eX 1 x, ax 1 x l na(a 0,a 1,常数)b12(1 x) 1 bx(b 0,常数),arcsi nxx,arcta n x x,1 cosx x .2注：上式中的x可换成f (x)，只要Xx0时，f(x) 0 .结论依然成立。例如 sin f (x) f (x)(若xx0时,f (x)0)此外，若 lim f (x) A(常数)0,f(x)A(xx。).X X) 解题基本方法与技巧一、求函数极限的有关定理等价量替换定理，若(1) f (x) fi(x), g(x) gi(x),h(x) hi x (xx)； lim fi (x)gi(x)X x0hi(x)A(或 )；，则 lim f (x)g(x)x xoh(x)lim fi (x)gi(x)x Xohi(x)A(或).证lim卫遊x xoh(x)limx Xofi (x)gi (x) f (x) g(x) hi(x)A 1 1 1A(或hi(x)fi(x