弹性力学简明教程第四版课后习题解答

1、弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和

2、岩质地基不可以作为理想弹性体。1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成 这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物 理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表 示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全 恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者 之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其

3、弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整 个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的部各质点的物理性质都是相同的，因 而物体的弹性常数不随位直坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此 假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于lo这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，

4、它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的徹分方程都简化为线性的微分方程。1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）， 这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向 为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分

5、量与面力分量符号相 反。y4化X(T负面5正的应力1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-6试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下

6、， 切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。【1-7】试画出图14中矩形薄板的正的体力面力和应力的方向。【解答】1-8试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】【1-9在图1-3的六面体上，y面上切应力ry：的合力与N面上切应力T：y的合力是否 相等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为LML ,单位为N/,沪。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如加如血，则y面上切应力的合力为：rv. - dx d乙(a)N面上切应力乙，的合力为：Tzy dx dy(b)由式(a) (b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交

7、线的切应力的合力不相等，但对某 点的合力矩相等，才导出切应力互等，性。第二章平面问题的基本理论2-1试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接 近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该 薄层的上下表面都无面力，且在薄层所有各点都有= rx: = ry: = 0,只存 在平面应力分量且它们不沿z方向变化，仅为冯y的函数。可 以认为此问题是平面应力问题。2-2试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）, 当板边上只受笛y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况

8、。【解答】板上处处受法向约束时6 = 0,且不受切向面力作用，则彳 y = o（相应 = r-v = ）板边上只受冯卩向的面力或约束，所以仅存2 在且不沿厚度变化，仅为冯y的函数，故其应变状态接近于平2 面应变的情况。2-3在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条 件工Me = 0改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形 式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件工Mc = 0,改为分别 对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方 向的尺寸取为单位1。洌=0adx -1- + (7 +- dx)dy-1- - (r + dx)dy 1 dx _ c dy-1- 52 x dx2

9、-去-2,、I o J CO.dxAxdx一 (o + -dy)dx 1 一+(rvv + dy)dx 1 心 + fxdxdy 1 亠一 fxdxdy 1 一二 0 dy2dy22yx + 字 1 + (tyx + 牛 dy)dx 1 dy + (o. + 等如 da 1 芈 去2dydy2-r.dy 1 dx _(yxdy 1 尘r,dx-l-+ fxdxdy 1 + fydxdy-1- = 02 2 2 2g(t、dxdy(crv + - dy)dx-1- - Txydy 1 dx + 1 亍 + Txxdx Ady-ydxA- (y ：不相同。(3) 位移分量：由于位移分量要靠应变分量

10、积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。图2162-8在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的6,込，Gy之间的关系式【解答】由题可得：/ = cos /,/? = cos(67-90 ) = sin afx(AB) = 0jy(AB)= 0将以上条件代入公式(2-15),得：(6 )皿 cos a + (r J曲 sm a = 0,(b,)曲 sin a + (t Jab cos a = 0=(认=-(ryxB tana = (q)肋 tan2 a【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南 原理列出三个积分的应力边界条件。VoPSh

11、2q图 2-17图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（尸0）左（A=0）右（A=b）/0-11m-1007.v()0Qg(y+M)-pg(y+h)兀($)Pgh,00代入公式（2-15）得在主要边界上上精确满足应力边界条件：（ah 二-Qg（y+J,（rJ,=o = o；(bJz = -Qg(y + 勺),亿)J ；在小边界y = o,能精确满足下列应力边界条件:。）円一加，（）,“ = 0在小边界y = h2f能精确满足下列位移边界条件：（叽他=og班=0这两个位移边

12、界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚5=1 时，可求得固定端约束反力分别为：F, = -pgh仏 M = 0由于y =仏为正面，故应力分量与面力分量同号，则有:dx = -pghbxdx = 0dx = O图2-18上下主要边界力y=h/29应精确满足公式(2-15)/m兀(s)兀(s)h y =0-10q2hy =-0102(by)z/2 = 一q (ry.t)y=./r/2 = 尸卅2 = (Tyx)yh/2 = 一4在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符 号相反，有J-/J/2(6、ho” = -Fsrhil5%。

13、曲=-在蛊习的小边界上，可应用位移边界条件日=0日=0这两个位移边界条件也可改用三个 积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力:M工耳=a Fn + F； = qj = F； =qj 一 FN工 F、. = 0迟+ E + q/ = 0dR = q/-厲工Ma = 0,M + AT+/ + Lql2 丄qJh = 0 = M =迪_ _Fs卫2 2 2 2由于x习为正面，应力分量与面力分量同号，故rh/2Lum”订:：(bJ.Tydy=M = -M -FJ-豊：A)a=F； = -ql-Fs2-10试应用圣维南原理，列出图2-19所示

14、的两个问题 中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否 是是静力等效？【解答】由于OA为小边界，故其上可用圣维南原理, 写出三个积分的应力边界条件：-Y(a)上端面OA面上面力fx = 0,/v = -q由于OA面为负面，故应力主矢.主矩与面力主矢-主矩符OAbh hAb/2 b/2 12fo (bJZ dx = -f 恥T：?沁=一 仏)尸严=一 f加T：號 IS)y=0dx=0y=02-x dx = -qb212 (对OA中点取矩)号相反，有(b)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正, 主矩为负，则6) dF、一理Jo y / y=

15、0A 2仏)=0综上所述，在小边界oA,两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力 等效的。2-111检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】(1)在区域用位移表示的平衡微分方程式(2-18);(2)在嘉上用位移表示的应力边界条件式(2-19);(3)在s“上的位移边界条件式(2-14);对于平面应变问题，需将& 作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。2-12检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】(1)在区域A的平衡微分方程式(2-2);(2) 在区域A用应力表示的相容方程式(2-21)或(

16、2-22);(3) 在边界上的应力边界条件式(2-15),其中假设只求解全部为应力边界条件的问题;(4) 对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式(2-20)2-13检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？【解答】(1)在区域A用应力函数表示的相容方程式(2-25);(2) 在边界S上的应力边界条件式(2-15)，假设全部为应力边界条件；(3) 若为多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。2-14检验

17、下列应力分量是否是图示问题的解答：YXboXqyqq a a q图 2-20(a)图 2-20, =j = Txy = 0o【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：(1)平衡微分方程(2-2);(2)用应力表示的相容方程(2-21); (3)应力边界条件(2-15)。dx=0(1) 将应力分量代入平衡微分方程式，且 = A =oda dr宁+匸竺=显然满足dy OX(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有 V 2(1等式珂乔+看归y卜#e右应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。(b)图2-21,由材料力学公式,(取梁的厚度b=l)

18、,得出所示问题的解答：7=-r =-（A2-4r）o又根据平衡徹分方程和边界条件得出： th4 lh37-yv_ A2_。试导出上述公式，并检验解答的正确性。-2 lh /胪 2 I【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1,高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩/ = ,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程所以截面任意点的正应力和切应力分别为:根据平衡微分方程第二式（体力不计）。dy dx根据边界条件。）、“2=2 lh lh3 21将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：左=一6彳活+ 拮= =右 满足 inIn第二式自然满足将应力分量代入相

19、容方程（2-23）应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。【解答】（1）确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为”=加?（6-5）,用关系式I2 + m2 = 1消去m,得 rn = 土/J1-厂（込 -5）= 厂-厂（q -bj = 1/4-（1/2-/2）2（6 一bj由上式可见当；-12 = 0时，即/ = 、伶时，几为最大或最小，为 亿）心=土鱼咅。因此,2V 2mm2切应力的最大，最小值发生在与衣轴及y轴（即应力主向）成45的斜面上。（2）求最大，最小切应力作用面上，正应

20、力6的值任一斜面上的正应力为最大、最小切应力作用面上/= 皿，带入上式，得U = （ 5 - b J + 鼻=* （ “ + b2 ）证毕。2-16设已求得一点处的应力分量，试求5,6,0(a)cr = 100, b、. = 50, rxy = 10/50; (b)(rx = 200, b、=。，Tvy 400;(c)7 = -2000,(J. =1000,r = -400; (d)o =-1000, 7v =-1500,r =500.【解答】由公式（2-6）tan =100-50 T得 cn 二 arctan100+502-150=/50= 3516r(b)200 + 0土2N+(-400)

21、亠512-31251? ?00e = aictan: = arctan (-0.78)= -37572000 + 100土-2ooo+ioooy+(_4OO)2 |1052-2052廿amtan竺存2 “叭“珂2叱(1000 + 1500+ 5002 =-691-1809乞=arctail 69U 1000 = aictanO.618 = 31。4315002-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q.试证6 =込,=7及 J = 0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条 件，因而就是正确的解答。【解答】(1)将应力分

22、量6 = 0；= 0 ,和体力分量fx = fy= 0分别带入平衡微分方程、相容方程+ L = odx 內 v-H仏+ bJ = 0(b)显然满足(a) (b)(2)对干微小的三角板力，dx,妙都为正值，斜边上的方向余弦I = cos(n,x),/7i = cos(n,y),将6 = s = w=0 ,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-15),且 fv = -qcos(n,x)Jy=qcos(n,y),则有(jx cos(77, x) = -qcos(7?,x), o; cos(虬 y) = -qcos(仏 y)所以 6=_qQy=_q对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。(3)对

23、于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12）,得形变分量,（ 一1）（“ 一 1）c(d)J = e 么=Eq7x = 将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8）,得du (z/-l)內(/-l)別 du 八_ = + = 0ox 令9r前两式积分得到”=平 gx + /； (y), v=平 qy + f2 EE其中分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式代入式2）的第三式，得如y) _如x) dydx等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数血， 于是有积分后得 z （y） = -coy

24、+ 竝、人（x） = cox+vQ代入式（f）得位移分量(“ -1)u =E心也Eqx-a)y + uQqy + a)x+vQ(g)其中。飞口为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解2-18设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F （图2-22）,体力可以不计。试根 据材料力学公式，写出弯应力b、. = 0,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明 这些表达式是否就表示正确的解答。弯应力crv =豊卫y = -詈xy ；Lh该截面上的剪力为Fv(x) = -F,剪应力为FQ)S*bl.(h )-

25、yb22lx(/F/12)6F(lf取挤压应力by = 0(2) 将应力分量代入平衡微分方程检验.，-12F12F_ 七第一式：左=)，+ -=0 =右h h第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡徹分方程。(3) 将应力分量代入应力表示的相容方程左=V2(7v + b、.)= 0 =右满足相容方程(4) 考察边界条件在主要边界y = 力/ 2上，应精确满足应力边界条件(2-15)-1=0y = -2h ,y =上2代入公式(2-15)，得(6)十=0,(讥十在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩CJeody = 0 =洞面力主矢J-h/2订” 0)x=o)d) =

26、 O =面力主矩J：(H)T： 一等百一门心=F = y向面力主矢满足应力边界条件在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，Fn=O、Fs=F,M =Fl其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效:z 、 f rh/2 12 尸 f f CLLWJy T”下冏=o=fnr/i72#ch/2 12尸.L?% 曲= -LE = -Fl = M满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。2-19试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为dvdVA = -Jv = -,其中v是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示

27、成为oxoyoyoxoxoy,试导出相应的相容方程。【解答】（1）将人,人带入平衡微分方程（2-2）dax oryx+ + A =0 dx dv9rda dr 亠炉人=0 ox=dVdxdydx 1 /dVdvdx勿=0=0(a)将（a）式变换为g(6-u)+ - = o(b)oxoyxy&(、八 ( -v)+ = 为了满足式（b）,可以取dxdy9r少+H rxy（2）对体力、应力分量求偏导数，得dfx _d2Vdfy _d2Vdxdx2 dydy2(0d2ax 夕d2V d2ax夕d2Vdx2dx2d)rdx2、 dy2dy4dy2必540)d2V0S04 d2Vdx1 dx4 dx2 O

28、y dx2dy2 dy1(2-21)将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程夕 d2V 夕 d2V d4 d2V d4 d2V -+ + + + +，+b(6 + bv) = -(1 + )dx2dy2 dx2 勿4 +dF + dx+ dx2dy2 +df+P整理得:产夕夕+ =_（】_）dx4 + 2 dx2dy2 dy4(d2v 刊)dyr)(d)即平面应力问题中的相容方程为V40)= -(l-/)V2V将（0）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为台的平面应变情况下的相容方程:(e)二 +q冬)dx dxdy 勿 1一/八6对即 * = 一上型.评。1

29、一证毕。第三章平面问题的直角坐标解答3-1为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15）,而 在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来 代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15）,将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足, 往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将 物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影 响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要

30、边界上 用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15）,就会影响大部分区域 的应力分布，会使问题的解答精度不足。3-2如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应 力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然 满足的，固而可以不必校核。【解答】区域的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的 平衡条件，即外力（面力）与力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件 的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件 是自然满足的，因而可以不必校核。3-3如果某

31、一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和 小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15）, 共2m个；在n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n个；如果不能满足 公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精 确应力边界条件，共3n个。图3-83-4试考察应力函数= a），在图3-8所示的矩形 板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）P【解答】相容条件：不论系数a取何值，应力函数=。才总能满足应力函 数表示的相容方程，式（2-25）.求应力分量

32、当体力不计时，将应力函数代入公式（2-24）,得6 = 6,b,=0,y = 0考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察6分布情况，注意到= 0，故y向无面力左端:X=(v)a=o = 6ay (oh) fy =(心)口 = o右端:(bj日二 6ay(0 ) = /?/ 6同理可知，当avo时，可以解决偏心压缩问题。和主矩。【解答】(1)由应力函数=or,得应力分量表达式6 = 0,込=lay, G = ryx = -2ax+ )s=fx(s)考察边界条件，由公式(2-15) _ 主要边界，上边界y =上，面力为fAy=-)=2axZ(y=-|)=

33、皿 主要边界，下边界y = *面力为 次要边界，左边界上，面力的主矢，主矩为蛊向主矢：耳=一；：9丄=。心=0y向主矢：Fy = -_hf2(Tjx=ody = 0主矩：M=-L；0=0ydy = o 次要边界，右边界“习上，面力的主矢，主矩为r/r/2.蛊向主矢：耳=加“)口心=0y 向主矢：F； = ； ； (rn)x=/ 心=J：； (2al)dy = -2alh主矩：M = ； (erJ 日 ydy = 0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示=bxy2将应力函数代入公式(2-24),得应力分量表达式6 = 2bx , s = 0, ro. = ryx = -2by

34、考察应力边界条件，主要边界,由公式(2-15)得h_ ( h _ ( h在y = -主要边界，上边界上，面力为fxy = - = bhjy = - = 0在y气,下边界上，面力为兀y = =-Jyy = =在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件 求得：在左边界x=0,面力分布为 (x = 0)二0,(x = 0) = 2by面力的主矢、主矩为向主矢：1F严-E（bJi=dy = oy向主矢：10 = -J（召）,=。心=一扭（“几。dy = 0C fi 2主矩；M = -力:O=o ydy = 0在右边界上，面力分布为fx(x = l) = 2blj

35、y(x = l) = -2by面力的主矢、主矩为x 向主矢：F： = J：；(=0无(y=_彳卜冷,兀卜=_下边界尸*上，面力为=0乙)次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面力的主矢.主矩可通过三个积分边界求 得：左边界x=O9面力分布为fx = 0) = 0jy(x=0) = 3cy2面力的主矢、主矩为X向主矢:j佇=-；：（6） = 0向主矢：1? = ：（dy T：（一3夕）心=押主矩：M=_LW)3dy = o右边界x = /,面力分布为fx(x = l) = 6cly,fy(x = l) = -3cy2面力的主矢.主矩为%/*ph 门X 向主矢 F； =（6）日 dy = _c

36、lydy = 0y向主矢：尺=（：）/ = J：（3，）d）扑 主矩：“=匸：（6 ）日炖=匸：6塚心=|册 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）a4odx4 dx2dy2 dy4 ，显然满足（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式/?12Fxv9F（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:在主要边界上(上下边界)上，y = ,应精确满足应力边界条件式(2-15),应因此，在主要边界土*上，无任何面力，即Z(y=m=，/(y=少=0在丫习的次要边界上，面力分别为:工一凹八3尸h3F(4y22h h2因此，各边界上的

37、面力分布如图所示:rr kr ha /OHaNB/在X习的次要边界上，面力可写成主矢主矩形式:x=0旬主矢：仏=打/心=0, 向主矢：Fsi=f；J.dy = F, 主矩:M=fxydy = O,因此，可以画出主要边界上的面力,比=匚：加=0鼻=匸:関=-尸和次要边界上面力的主矢与主矩，如图:(a)(b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。0亍,勿“ 胪2业亠込dx2d)2一24妙h代入(2-25),可知应力函数满足相容方程。(2)将代入公式(2-24),求应力分量表达式:F 6qx2y 4qy5 iqy=wfxX=nr+nrih 9rr _丁 _6qx If 2“一丽一

38、亍丐一)(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：在主要边界y =-* (上面)，应精确满足应力边界条件(2-15) ()*)=-( 丁 Jsx = o (尸一 卜 - (S= q 在主要边界y = %下面)，也应该满足(2-15)A b = /? / 2) = (sJ,=矶=0, z (y = /? / 2)= (s) w = 0 在次要边界X = O上，分布面力为.(x = o) = (巧)口 =警一等/v(x = 0)= 一亿) = () 应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:在次要边界x = /,分布面力为3qy6ql(h2应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件：

39、Eg：；)rz=匸:/(*/)曲=匸：-_6y胪5/J)6ql(h2 %/y dy=-qi(6g/( 4 3qy十、/F 5A /? 5hydy = -ql2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。3-8设有矩形截面的长竖柱，密度为p,在一边侧面上受均布剪力 q (图3-10),试求应力分量。【解答】釆用半逆法求解。pg图310由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力S主要与截面的弯矩有关，剪应力6,主要与截面的剪力有关，而挤压应力6主要与横向荷载有关，本题横

40、向荷载为零，则6=0(2)推求应力函数的形式将6=0,体力fx=ojy=pgf R入公式(2-24)有对y积分，得=W(x)+/；(x) 其中W都是*的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将(b)式代入相容方程(2-25)，得)dx4 dx4(a)(b)在区域应力函数必须满足相容方程，(c)式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根(全竖柱的y值都应满足它)，可见其系数与自由项都必须为零，即WdY(x) = odx4dx两个方程要求f (x) = Ar3 + Bx2 + Cx,扎(x) = Dxz + Ex2(d)/(x)中的常数项，Z(x)中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达

41、式中成为7的一次项及常数项，不影响应力分量。将(d)式代入(b)式，得应力函数=y(Av3 + Bx2 + Cr)+(Df + Ex2)(4)由应力函数求应力分量(e) =少犷Or9r(f)一 fyy = 6 Axy + 2 By + 6Dx + 2E-pgy(S)(h)= - = -3Ax2-2Bx-Cdxdy考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、Eo主要边界x = 0上（左）：（bJ、=o=O，m=o = O将（f）, （h）代入（bJg=0,自然满足（心）、=0 =-C = o主要边界X = b上，（7）耳=，自然满足（）“ = ?,将）式代入，得aQz=-3Ab-2Bb-

42、C = q（j）在次要边界y = o上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:(k)(m)J：(o；)、=odx = (6Dx+2E)dx = 3Db2 + 2Eb = 0J。( )=()xdx = (6Dx + 2E )xdx = 2Db，+ Eb2 = 0J： () v=odx = J： (一3Ar，- 2 Bx 一 C#x = -Ab5 - Bb -Cb = 0 由式(i), (j), (k), (1), (m)联立求得A = B = C = D = E = 0Ir b代入公式(g), (h)得应力分量1-3讣 Qgy,1111b/2b/21-1th/ /Vf / / / / /

43、/hbO图3113-9图3-11所示的墙，高度为h,宽度为b, hb, 在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数=Axy + Bxy求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。将应力函数代入相容方程(2-25)显然满足。由公式(2-24)求应力分量表达式，体力为零，有=6Bxy ,dxdy=4一3府考察边界条件:在主要边界x = -b/2,精确满足公式(2-15)(6)十=0g)i2 =第一式自然满足，第二式为一在主要边界汶上，精确满足式(2-15)(6)+=0,(.)皿=-第一式自然满足，第二式为3A Bb = ci4在次要边界上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:匚：(bJ/ = O满足rfe/2 /(b)满足vv)y=Odx =b J13；(从彳府)dx = 护八0联立(a) (c)得系数代入应力分量表达式，得n 12q9仁山对6 = 0, =歹切 =式1 - 1 2戸JTb23-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，/?(图3-12)，试用应力函数=Axy + By2 + Cy3 + Dxyz求解 应力分量。【解答】釆用半逆解法求解(1)将应力函数代入相容方程(2-25),显然满足 (2)由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)crv =2B + 6