弹塑性力学习题及答案

1、DOC文档资料2.12.22.3本教材习题和参考答案及部分习题解答计算：(1)Op i心 q 5qj6jk， (2)epqi UjkAjk， (3)QpQpBkiBj。答案(1)答案（2）解：（3）证明：若（需证明）设a、pi 】qqjjk = -pk ；epqi ejk Ajk = Apq - Aqp ；ejp ekip B Bij =(；条“-山：沖)Bki Bo = Bii Bjj BjiBj。 aij aji ，贝it ejk ajk 0。b和c是三个矢量，试证明: a b a cb b b c c b c c4 a, b, c2aia证：因为baaibaiCaia2a3aibiCib

2、ccc=bi$b2C2b3a2C3卫3b2C2b3C3所以a adet ba.caaibbcccai=det(bia2b2C2a J ai bs5丄aa2bib2b31aa2a 3abiCi)=bd b3a2b2C2JcGC3a3b3C3CiC2C3Ia a a b a ca aiaibaQaia2a3aibiCib a b b b c=b a bbi b Ci=bib2b3a2b2 C2c a c b c cc a cbi Ci CiCiC2C3a3b3C3即得=a, b, c2。2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：(a b) (c d) =(a c)(b d) -(a d)(b c)

3、证明：(a b) (c d)二DOC文档资料z轴转动V角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试图2.4Cili2 i n jl j 2 j.mAili2 in Bj lj2jm2.5设有矢量u =ue。原坐标系绕 求矢量U在新坐标系中的分量。答案：ui 二ui cost U2Sin v ,U2 =_uisin v U2COS J ,U3=U3。2.6设有二阶张量T =TijG ： &。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量Till T12 Ti3和T33 o 提示：坐标变换系数与上题相同。 答案：T 1 J1 +T22 小-T22 Rs?日 +Ti2 +T21 前2 日,222

4、T 2+18$2日 +T21sin,222T 3，=Ti3cos日幵23sin 日,T3 3 T33 o2.7设有3n个数Ai2 in，对任意m阶张量Bjij2 jm，定义2A2 in是n阶张量若Cili2 inji j2 j.m为门阶张量，试证明证：为书写简单起见，取n =2，m =2，则2.8设A为二阶张量，试证明I A= trA o证：2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：(i) a A(At a)T， A a(a AT)T证：(1) -(AT a)T =(Aji e - ej akek)T =(Ajie : akejknen )T =-(Aji ak ejkn ei : en) 丁

5、= - Ajn akejki e : en=akek Ajn ej ；en =a A。证：(2) -(a AT)T 二2.10已知张量T具有矩阵1 2 3T = 4 5 6J 8 9一求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量 解：2.11已知二阶张量T的矩阵为3-10T = -1302 0 1一求T的特征值和特征矢量。解： 2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：A - ： I I m : m， B =m ： n n ： m其中，:-和1是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。解：因为A m= （一:Im ： m） m = （1）m，m垂直的任意单所以m是A的特征矢量，用 l ：-是

6、和其对应的特征值。设 a是和 位矢量，则有A a =（-订m ： m） a = ： a所以和m垂直的任意单位矢量都是 A的特征矢量，相应的特征值为 征方程的重根。(e +e 3)(e2 +e 3)上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成B =0e _ e 一匕-e2 +e3 - e3所以，三个特征值是1、0和1,对应的特征矢量是 e3、e和e。2.13设a和b是矢量，证明：、：心：(:门:a)-；(导 a2a(2)(ab)=b (、a)-a(、b)a(b)-b(a)证：(1)(2)12.14 设 a =x2ya3i -2xz3e2 - xz2e3，求 w(a、a)及其轴向矢量。解:

7、w =g(a、a)=*(x2z 2z3)e ： e2 (x2y -z2)e e3 -(2z3 x2z)e e-6xz2e. e (z2 -x2 y) e3 ： e 6xz2g由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量二 a =舟6xz2e (x2y_z2)e(2z3 x2z)。2.15设S是一闭曲面，r是从原点0到任意一点的矢径，试证明：(1) 若原点O在S的外面，积分(2) 若原点O在S的内部，积分证：当r -0时，有(b)因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得尹S八(帥=0。SV因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完

8、全在S的内部。用V表示由S和S 所围的区域，在 V中式(b)成立，所以背dS背 dS .背dS+)dV=0S SSSV即S在S 上,s罗dSr =a， n - r/a，于是S =dS =4 二。FSDOC文档资料2.16设f =ye(x _2xz)e2 -xy，试计算积分 f ) ndS。式中S是球面Sx2 y2 - z a在 xy平面的上面部分.解：用c表示圆x2 y2 =a2 ,即球面x2 y2 z2 =a2和xy平面的交线。由Stokes 公式得(l f ) ndS=f dr = ydx xdy =0。SccAVV*第二早3.1设r是矢径、u是位移，r=r+u。求述，并证明：当口门丨1时

9、，世是一个可逆 drdr的二阶张量。解：也二屯型=| uvdr dr dr址=|切可的行列式就是书中的式(3.2)，当Ui,jL 1时，这一行列式大于零，所以dr逊可逆。dr3.2设位移场为u=A r，这里的A是二阶常张量，即 A和r无关。求应变张量 反对 称张量Q =(Uu)/2及其轴向矢量 3。怕(A+AT)，Q=1(AAT)，1 1 -3u =丄 ei Ajk ej ： ek x e22:xAjkGjmCm 区k心ile AkGjmemki = AjiGjme2 2 23.3设位移场为u =A r，这里的A是二阶常张量，且 Ui,j L 1。请证明:(1) 变形前的直线在变形后仍为直线；

10、(2) 变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3) 变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为ro的点的直线方程可以写成r 二ta ro其中t是可变的参数。变形后的矢径为r =r u =r A r =(lA) r(1)DOC文档资料用I A点积式(1)的两边，并利用式(2),得r =t(I A) a (I A) ro上式也是直线方程，所表示的直线和矢量 所以变形前的直线变形后仍然是直线。(I A) a平行，过矢径为(I A) ro的点。 因为Ui,j L 1，所以I A可逆。记B二(I - A) J，则r (IA)r B r(3)变形前任意一个平面的方

11、程可以表示成a r =c(4)其中a是和平面垂直的一个常矢量，C是常数。将式(3)代入式(4)，得(a B) r -c (5)上式表示的是和矢量 a B垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3) 变形前两个平行的平面可以表示成a r ， a r = C2变形后变成(a B)r ，(a B)r仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间 夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确 定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5设位移场为u二A r，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的

12、夹 角为。求变形后;的减小量。1答案：n (A AT) m ctg ( n A n m A m)。si nB3.6设n和m是两个单位矢量，dr =ndr和、；r =m: r是两个微小的矢量，变形前它们 所张的平行四边形面积为A=dr汶6r，试用应变张量把变形时它的面积变化率A/A表示出来，其中 A是面积变形前后的改变量。 解：变形后，d r和、：r变成dW = dr e d w id， er w r对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得dr r dr r dr e r dr ； r 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 (d白 內(dW r)(drr) (dr、r) 2(dr e、r) (

13、dm) 2(dr* ：1r) (dm)(a)注意到(drr) gr m=(a ：a)2 ： a2 2( ：a)a（drr） （dr、.r） =A2所以，从式（a）可得A （dr 、r） （dr 、r） （dr &r） （dr 、r）A 一（dr、r） （dr、r）(n m) (n m) - (n) (n m)(nxm) (nxm)利用习题2.4中的等式，上式也可写成.A n n -2(n -e m)(n m) m &mA1-(n m)23.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为胡,让坐标系绕Z轴转动V角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。答案：；xcos2v ；xysin2 n，22一

14、 士5os2r-；xySin2r，22X；xy = _ sin2 v；xycos2vx z ；xz COS V z sin ： “ ，y z = ；xz Sin V ；yz COs ，-z ；z3.8在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为 0：、60：、120， 如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为；a、 ；b和；c。求平面上任意方向的相对伸长度；n。答案：；n亠玉込2二333()sin2 二33.9试说明下列应变分量是否可能发生：二 x axy2 ，二 y =ax y，二z axy ，yz =ay2 bz2， xz ax2 by2， xy =0 其中a和b为常数。解

15、：3.10确定常数Ao, A ,Bo, B , Co,Ci,C2之间的关系，使下列应变分量满足协调方程Sx =Ao +A (x2+y2)+x4 +y4，Sv =Bo +B (x2 +y2) +x4 +y4， xy =Co Ci xy( x2 y2 C2)，0 zx zy解：3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写岀位移的一般表达式 解：(由于应变张量 和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成)3.12 设矗=ax ,；y二by,；z=cz,:xy-；yz-；zx=0，其中 a , b , c 是常量，求位移的一般表达式。解：第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为

16、：-X 50a，- y 0，- z =-30a , :yz =-75a , :zx 80a , -xy 50a试求法线方向余弦为 皿=2 , “2m =冷的微分面上的总应力 T、正应力 6和剪应力，n。答案：总应力 t 巧2 T22 T32 =111.8a。正应力二n =Tn =26.04a。剪应力= ,；T2 -；一昭=108.7a。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为 n和m ,在这两个面上的应力矢量分别 为T和T2，试证T m =T2 n。证：(利用应力张量的对称性)4.3某点的应力张量为:二 xxy：Jxz012 Izx可 zy Oz210且已知经过该点的某一平面上的应力矢量

17、为零，求二y及该平面的单位法向矢量。解：设要求的单位法向矢量为ni，则按题意有-ij nj =0即n2 2n3 =0，ni 门门2 n3 =0，2ni n2 =0(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得(2心2)n2 =0上式有两个解：n2 =0或二y =1。若n2 =0 ,则代入式(a)中的三个式子，可得ni = n3 =0，这是不可能的。所以必有y =1。将”y =1代入式(a)，利用n n =1， 可求得4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图 试验证应力分量4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由,(7十C)二 y =A( -arctg丫化B)x x y2y2z = yz = x

18、z =0， .xy =-A 2x2 +y2满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A、B 和 C。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在y=0的边界上，有边界条件图4.8(二y)y：e =-q， 所给的应力分量 件，得AB - - q在上斜面上，有( xy ) y 0xy自动满足上面的第二个条件。将二y的表达式代入上面的第一个条(1)yxtg 1，所以斜面上的应力分量可以简化成ex =AC- sin ：cos 1 C)，二x =A(； sin 一：cos,B), xy - - Asin2z = yz = xz =0斜面上的外法向方向余弦为rn =-sin : , n2 =_

19、cosl -, n3 =0将式(2)和(3)代入边界条件 G nj =0，得】C =0JA(sin I： - I ：cos :)ABcos ： =0联立求解(1)和，得4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为B =tg，C =-x 二ax by， - y 二ex dy， - z =0， yz =xz 0 ， ixy = - dx - ay - x和,分别是坝身和水的比重。求常数 a、b、 使上述应力分量满足边界条件。解：在x =0的边界上，有边界条件G7x)xfi =- iy，( xy )x：0 =0将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a=0 ,b - - 1。在左侧的斜面上，x=y

20、tg 1，外法向方向余弦为ni =cos :, n2 - - sin ： ， n3 =0把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件；飞门)=0，可解得：d = Qtg2 - , c=ctg ：( -2 1ctg2 ：)。4.6物体的表面由f(x,y,z)=0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p(x, y,z)，试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为按题意，边界条件为因此Vf=pf _ 即 厅诉=pf八 f Vf 八 f、f上式的指标形式为-ij f, jPf,i。4.7如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为r的液体内，试写出该球的全部边界条件。解：球面的外法向单位矢量为当z乞0时，有边界条件(T n =0 即(T r =0 或,ij Xj =0。当z _0时，球面上的压力为gz，其中g为重力加速度，边界条件为；n - - ：?gzn 即 cr r - -:-gzr 或 ；二 Xj -gzx。4.8物体的应力状态为；二，其中二为矢径r的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使f ； 写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足