2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题50 椭圆(解析版)

1、考点 50椭圆1（北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个 焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为 3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为a125b340c18d35【答案】b【解析】如下图，f 为月球的球心，月球半径为：1234761738，依题意，af10017381838，bf40017382138. 2a18382138

2、，a1988，ac2138，c21381988150，椭圆的离心率为：e =c 150 3= a 1988 40，选 b.2（山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试理）已知椭圆c ：x 2 y 2+ =1a2 b2，(ab0)的左、右焦x2点分别为f ， f1 2， m 为椭圆上异于长轴端点的一点，dmf f1 2的内心为 i ，直线 mi 交 轴于点 e，若miie=2，则椭圆c的离心率是（ ）a22b12c32d13【答案】b【解析】解：dmf f1 2的内心为 i ，连接 if 和 if ，1 2可得 if 为 mf f 1 1 2mfmi2=，f eie2的平分线，即有mf1f

3、 e1=miie，可得mf1f e1=mf2f e2=miie=2，即有即有mf1f e11e =2mf= =ef2，2 a2c=2，故选：b3（内蒙古 2019 届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )a 3 - 2b 3 -1c22d32【答案】b【解析】解：设椭圆的两个焦点为 f , f ,1 2圆与椭圆交于 a ,b,c, d 四个不同的点,设f f =2c 1 2,则df =c1,df =23c椭圆定义,得 2a =|df | +| df |= 3c +c1 2,所以

4、e =c 2= = 3 -1 a 3 +1,故选：b4（广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月)数学理）在平面直角坐标系 xoy 中，已知点a, f分别为椭圆 c :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的右顶点和右焦点，过坐标原点 o 的直线交椭圆 c 于 p , q 两点，线段 ap 的中点为 m ，若q , f , m三点共线，则椭圆c的离心率为( )a13b23c83d3 8或2 3【答案】a【解析】如图设又p (x, y ), q (-x,-y0 0 0 0 a( a ,0), f ( c,0)，),x +a y m 0 , 0 2 2,q q , f

5、 , m 三点共线, k =kmf qf(y0 -0y2 0 =,x +ac +x0 -c02y y0 = 0即,c +x x +a -2c0 0 c +x =x +a -2c,0 0 a =3c,c 1 e = =,故选 a.a 35（陕西省汉中市 2019 届高三全真模拟考试数学理）已知 f 、f 分别是椭圆 c :1 2x 2 y 2+ =1 a b 0 a 2 b2)的左、右焦点，点 a 是 f 关于直线15 -1【答案】2bx +ay =ab的对称点，且 af x2轴，则椭圆 c 的离心率为_.【解析】f 、 f 分别是椭圆 c : 1 2x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2

6、 b 2的左、右焦点，点 a 是 f 关于直线1bx +ay =ab的对称点，且af x2轴，可得af2的方程为x =c， af1的方程 y =ab( x +c )2 ac ，可得 a( c, )b，af1的中点为 (0,acb)，代入直线bx +ay =ab，可得： ac =b 2 =c 2 -a 2 ，ce = b 0 a 2 b 2)的右焦点， a _.3【答案】3【解析】uuuv uuuv是椭圆短轴的一个端点，直线 af 与椭圆另一交点为 b ，且 af =2 fb，则椭圆的离心率为设a (0,-b)，f(c,0)，作bc y 轴，垂足为 c ，如下图所示：则：uuuvaf = b2

7、+c 2 =auuuv uuuv 由 af =2 fb得：uuuvafuuuv = uuuv = ab bc 3uuuv bc = c ，即： x = c 2 2由椭圆的焦半径公式可知：uuuvbf =a -exbuuuva a uuuv = = =2 fb a -exba 2，整理可得： a2=3c2 e2=13，即 e =33a本题正确结果：337（安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家 germinal dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面

8、、截面相切，设图中球o ，球 o 的半径分别为1 23和1，球心距离oo1 2=8,截面分别与球 o ，球 o 切于点 e ， f ，（ e ， f 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_ 1 2【答案】【解析】2 55如图，圆锥面与其内切球 o ， o 分别相切与 b,a，连接1 2o b , o a 1 2则o b ab1，o a ab ，过 o 作 2 1o d o a1 2垂直于 d ，连接o f , o e 1 2， ef 交o o1 2于点 c设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为b在rtdo o d 中， do = 3 - 1 = 2 1 2 2， o d = 8 12-

9、 22= 2 15o d 2 15 15 cos a = 1 = =o o 8 41 2q o o =81 2 co = 8 - o c2 1q deo c : dfo c2 12(28 - o c o c 1 = 1o e o f2 1解得o c =21 cf = o c12- fo 21= 22- 12= 3即cf 3cos b = =o c 213则椭圆的离心率e=cos bcos a= =152 5548（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学 2019 届高三第四次模拟考试）已知椭圆x 2 y 2e : + =1 a b 0 a 2 b 2)与 y 轴正半轴交于点 m (0,3 )，

10、离心率为1 直线2l经过点p (t,0)(0ta)和点q(0,1)且与椭图 e 交于 a、b 两点（点 a 在第二象限）（1） 求椭圆 e 的标准方程； uuur uuur（2） 若 ap =lpb ，当 0 t 2 33时，求 l 的取值范围x 2 y 2【答案】（1） + =14 3【解析】 3 + 5 （2） l1, 解析：（1）由题意，e =c 1=a 2且 b = 3 ，所以 a =2 ，1 222 222)t22x 2 y 2所以椭圆 e 的标准方程为 + =14 3（2）因为直线 l经过点p (t,0)(0t0时，设a (x, y )、b(x, y1 1 2 2)，则 y +y

11、= 1 26t 2 3t 2 -12， y y = 3t 2 +4 3t 2 +4uuur uuur因为 ap =lpb ，所以(t-x, -y1 1)=l(x -t , y 22)，所以y =-l1y2联立，消去 y 、 y ，整理得1 212l (1-l)4 = +1 -4 t 当 0 0 且 y 1，所以 3 + 5 l1, 9（山东省威海市 2019 届高三二模考试数学理）在直角坐标系xoyx 2 y 2中，设椭圆 c : + =1(a b 0)a 2 b 2的左焦点为 f ,短轴的两个端点分别为 a, b 1，且af b =60 1，点1( 3, )2在c上.()求椭圆 c 的方程；

12、()若直线l : y =kx +m( k 0)与椭圆c和圆o分别相切于 p ,q两点，当 dopq 面积取得最大值时，求直线l的方程.【答案】()【解析】x 24+y 2 =1 .() y =x 5 .()由af b =60 1，可得a =2b，2ymk +2由椭圆c经过点1( 3, )2，得3 1+ =1 4b2 4b2，由得 a2=4, b2=1 ，所以椭圆c的方程为x 24+y2=1x2 +y =1()由 4 消去 整理得(1+4k2)x2+8kmx +4 m2-4 =0（*），y =kx +m由直线l与椭圆相切得，d=64k2m2-16 (m2-1)(1+4k2)=0，整理得 m2=4

13、 k2+1 ，故方程（*）化为 m 2 x 2 +8kmx +16 k 2 =0 ，即 ( mx +4 k ) 2 =0 ，解得x =-4km，设p (x, y1 1)，则x =1-4km -4k =1 +4 k 2 m1，故 y =kx +m = ， 1 1因此p (-4k 1, )m m又直线l : y =kx +m( k 0)与圆o相切，可得| oq |=| m |1 +k2所以 | pq |= | op |2 -| oq |216 k 2 +1 m 2 = - ，m 2 1 +k 2所以sdopq1 1 16k 2 +1 m 2 = | pq | |oq |= - 2 2 m 2 1

14、+k 2| m |1 +k2，将 m 2 =4 k 2 +1 式代入上式可得sdopq=1 16 k 2 +1 4 k 2 +1 4k 2 +1 1 4(4 k 2 +1) -3 4( k 2 +1) -3 4k 2 +1- = - 2 4k 2 +1 1 +k 2 1 +k 2 2 4 k 2 +1 1 +k 2 1 +k 2=1 9k 2 2 (4 k 2 +1)(k23 14k 2 +1 1 3k = = 2 1 ， +1) 1 +k 2 2 1 +kk由 k 0 得 k +1k2，k +2 13所以sdopq3 1 3= 2 1 4 ，当且仅当 kk =1时等号成立，即k =1时 s

15、取得最大值 dopq由 m2=4 k2+1 =5 ，得 m = 5 ，l所以直线的方程为 y =x 5 x 2 y10（山东省日照市 2019 届高三 5 月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆 e： +a 2 b22=1(ab0)，a (4,0)是长轴的一个端点，弦 bc过椭圆的中心ouuur uuur ，且 cos oa，ca=2 1313uuur uuur uuur uuur ，oc -ob =2 bc -ba （1）求椭圆 e 的方程（2）过椭圆 e 右焦点 f 的直线，交椭圆 e 于a , b1 1两点，交直线 x =8 于点 m ，判定直线ca , cm , cb 1 1的斜率是否依

16、次构成等差数列？请说明理由【答案】（1）【解析】x 2 y 2+ =116 12；（2）是，理由见详解.（1）由uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur oc -ob =2 bc -ba ，得 bc =2 ac ，即 oc =2 ac，所以 daoc 是等腰三角形，又a =oa =4，点c的横坐标为 2；uuur uuur又 cosoaca，= ，13设点c的纵坐标为 y ，cy2c2+22=2 1313，解得y =3c，应取c (2,3)，；又点c在椭圆上，22 3242 b21，解得 b212 ，所求椭圆的方程为x2 y216 121；（2）由题意知椭

17、圆的右焦点为 f (2,0)， c (2,3)，由题意可知直线ca ,cm ,cb11的斜率存在，设直线a b1 1的方程为y k(x 2)，代入椭圆x2 y216 121并整理，得(3 4k2)x216k2x 16k248 0；设a (x ,y )， b (x ,y ) ，直线 ca ,cm ,cb 1 1 2 2 11的斜率分别为k ,k ,k1 2 3，则有 x1x216k 23 4k2， x x1 216k 2 483 4k 2，可知 m 的坐标为m (8,6k)k1k3y 3 y 3 kx 2 3 k x 2 3 1 2 1 2x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 1 2又2k 3

18、2k22x x 41 2x x4 2(x x )1 21 26k 32k 1；8 22k 1，所以k1k32k2，即直线ca ,cm ,cb11的斜率成等差数列11（天津市河北区 2019 届高三一模数学理）已知椭圆 c ：x2 y2a 2 b 21(a b 0)过点 2,1 ，且离心率为32（）求椭圆 c 的方程；（）若过原点的直线 l 与椭圆 c 交于 p 、q 两点，且在直线1l :x y 2 6 0 2上存在点 m ，使得v mpq2222000 0ky =k +1 k +122(为等边三角形，求直线l1的方程。【答案】（）x 2 y 2+ =18 2（）y=0 或 y=23x【解析】

19、 4 1+ =1a2 b2 c 3 （）由题 e = =a 2 a =b +c解得 a=2 2,b=2,c= 6 ,x 2 y 2椭圆 c 的方程为 + =18 2（）由题，当 l 的斜率 k=0 时，此时 pq=4 2,1直线l : x -y +2 6 =0 2与 y 轴的交点（0， 2 6）满足题意；当 l 的斜率 k 0 时，设直线 1l : y =kx , 1 y =kx与椭圆联立 x2 y 2 得+ =18 2(1+4k2)x2=8,x2=81 +4 k2,设 p（x ，y00）,则 q（-x ，-y 00）,8 8k 2 8 (1+k) x 2 = , y 2 = , po = x

20、 2 +y 2 =1 +4 k 2 1 +4 k 2 1 +4 k 2,又 pq 的垂直平分线方程为1 y =- x，由1y =- xkx -y +2 6 =0，解得 2 6kx =- k +1 2 6 k +1, 2 6 k 2 6 m - , , mo =24 (k2+1) (k+1), vmpq 为等边三角形 mo = 3 po ,即24 (k2+1) (k+1)= 38 (1+k2) 2 ，解得 k=0(舍去)，k= ,1 +4 k 2 3直线 l 的方程为 y= 123x综上可知，直线 l 的方程为 y=0 或 y=123x12（湖南省 2017 届高三高考冲刺预测卷六理）已知椭圆

21、e :x 2 y 2+ =1 a b 0 a2 b 2)的右顶点为 a ，上顶点为 m ，下顶点为n , b是 on 的中点（o为原点），连接 ab 并延长交椭圆 e 于点c，连接mc，得am mc225( )（1） 求椭圆 e 的离心率；（2） 若 d 是 e 上一点，以 md 为直径的圆经过椭圆 e 的右焦点，求直线 md 的斜率【答案】（1） e =63（2） k =- 2 1【解析】试题分析：（1）求出 c 点坐标，根据 am mc 可得 a 2 =3b2 ，结合 a 2 =b 2 +c 2 可得结果；（2）方程为y =kx +by =kx +b ，由 x 2 y 2+ =1 3b2

22、b 2uuuur uuur，结合韦达定理可得 d 点坐标，利用 fm fd =0 列方程，进而可得结果.试题解析：（1）a (a,0 ),b 0, -b2x 2 y，直线 ab 方程为 - =1 ，a bx 2 y- =1a b 由 得 c 点坐标 x y + =1a 2 b23a 4b- , -5 5，am mc, m (0,b)，-4b-bb3a 0 -a -5=-1， a 2 =3b 2 ， a2=b2+c2， c2=2b2，离心率 e =c 2 6= =a 3 3；（2）分析题意，易知直线 md 的斜率存在，设方程为y =kx +b，y =kx +b 由 x 2 y 2+ =1 3b

23、2 b2得-6kb -6k 2b d ,1 +3k 2 1 +3k 2+b，由以 md 为直径的圆经过右焦点f(c,0)得uuuur uuurfm fd =0 ，-6kb-c, b ? -c, 1 +3k 2-6k 2 b 1 +3k 2+b =0， c2=2b2， k2+2 2 k +1 =0 ， k =- 2 1 13（2017 届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知点 f 为椭圆 e :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x y+4 2=1与椭圆 e 有且仅有一个交点 m .（）求椭圆 e 的方程；y25m

24、1,2y2( )( )（）设直线x y+ =14 2与 轴交于 p ，过点 p 的直线与椭圆 e 交于两不同点 a ， b ，若lpm = pa pb，求实数l的取值范围.【答案】（1）【解析】x 2 y 2+ =14 34 ；（2） ,1 . （）求椭圆标准方程，只要求出参数 a , b ，由于有 a2=b2+c2，因此要列出关于a , b, c的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得 a =2c , b =3c ，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为 0 可求得椭圆方程；（）由（）得点 m 的坐标，从而可得 pm ，要求 l 范围只要求得 pa pb 的范围

25、，为此可直线 ab分类，对 ab 斜率不存在时，求得 pa pb ，而当直线 ab 斜率存在时，可设出直线方程为y =kx +2，同时设a( x , y ), b ( x , y ) ，则 pa pb =(1+k 2 ) x x 1 1 2 2 1 2，由韦达定理可把 pa pb 表示为 k 的函数，注意直线与椭圆相交，判别式0，确定 k 的范围，从而可得 pa pb 的范围，最后可得 l的取值范围.试题解析：（）由题意，得 a =2 c , b =3c，则椭圆 e 为：x 2 y 2+ =1 4c 2 3c 2，由x 2 y 2+ =c4 3x y+ =14 22，得 x2-2 x +4 -

26、3c2=0 ，q直线x y+ =14 2与椭圆 e 有且仅有一个交点 m ，d =4 -4 (4-3c2)=0 c2=1，椭圆 e 的方程为x 2 y 2+ =14 3； 3 （）由（）得 ，q 直线x y+ =14 2与 轴交于p (0,2),5 pm = ,4当直线 l 与 x 轴垂直时，pa pb = 2 + 3 2 - 3 =1,2,1l5k由lpm = pa pb l=45,当直线l与 x 轴不垂直时，设直线l的方程为y =kx +2 ， a(x , y1 1),b(x, y2 2)，由y =kx +2 3 x 2 +4 y 2 -12 =0 (3+4k2)x2+16 kx +4 =

27、0，依题意得，x x =1 243 +4 k2，且d=48 (4k2-1)0， pa pb =(1+k2)xx=(1+k2)1 24 1 5 =1 + = l3 +4 k 2 3 +4 k 2 4， l=4 11 +5 3 +4 k2，q k21 4 , l4 5bc =2，( )2 2 2 22221212()()()()()3 +4 k 2故点 a 的轨迹是以 b ， c 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故gx 2 y 2的方程为 + =1(x 2) . 4 3（）依题意，2 l 1 1= +k k kde df，故2lk k= +k kde df.y =k ( x -1)联立 3 x

28、2 +4 y 2 -12 =0整理得 3 +4 k x -8k x +4 k -12 =0.设e ( x , y ) ， f ( x , y ) 1 1 2 2，则x +x =1 28 k3 +4 k2，x x =1 24 k -123 +4 k.故k k+ =k kde dfk (x+2) k (x+2 ) k (x+2 ) k (x +2 )+ = +y y k x -1 k x -1 1 2 1 2=2 +3 3+ =2 + x -1 x -11 23 (x+x -2 ) 1 2x -1 x -1 1 2=2 +3 (x+x -2 ) 1 2x x - x +x +1 1 2 1 2=2

29、 + 8k 2 3 -2 4 k 2 -12 8k 2- +1 3 +4 k 2 3 +4 k 2=2 +3 (8k2-6 -8k 2 )3 k 2 -12 -8k 2 +3 +4 k 2=2 +2 =4 =2l ，则l=2.15（辽宁省葫芦岛市普通高中 2019 届高三第二次模拟考试数学理）在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆x 2 y 2e : + =1(a b 0) a 2 b 2的上顶点为 a，左、右焦点分别为f ， f1 2，直线af2的斜率为 - 3 ，点p, q在椭圆 e 上，其中 p 是椭圆上一动点，q 点坐标为 (1)求椭圆 e 的标准方程；3( -1, )2.(2)作直线 l

30、与 x 轴垂直，交椭圆于 h , k 两点（ h , k 两点均不与 p 点重合)，直线 ph ， pk 与 x 轴分别交于点 m , n .求 | om | +| on |的最小值及取得最小值时点 p 的坐标.【答案】（1）x 2 y 2+ =14 3（2）| om | +| on |的最小值为 4，此时点 p 的坐标为 (2,0) 或 (-2,0)【解析】(1)由直线 af 的斜率为 - 3 可知直线的倾斜角为 1202.2(00()01 14在rtdoaf2中，af o =60 2,于是 a =2 c, b =3c, ,椭圆 e :x 2 y 2 3 + =1 ,将 q -1, 4c 2

31、 3c2 代入得c =1所以，椭圆 e 的标准方程x 2 y 2+ =14 3(2)设点p (x, y ),h(x,y ),q(x,-y0 0 1 1 1 1).于是，直线y -yph : y -y = 0 1 x -xx -x0 1),令y =0,y x -y x x = 0 1 1 0y -y0 1,所以| om |=|y x -y x 0 1 1 0y -y0 1直线pk : y -y =0y +y0 1 x -x ，令 y =0, x -x0 1y x +y x x = 0 1 1 0y +y0 1，所以| on |=|y x +y x 0 1 1 0y +y0 1| om | +|

32、on | 2 | om | | on |y x -y x y x +y x =2 0 1 1 0 0 1 1 0y -y y +y0 1 0 1=2(y x )2-(yx0 1 1 0 y 2 -y 20 1)2又 y20=3 -3x 2 3 x 2 0 , y 2 =3 - 14 4.代入上式并化简23 -3 x 2043 - 3x 2 x 2 - 3 - 1 3 x 2 3 x 2 0 -3 + 14 4x 20=4即| om | +| on | 4，当| om |=|on |(即y x -y x y x +y x 0 1 1 0 = 0 1 1 0 y -y y +y0 1 0 1)时取得最小值，（）y x -y x y x +y x 0 1 1 0 = 0 1 1 0 y -y y