圆与相似三角形综合问题

1、学生：科目： 数 学教师： 谭 前 富课题相似三角形和圆的综合提高教学内容知识框架 相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问 题的重要方法 ,尤其在圆中 ,相似三角形有着极其重要的作用 .1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于 相似比，面积之比等于相似比的平方 .2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（ 3）两组角对应相等的两个三角形相似 .4、由相似三角形得到的几个常用定理定理 1 平行于三角形一边的直线截得的三角形

2、与原三角形形似AD BD 或=AE CE如图，若 DE BC,则 ADABCE定理 2 平行切割定理如图， D,E分别是 DABC的边 AB,AC 上的点，如图，若 l1l2 l3，则12312l3过点 A的直线交 DE,BC 于M ,N,若DEMN , 则 DM = BN ME NC B 定理 3 （平行线分线段成比例定理） 两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例AB = BC=ACAB = BC= A C,定理 4（角平分线性质定理）如图， AD,AE 分别是DABC 的内角平分线与外角平分线， 则 DB = EB = AB .DC EC ACE定理 5 射影定理直角三角形斜边上的高分原

3、三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似定理 6 相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 O中，弦 AB 、CD 相交于点 P ， PA PB PC PDD定理 7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径 AB CD ，2 CE2 AE BE定理 8切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 O中， PA 是切线， PB是割线PA2 PC PB定理 9 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。

4、即：在 O中， PB 、PE 是割线 PC PB PD PE例题精讲】二例题讲解1 利用相似证明角相等例 1 如图， DABC 中， ?BAC 90?, AB交 BC 于点 E.(1) 求证： ?ADB ?CDEAC , D是边的中点， AH BD ，垂足为 H ,练习 在DABC 中，DF AC 于点 F ，求证：(2) 若 AB= 2,求 DCDE 的面积 .HG练习1、如图，梯形 ABCD中 AD BC ，对角线 AC,BD 交于点P，过点 P作 BC的平行2 利用相似证明线段相等例 2 已知点 E,F 分别在矩形 ABCD的边 AB, AD上， EF BD，EC,FC 分别交 BD于点

5、G,H ，求证： BG= DH线分别交 AB,DC 于点 E,F ，求证 PE PF .2、如图， D ABC中， AB= AC,AD BC 于 D，E,G 分别是 AD, AC的中点， DF BE于 F ，求证 : FG= DG .D3 证明比例（等积）线段例 3 如图， BD , CD为的两条角平分线，过点D作直线分别交 AB,AC 于点 E,F，若2AE= AF ，求证： EF2 = 4BE ?CF例 4 如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与M ,N,R,S和 P ，AAB,DC BC,AD及 AC的延长线分别交于点 求证： PM

6、 ?PN PR?PS 练习1、如图，在 D ABC中， AD 是DA的平分线，长线于点 F .求证:FD 2 = FB?FCAD 的垂直平分线交 AD 于点 E ，交 BC 的延AC 2BC2=AD 2 2BD2、 AD, BE是D ABC的高线，过 D作 AB的垂线， 垂足为 F ，与 BE及 AC 的延长线分别相交于 M ,N ，2求证： DF 2 = FM ?FN3、 AD是 RtD ABC的角平分线， ?C 90?，求证BFC4 求线段比例 5 ABCD 是正方形， E,F 是 AB,BC 的中点，联接EC交DB,DF于G,H ，求EG:GH:HC.练习 1、梯形 ABCD中， AD

7、BC,? ABC 90?, 对角线 AC BD于点 P，若 AD= 3，求 BD的值.BC 4 AC2、如图，在平行四边形 ABCD中，过点 B的直线顺次与 AC,AD 及CD的延长线相交于点E,F,G,若BE= 5,EF = 2,求FG的长.5 证明线段（线段比）和差例 6 如图，已知 ABCD,AD CE,F,G分别是 AC和FD的中点，过AB, AD ,CD ,CE于点M ,N , P,Q .求证:. MN + PQ= 2PNG 的直线依次交练习 如图， P是 DABC 内一点，AP,BP,CP分别与对边交于点 D,E,F ，求证：AE AF AP+=EC FB PDC证明垂直例7如图，

8、 H,Q 分别是正方形ABCD的边 AB, AC上的点，且 BH = BQ，过 B作 HC 的垂线，垂足分别为 P，求证： DP PQ.BQC练习题E是BC边上一点，过点 E 作2、 D ABC与 D AB C?均为等边三角形，BC 和 B1C1 的中点均为 D ，求证： AA1 CC1C1、如图， D ABC中， ?BAC 90?， AD是BC边上的高，AB,AC 的垂线，垂足分别为 F ,G ，求证： ?FDG 90?7 证明平行例 8 如图， 在矩形 ABCD 中， E、 F 是 DC 边上的点， 满足 DE EF FC ，又 G、 H 是BC上的点，满足 BG GH HC AE与 DG

9、相交于点 K， AF 与 DH 相交于 NBGH求证： KN CD 练习题 如图，两个等边 ABC, ADE 顶点 A重合，过点 E作 BC的平行线，分别交 AB,CD 于DF,G.( 1)求证： DF 平分 AFE. (2) 求证： AG BD.8 利用相似三角形的面积比例 9 在D ABC的内部取点 P，过 P点作 3条分别与 DABC 的三边平行的直线，这样所得的 3个三角形 t1,t2,t3的面积分别为 4,9,49，求 D ABC的面积 .t1t2P t32练习 1、 AD 是 Rt ABC 斜边上的高，求证：AB2 BDAC 2 DC2、梯形 ABCD中 AD BC,AD 4,BC

10、 8,点 E,F 在 AB,DC 上，且 EF BC ,若直线 AEEF 平分梯形 ABCD的面积，（1）求 EF 的长，（2）求的值EBDM ,DN 分别交 AC 于P,Q两点，求练习题1、已知平行四边形 ABCD中， M ,N为 AB的三等分点，BP:PQ:QC 的值.AF = 1FD ， FE交 AC于点 G，求 22、如图，在平行四边形1 证： AG = AC5ABCD中， E为 AB的中点，3、 BC如图， AM 是的中线，P 是 AM 上一点，BP,CP分别交 AC, AB于点 D,E，求证:DEA90?， D 是 BC 边的中点， AH BD 交 BD 于点 H ，4、DABC

11、中， AB = AC,? BAC 交 BC 于点 E ，求证： BE = 2EC5、在四边形 ABCD 中，E,F 分别是 AB,CD 的中点， P为对角线 AC 延长线上任意一点， PF交 AD 于点 M ， PE 交 BC 于点 N ， EF 交 MN 于点 K . 求证： K 是线段 MN 的中点 .6、锐角三角形 DABC 中，AB AC ,CD,BE 分别是 AB, AC 上的高， DE 与 BC 的延长线交于点 T ，过 D 作的 BC 垂线交BE 于 F ，过 E 作 BC 的垂线交 CD 于 G ，证明： F,G,T 三点共线.7、如图，在等边 DABC 中，BC 边上取点 D

12、 ，使 BD :CD =1:2 ，作 CH AD，垂足为 H ，联接 BH ，求证： ?BAD ?HBC.DC圆中的相似三角形1、 AB是O的直径，点 C在O上， BAC60， P是 OB上一点，过 P作AB的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C作 CDOC交 PQ于点 D2、3、 O 以等腰三角形(1) 求证： CDQ 是等腰三角形；(2) 如果 CDQ COB，求 BPPO 的值 ABC内接于圆 O， BAC的平分线交 O于D点，交 O的切线 BE于 F，连结 BD，CD 求证： (1)BD 平分 CBE； (2)AB BF AF DCABC 一腰 AB 为直径，它交另一

13、腰 AC 于 E，交 BC 于 D求证： BC 2DE4、 O内两弦 AB， CD的延长线相交于圆外一点 E，由 E引 AD 的平行线与直线 BC交于 F，作 切线 FG， G 为切点，求证： EF FG 5. 如图， O是 ABC的外接圆， BAC的平分线与 BC边和外接圆分别相交于 D和 E.求证： ADEC = ACBD证明：6. 如图， CD切 O于 P，PEAB于 E，ACCD，BDCD.求证：7. 已知：B、G、F三点作 O，过 E作 O的切线 ET，T为切点. 求证：ET = ED8如图， AB是O直径，EDAB于 D，交 O于 G，EA交O于 C，CB交 ED于 F，求证： D

14、G2DE?DF9如图，弦 EF直径 MN于 H，弦 MC延长线交 EF的反向延长线于 A，求证： MA?MCMB?MD10、如图， AB、AC 分别是 O的直径和弦，点 D为劣弧 AC 上一点，弦 ED分别交 O于点 E，交 AB 于点 H ，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交 ED 的延长线于点 P1)若 PC=PF，求证： AB ED ；2)点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使11. 如图(1) ，AD 是 ABC 的高，AE 是ABC 的外接圆直径， 则有结论： AB AC=AE AD 成立，请证明 .如果把图 (1)中的 ABC 变为钝角，其它条件不变，如图 (2)，则上 述

15、结论是否仍然成立？12. 如图， AD 是 ABC 的角平分线，延长AD 交 ABC 的外接圆O 于点 E，过点 C、D 、E 三点的O1与 AC 的延长线交于点 F，连结 EF 、DF.(1)求证： AEF FED ；(2)若 AD=8 ，DE=4 ，求 EF 的长 .13.如图， PC 与O 交于 B，点 A 在O 上，且 PCA= BAP.(1)求证： PA 是 O的切线 .(2) ABP 和 CAP 相似吗？为什么？(3) 若 PB:BC=2:3 ，且 PC=20 ，求 PA 的长 .14（本小题满分 7 分）已知：如图， AD 是 O的弦， OBAD 于点 E，交 O于点 C， OE=1， BE=8 ， AE : AB=1 : 31）求证： AB 是O 的切线；2）点 F 是 ACD 上的一点，当 AOF=2 B 时，求 AF 的长F 是弧 BC 中点，且 AF交 BC 于 E， ABC内接于 O，且 BC是 O的直径， AD BC于 D，15如图，AB6， AC8，求 CD，DE，及 EF的长。16已知：如图，在 Rt ABC中， ACB 90 ， AC 4 ，BC4 3，以 AC为直径的 O交 AB