弹性力学10-楔形体受重力和液体压力

1、第三章 平面问题直角坐标解答本节内容3.5楔形体受重力和液体压力内容要点：半逆解法求解楔形体的应力分量表达式。第三章平面问题直角坐标解答第三章平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力?问题：如图，无限长的楔形体受重力和液体 压力，试求应力分量。（下部无限延伸，侧面 受水压力作用。）(b)3.5楔形体受重力和液体压力解：按半逆解法的步骤进行求解。从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形式O楔形体内任意点的应力由 重力和液体压 力所引起，两部分应力分别与1g和2g成|正比，此外应力分量还与、x、y有关。9应力量纲（N/m2）比ig和 2g的量纲（ N/m3 ）高一次幕的长度量纲。 的量纲 是

2、1，x、y的量纲是（m ）。因此应力分量y I g如果有多项式解答，那只能是ig和2g与x和y的一次式相乘，亦即应力中只能包含x和y的纯一次式第三章 平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力(2由应力推出应力函数的一般形式；由方程(2-2可知，应力函数应比应力的量纲提高长 度的二次幕，所以应力函数应为 x和y的纯三次式, 而纯三次多项式有四项，即(x yax3bXycxy2dy3，)(3)校核应力函数此纯三次多项式自然满足相容方程y3.5楔形体受重力和液体压力(x y ax bx y cxy dy,)3223(4由应力函数求应力分量将应力函数代入式(2-26)可得应力分量：f x x

3、2cx 6dy2 xy2f y y 6ax 2by注意体力项gyX22cy 2bx2xyx y?校核应力分量：上述应力分量是自然满足平衡微分方程和相容方程的。 其中的4个待定常数由边界条件来确定。第三章 平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力(5考察边界条件：只有两个边界，均为主要边界(大边界 )，都应精确满足应力边界条件；?首先考察左边界上的应力边界条件：(x | ogy |02) ,()xxy x0将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如下待定常数:c0, d6第三章平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力x?其次考察右边界没有面力，故：（xy0x=yta nm)x

4、yy tangy将该边界的外法线方向余弦和应力分量 在相应边界处的值代入上述条件，化为关 于y的表达式：2gl cos , m sinx 2cx 6dy, 6ax 2bygy，2bx 2cyyxy可求解得到如下待定常数：ggg232 cot a2cotcot1263第三章平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力21xyx2g(g coty 12 g cot )x32xy(g cot 2 g) y沿水平方 向的应力 分布gx cot2李维(Levy)解答xy2?应力分量 化?应力分量界上值yx 0X沿水平方向没变y沿水平方向按直线变化，可求出其在左右两边12y(g g cot2 ) y,

5、x y tangy cot?应力分量 上值为xy也按直线变化，可求出其在两边界xy0, cotgy0x y tanxy2第三章 平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力?以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答，但要注意以下三点：1沿着坝轴，坝身往往截面不同，并且坝身常常不是无限长 ，因此严格讲，这不是一个平面问题。但是，如果可将坝身分 为若干段，每段范围内坝身截面可当作不变化，z向切应力也可当作0,则可作为平面问题来求解。2、假定了下端是无限长，可以自由变形。实际上坝身是有限 高的，底部与地基相连，即受约束，因此对于底部，以上解答 是不精确的。3、坝顶不会是尖顶，而且还会受其它

6、的荷载，因此，在坝顶 处，以上解答也不适用。关于重力坝的较精确的应力分析，目前大多采用有限元 方法来进行。第三章平面问题直角坐标解答3.5楔形体受重力和液体压力?从本章几节内容可以看岀，所有解答均与弹性常数无关： 1本节将三角形水坝当做平面应变问题对待，得到的解答与 平面应力问题是一样的。 一一体力为常数时式（3-7三个方 程均不含弹性常数。2该性质可用于进行试验分析，用不同的材料做结构模型进 行试验分析（要考虑材料重度不同），试验模型得到的应力 分布与实际结构物的应力分布一致，因为二者解答与材料弹 性常数无关。例如可以用环氧树脂材料做混凝土大坝模型， 进行应力试验分析，所得的模型应力分布与实

7、际混凝土大坝 应力分布情况一致，由此可以给大坝设计人员提供参考依据第三章 平面问题直角坐标解答 本章小结（1）逆解法与半逆解法回顾?逆解法求出应 带入力分量式（ 2-l5求出面力合力确定解决什 A么问题?半逆解法否否第三章 平面问题直角坐标解答本章小结（2）边界条件?在校核应力边界条件时，必须注意以下几点：1首先考虑主要边界（大边界）上的条件，然后考虑次要边界 （小边界）上的条件；2、在主要边界上，必须精确地满足边界条件，每个边界应有两 个条件；3、在次要边界上，如不能满足边界条件，可以应用圣维南原理 ，用三个积分的边界条件（主矢量和主矩的条件）来代替；4、必须把边界方程代入边界条件；5、分清

8、边界条件中应力和面力的不同符号规定 ；6、除一个次要边界外，其他所有边界条件都必须进行校核并使 之满足。当平衡微分方程、相容方程和其他应力边界条件都满足 以后，未校核的一个次要边界上的三个积分边界条件必然满足。第三章 平面问题直角坐标解答本章小结（3）常体力平面问题解答中的应力分量本章32梁纯弯曲、3.4简支梁均布荷载、3.5楔形体受力所解得的应力分量均不含弹性常数（常体力情况下相容方程 不含弹性常数），因此：（1）应力解答结果即可用于平面应力问题，又可用于平面应 变问题（位移及应变不可以）。（2）可采用与结构物材料不同的廉价的材料来制作结构物模型进行试验分析，所得的应力与实际结构物应力分布一

9、致。本章小结（4）典型题型分类及相应解法所有问题归结为两种；矩形梁（板）和三角形楔形体（一）多项式解答逆解法已经给出应力函数，判断其能够解决什么样的问 题。由应力函数解得应力分量，然后带入边界方 程，确定其边界应力条件。习题 3-1、2、3、4（二）梁、长板类弹性体应力函数方法 半逆解法 应力分量与梁内力的关系可表示为：xM(q x f (y)x)f ()()q(x) f ()然后由:xyQ( f4(y)x)考虑挤压应力影响导致22xyy x确定应力函数的具体形式40第三章 平面问题直角坐标解答本章小结（4）典型题型分类及相应解法（三）三角形板、楔形体的求解方法 一 量纲分析法确定应力函数初步

10、形式： 侧面受水压作用：2g（N/m3）（水的容重）；自重作用：g（N/m ?（楔形体的容重）。 分析思路：2(b)由2推理得:xy应为x、y的纯三次函数。(a)g, gxig、2g的量纲为：N/m223(x, y) ax bx y cxydy322 3x的量纲为：N/m2。x的形式应为：gx , gy ,gx , gy的线性组合。图示矩形截面简支梁，长为匚高为方，受一 yO有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其 血力分布。(1)应力函数形式的确定梁截面上弯矩和剪力为:QM =2Z取应力分量by分析,对此式积分二由材料力学方法可确定应力分量的分离雯量形式二q =Mx)fxy) + qx)f2(

11、y) =/；(刃 + 爷朋) J = q(x)f3(y)=f3(y)Txy = 0(*)办(刃=-fSy)取应力分量by与应力函数的关系二+広（丿）ZOO+AGO dx+f3(y)0 =答 fO）+筋（刃 +/O90/（2）由相容方程确定待定函数弓=窪=爷爪）对此趣乐如-f知7 g+伽=写/Q） +砂一为待定函数第=。許瞥炉）十M3 +/O伞如 一代入一驾+ 2* +学=0dx2dy2 I 71 5丁 5x4 dx2dy2 dy4瞥 Z(4)00 + 坊(刃 + 2 爷 /； (J) +/理 y) = 0瞥於）M+非（0+2辛士（同+/0少=0要使上述方程对任意的X成立，有Z(4)W = 0(

12、a)炉 0)+2 暂 = 0 (b) / = 0(C)积分式(a),得fi(y) = Ay3 + By2 + Cy + D 将上式代入(b)积分，得 r / 5 , B 4 , E 7fiy-r+y +牙歹/ 1U O D(d)0=/ O)+Sly) +/Q) o/积分式(c),得f3(y) = Hy3 + Ky2(f)将求得的/!(刃/。)，/0)代入应力函数，有+ Fy1+Gy (e) 丿0=念+o+D）0/+脏Ub+色4+与+时+胡 Z U（r 6“3丿+矽+砂（g）（3）计算助分量+ 6Hy+2K叮窪-竽（妙+时+切功Ox “ I d2（p _ qQx2“荡=+ 鱼4/八(h)5 V

13、=竽（6勿+ 2） +脏（2勿3+2为2+2心+ 2尸）(3Ay2+2By + C)2+ By3 +Ey2 + 2Fv + G237(3)利用边界条件确定待定常数 上边界=歹=号y i I(-A- +B -JTxy 213 A Bh + C I +(2丿(AhEh1 +2 U -C- + D 2-LbOj、-A3 + A2 - /?+Z)= -l 842竺，一劭+ c = o3212X-Fh + G =0J(i)0)空卫+型”-o32124(k)o下边界:y弓by 二 O、兮=oh3 +h2 +h+D = 03A/?+劭+ C = 0842Ah4 Bh3 Eh211321242左边界二x = 0xix=0dy