弹塑性力学习题及问题详解

1、实用标准文案本教材习题和参考答案及部分习题解答2.1 计算： (1) pi iq qjjk ，(2) epqi eijk Ajk ， (3)答案 (1) pi iq qj jk pk ;答案 (2) epqi eijk AjkApq Aqp ;解： (3) eijp eklp Bki Blj ( ik jl il jk )Bki Blj2.2 证明：若 aij aji ，则 eijk ajk 0。（需证明）2.3 设 a 、 b和 c是三个矢量，试证明：a a a b a cb a b b b ca,b,c2c a c b c cai aiaibi ai cia1 a2证：因为 bi ai b

2、ibi bicib1 b2ci aicibicicic1 c2所以aiai aibi ai cia1 a2 a3det bi ai bibi bicidet( b1 b2 b3ci ai cibi cicic1 c2 c3a a a b a cai ai aibi aicia1即得 b a b b b cbi ai bi bi bi cib1c a c b c cci ai ci bi ci cic1eijp eklp Bki Blj 。Bii Bjj Bji Bij 。a1 b1c1a1 a2 a3a1 b1 c1a2 b2c2 )b1 b2 b3a2 b2 c2a3 b3c3c1 c2 c

3、3a3 b3 c3a2 a3a1 b1 c1b2 b3a2 b2 c2a,b,c2。c2 c3a3 b3 c3a3 a1 b1 c1 b3 a2 b2 c2 ， c3 a3 b3 c32.4 设 a 、 b、 c和 d 是四个矢量，证明： (a b) (c d) (a c)(b d) (a d)(b c) 证明 ： (a b) (c d)文档大全角度，得到新坐标系，如图 2.4 所示。试2.5 设有矢量 u ui ei 。原坐标系绕 z 轴转动 求矢量 u 在新坐标系中的分量。答案：u1 u1 cos u2 sin ，u2u1sin u2 cos ，u3 u3 。2.6 设有二阶量 T Tij

4、ei ej 。当作和上题相同的坐标变换时，试求量 T 在新坐标系中的分量 T11 、T12 、 T13 和 T33 提示 ：坐标变换系数与上题相同 答案：T1 1T11 T22T11 T22 cos222T12 T21T12 T21T1 212 21 cos222T13T13 cosT23 sin ，T3 3T33 。T22 T112T12 T2112 21 sin22sin22.7 设有3n个数 Ai1i2 in ，对任意 m阶量 Bj1j2 jm，定义Ci1i2 i n j1 j2 jmAi1i2 in Bj1 j2jm若Ci1i2 inj1j2 jm为n m阶量，试证明 Ai1i2 in

5、 是n阶量。 证：为书写简单起见，取 n 2 ， m 2，则2.8 设 A 为二阶量，试证明 I A trA 证：2.9 设 a 为矢量，A为二阶量，试证明：(1)aA(AT a)T ，(2) A a(a AT )T证：(1)(AT a)T(Aji ei ejakek )T(Ajiei akejknen )(Aji ak ejkn ei en )TAjnakejki eienakek Ajnej en aA。证：(2)(a AT )T2实用标准文案2.10 已知量 T 具有矩阵123T 4 5 6 789求 T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解：2.11 已知二阶量 T 的矩阵为

6、3 1 0T 1 3 00 0 1 求 T 的特征值和特征矢量。 解：2.12 求下列两个二阶量的特征值和特征矢量：A I m m，B m n n m其中， 和 是实数， m 和 n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为A m ( I m m ) m ( )m ，所以 m 是 A 的特征矢量，是和其对应的特征值。设 a 是和 m 垂直的任意单位矢量，则有A a ( I m m) a an)，n) ， e1 =e2 e3所以和 m 垂直的任意单位矢量都是 A 的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是特 征方程的重根。e2 +e3 )则有m(e2 +e3 ) ， n 2( e2 +e3 )上面定义的

7、 ei 是相互垂直的单位矢量。量 B 可以表示成B 0e1 e1 e2 e2 +e3 e3所以，三个特征值是 1、0和 1，对应的特征矢量是 e3、e1和 e2。文档大全2.13 设 a 和 b 是矢量，证明：(1)( a)( a)2a(2)(a b)b ( a) a ( b) a(b) b(a)证： (1)(2)2.14 设 a2x2 yze12xz3e2 xz2e3 ，求 w1(a2a) 及其轴向矢量。解：w 12(aa)12(x2z 2z3 )e1 e2 (x2yz2 )e1e3 (2z3 x2z)e2 e16xz2e2 e3 (z2 x2 y)e3 e1 6xz2e3 e2 由上式很容

8、易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 21 a 126 xz2e1 (x2y z2)e2 (2z3 x2 z)e3 。2.15 设S是一闭曲面， r 是从原点 O 到任意一点的矢径，试证明：(1) 若原点 O 在 S 的外面，积分n 3rdS 0；S r 3(2) 若原点 O 在 S 的部，积分n 3rdS 4S r 3证：(1) 当r 0 时，有因为原点在xi (rx3i ) 0S的外面，上式在(b)S 所围的区域 V 中处处成立，所以由高斯公式得( 3 )dv 0 。S(2) 因为原点在 S的部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面 S 完全在S的部。用 V表示由 S和

9、S 所围的区域，在 V中式(b)成立，所以Snr3rdSSS即n3rdSS r3 在S 上，Snr3rdSn3rdSS r 3a，nSnr3rdS( 3 )dV 0r/a ，于是111 dS 1 dS 4 。S a2a2 S实用标准文案2.16 设 f ye1 (x 2xz)e2 xye3 ， 试 计算 积 分 ( f ) ndS 。 式中 S 是 球 面3.13.2x2 y2 z2 a2 在 xy平面的上面部分 . 解：用 c 表示圆 x2 y2 a2 ，即球面 x2 公式得( f ) ndS 蜒f drSc设 r 是矢径、 u 是位移，r%ydx xdyu。y2 z20。第三章求 dr%，

10、dr并证明：a2 和 xy平面的交线。 由 Stokesui,j= 1 时， dr%是一个可逆dr的二阶量。解 ： dr% dr du I dr dr dr dr% I u dr dr%可逆。dr设位移场为解：的行列式就是书中的式 (3.2) ，当 ui ,j = 1 时，这一行列式大于零，所以(uA r ，这里的 A 是二阶常量， 及其轴向矢量即 A 和 r 无关。求应变量 、反对称量u)/2。1ei2i12(A AT)， 12(AAT)，xiAjk ej ek xl el1 Ajk eijm em2 jk ijm m 设位移场为 u A(1) 变形前的直线在变形后仍为直线；(2) 变形前的

11、平面在变形后仍然是一个平面；(3) 变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1) 方向和矢量 a 相同且过矢径为 r0 的点的直线方程可以写成ek3.3r，1il elAjk eijm em ki这里的 A 是二阶常量，1Aji eijm em2 ji ijm m 且 ui,j = 1 。请证明：r ta r0其中 t 是可变的参数。变形后的矢径为 r% r u r A r (I A) r(1)(2)文档大全用 I A 点积式 (1) 的两边，并利用式 (2), 得r% t(I A) a (I A) r0上式也是直线方程，所表示的直线和矢量所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)

12、 因为 ui,j = 1，所以 I A 可逆。记(I A) a平行，过矢径为 (I A) r0 的点。(I A)1，则r (I A) 1 r% B r% 变形前任意一个平面的方程可以表示成 a r c 其中 a 是和平面垂直的一个常矢量， c 是常数。将式(a B) r% c (5)(4)(3)(3) 代入式 (4) ，得上式表示的是和矢量 a B 垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。 (3) 变形前两个平行的平面可以表示成a r c1 ， a r c2变形后变成(a B) r%c1，(a B)r% c2 仍是两个平行的平面。3.4 在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是

13、否能确定任意两条微线段之间 夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确 定任意微线段的长度变化。答案 ：能；能。3.5 设位移场为 u A r ，其中 A是二阶常量， n 和m是两个单位矢量，它们之间的夹 角为 。求变形后 的减小量。1答案： n (A AT ) m ctg (n A n m A m) 。sin3.6 设 n 和 m 是两个单位矢量， dr ndr 和 r m r 是两个微小的矢量，变形前它们 所的平行四边形面积为 A dr r ，试用应变量把变形时它的面积变化率A/ A表示出来，其中 A 是面积变形前后的改变量。解 ：变形后， dr 和 r 变

14、成dr% dr dr dr ， r% r r r 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得 dr% r% dr r dr r dr r 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 (dr% r%) (dr% r%)(dr r) (dr r) 2(dr r) (dr r) 2(dr r)(dr r) (a) 注意到(dr% r%) (dr% r%) (A A)2 A2 2( A)A实用标准文案(dr r ) (dr r ) A2所以，从式 (a)可得A (dr r) (dr r) (dr r) (dr r)A (dr r) (dr r )(n m) (n m) (n m) (n m)( n m) (

15、n m)利用习题 2.4 中的等式，上式也可写成A n n 2(n m)( n m) m mA 1 (n m ) 23.7 设在一个确定的坐标系中的应变分量为 ij ，让坐标系绕 z 轴转动 角，得一个新的坐 标系，求在新坐标系中的应变分量。答案：3.83.9xy2x 2 y cos2x 2 y cos2xy sin2xy sin2x2 xz cos 在 Oxy 平面上，xyxzy sin2xy cos2 ，yz sinOa、Ob、Oc 和 x轴向之间的夹角分别为 0o、 60o 、 120o ，如y z xz sin yz cos ， z z图 3.9 所示，这三个方向的正应变分别为 长度

16、答案：n。2 a 3b ccos2a b c33( bc) sin23试说明下列应变分量是否可能发生：22axy2 ， y ax2y， z axy ，yz ay2 bz2， xz ax2 by2 ，xya、b和 c 。求平面上任意方向的相对伸其中 a 和 b 为常数。 解：文档大全3.10 确定常数 A0 ， A1 ， B0 ， B1 ，C0，C1， C2 之间的关系，使下列应变分量满足协调方程xA0A1 (x2 y2 )x4 y4 ，yB0B1 (x2 y2 )x4 y4 ，xyC0C1 xy( x2 y2C2)，zzxzy 0 。解：3.11 若物体的变形是均匀的，即应变量和空间位置无关，

17、试写出位移的一般表达式解 ：(由于应变量 和空间位置无关，所以书中的式 (3.36a) 简化成)3.12 设 x ax ， y by ， z cz ， xy yz zx 0 ，其中 a ， b ， c 是常量，求位 移的一般表达式。解：第四章4.1 已知物体一点的六个应力分量为：x 50a ， y 0 ， z 30a ， yz 75a ， zx 80a ， xy 50a试求法线方向余弦为 n1 12，n2 21，n3 12的微分面上的总应力 T 、正应力 n和剪应力 n 。答案：总应力 T T12 T22 T32 111.8a 。正应力 n Tini 26.04a 。剪应力 n T2n2 10

18、8.7a 。4.2 过某点有两个面， 它们的法向单位矢量分别为 n和 m ，在这两个面上的应力矢量分别为 T1和 T2，试证 T1 m T2 n 。证 ：(利用应力量的对称性)实用标准文案0121 y 12104.3 某点的应力量为xxyxzyxyyzzxzyz且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y 及该平面的单位法向矢量解：设要求的单位法向矢量为 ni ，则按题意有 ij nj 0 即2n3 0，n1 yn2 n3 0 ，2n1 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 (2 y 2)n2 上式有两个解：n2n2 0 或 y 1 。若 n2n2 0(a)n1 n3 0 ，可求得这是不可

19、能的。所以必有0 ，则代入式 (a) 中的三个式子，可得1。将 y 1代入式 (a) ，利用 ni ni 1，e1 2e2 e34.8 ，下部受均匀压力作用，斜面自由，n 6 。4.4 基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图 试验证应力分量A(y arctgxx2xyy2 C)x2 y2A(y arctgxx2xyy2 B)x2 y2xy A y 2Ax2 y2 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数 A、B和C。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们 满足平衡方程。在 y 0 的边界上，有边界条件yzxz 0 ，图4.8( y)y 0q ，所给的应力分量 件，得AB q在上斜面上，

20、有y 的表达式代入上面的第一个条( xy )y 0 0xy 自动满足上面的第二个条件。(1)y xtg ，所以斜面上的应力分量可以简化成文档大全x A( sin cos C) ， xy Asin2 ， z yz 斜面上的外法向方向余弦为 n1 sin ， n2 cosxzn3将式 (2) 和(3) 代入边界条件ij njx A(00，得sincos B) ，(2)(3)(4)C0A(sin cos ) ABcos联立求解 (1) 和 (4) ，得4.5A q ， B tgtg图 4.9 表示一三角形水坝，x ax by ， y cxyz xz 0 ， xy，C已求得应力分量为dy ， z 0

21、， dx ay x和 1 分别是坝身和水的比重。求常数 使上述应力分量满足边界条件。 解 ：在 x 0 的边界上，有边界条件 ( x)x 01y ， ( xy )x 0 0将题中的应力分量代入上面两式，可解得： b 1 。a、b、c、ijnj0 ，可解得：在左侧的斜面上， x ytg ，外法向方向余弦为 n1 cos ， n2 sin ， n3 0 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件d 1ctg2， c ctg ( 2 1ctg2 ) 。4.6 物体的表面由 f (x,y,z) 0 确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷 p(x,y,z) ，试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为10按题意，边界条件为 n pn 因此实用标准文案pf f p f 即ff f f f上式的指标形式为ij f,j pf,i 。4.7 如图 4.10 所示，半径为 a 的球体，一半沉浸在密度为 的液体，试写出该球的全部边界条件解：球面的外法向单位矢量为xiei 或 n axia当 z 0 时，有边界条件n 0 即 r 0 或当 z 0 时，球面上的压力为n gzn 即 rij xj 0 。gz ，其中 g