(新)高中数学必修一专题复习

1、这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！第一章集合与函数概念知识架构集合与函数概念集合映射函数集合表示法集合的关系集合的运算映射的概念函数及其表函数基本性示质列描图包相交并补举述示含等集集集函函单函法法法数数调数子集与真子集的概念的表示法性与最值的奇偶性看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 1 -这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！第一讲集合知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言属于不属于4.常

2、见集合的符号表示符号语言数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号nn*或n+zqrc二： 集合间的基本关系 表示关系相等文字语言集合 a 与集合 b 中的所有元素 都相同符号语言a b 且 b a a =b子集真子集a 中任意一元素均为 b 中的元 素a 中任意一元素均为 b 中的元 素，且 b 中至少有一元素不是 a 的元素a ba b或b a空集空集是任何集合的子集，是任 何非空集合的真子集f a ， fb （ b f）三：集合的基本运算两个集合的交集:ab=xx a且x b;两个集合的并集:ab = xx a或x b;设全集是 u,集合 a u ,则 c a =xx u 且x

3、au交并补a b = x | x a, 且x b a b = x | x a, 或x bc a =xx u 且x a u看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 2 -x y = f ( x) 、 y y = f ( x ) 、 ( x, y ) y = f ( x)等的差别，如果对集合中代表元素认这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。

4、重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如 识不清，将导致求解错误：(3)venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用venn图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即f a（2） 任何集合都是它本身的子集，即（3） 子集、真子集都有传递性，即若 4集合的运算性质a aa b ， b c ，则 a c（1）交集：a i b =b i a

5、；a i a =a ； a i f=f；a i b a ， a i b ba i b =a a b ；（2）并集：a u b =b u a ； a u a =a ； a u f = a ； a u b a ， a u b ba u b =a b a ；（3）交、并、补集的关系a i c a =f； a u c a =uu uc ( a i b ) u=(c a) uu (c b ) ； c ( a u b ) =(c a) i (c b ) u u u u热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 3 - 2 2 p = x log x 1q = x x 1,那

6、么 p -q，x 1 x 3p = x log x 1 =(0,3)q = x x 1 =( -1,1)；因为， 2这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！题型 1：集合元素的基本特征例 1（2008 年江西理）定义集合运算：a *b =z|z =xy, x a, y b设a =1,2,b =0,2，则集合 a *b的所有元素之和为（ ）a0；b2；c3 ；d6解题思路根据 a *b的定义，让x在 a中逐一取值，让 y在 b中逐一取值，xy在值就是 a *b的元素 解析 ：正确解答本题 , 必需清楚集合 a *b中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知a *b=

7、0,2,4，故应选择 d【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点， 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型 2：集合间的基本关系例 2数集 x = (2 n +1)p, n z与y =(4k 1)p, k z之的关系是（ ）a x y；b y x； c x =y；d x y 解题思路 可有两种思路：一是将 x和 y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集 x 与 y 之间必然有关系，如果 a 成立，则 d 就成立，这不可能；同样，b 也不能成立；而如果 d 成立，则 a、b 中必有一个

8、成立，这也不可能，所以只能是 c 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义， 逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 a=参加北京奥 运会比赛的运动员，集合 b=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 c=参加北京奥运会比 赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）aa bb.b cc.a i b =cd.b u c =a解析 d；因为全集为 a ，而 b u c =全集= a2 (2006 山 东 改 编 ） 定 义 集 合 运 算 : a b = z =x y

9、+xy , x a, y b , 设 集 合 a =1,0,b=2,3,则集合ab的所有元素之和为解析18，根据 a b 的定义，得到 a b =0,6,12，故a b 的所有元素之和为 183 (2007 湖北改编）设 p和 q是两个集合，定义集合 p -q = x | x p, 且x q ，如果 3等于解析 3，所以p -q =(1,3)4研究集合a = x y =x2-4 ， b = y y =x2-4 ， c = ( x, y ) y =x2-4 之间的关系解析a与c， b与c都无包含关系，而 ba；因为a = x y =x -4 表示看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 4 - 这世上有

10、两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！y =x2-4的 定 义 域 ， 故 a =r；b = y y =x 2 -4 表 示 函 数y =x2-4的 值 域 ，b = -4, +)；c = ( x, y ) y =x 2 -4 表示曲线y =x 2 -4上的点集，可见， ba，而 a与c， b与c都无包含关系考点二：集合的基本运算 例 3 设集合 a = x x 2-3 x +2 =0 ， b = x x2 +2( a +1) x +( a 2-5) =0（1） 若a i b =2，求实数a的值；（2）若a u b =a，求实数a的取值范围若a i b =2，解题思路

11、对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 解析因为 a =xx2-3x +2 =0=1,2，（1）由a i b =2知，2b，从而得22 +4( a +1) +( a 2-5) =0，即a2+4 a +3 =0 ，解得 a =-1或 a =-3当a =-1时， b = x x2-4 =0 =2,-2，满足条件；当a =-3时，b =xx2-4x +4 =0=2，满足条件所以a =-1或a =-3（2）对于集合 b，由d =4( a +1) 2 -4( a 2 -5) =8( a +3)因为a u b =a ，所以 b a当d0，即a 0 ，即 a -3时， b

12、=a =1,2才能满足条件，由根与系数的关系得1+2 =-2(a +1) 12 =a 2 -5 5a =- 2a 2 =7，矛盾故实数a的取值范围是a -3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要 注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.抢分频道基础巩固训练：1 （09 年吴川市川西中学 09 届第四次月考）设全集uab看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 5 - a u b = x 0 x 1a = x 0 x 1b = x 0 x 1，所以 这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！u =r, a

13、 =xx( x +3) 0,b =xx0；bx-3x0；cx-3x-1；dxx-1解析c；图中阴影部分表示的集合是 a i b ，而 a = x -3 x 0 ，故a i b = x -3 x 0,b =xlog x 3,t=x|ax a +8,sut =r ，则 a 的取值 范围是（ ）-3 a -1；b -3 a -1ac a -3或 a -1；d a -1 解析a； s = x | x -2 3 = x x 5 ，t =x|a x a +8，s u t =r所以 a 5，从而得-3 a -16p = m -1 m 0 ,综合提高训练：q = m r mx 2 +4mx -4 0对于任意实

14、数x恒成立则下列关系中立的是( )a p q; b q p;c p =q;d p i q =f解析a；当m 0时，有 m 0 d=(4m)2-4 m ( -4) 0，即q = m r -1 m 0 ；当 m =0 时， mx2+4 mx -4 0也恒成立，故q = m r -1 0，则 ab 等于（ ）a0,+)；b0,12,+)；c0,1)2,+)；d0,1(2, +)解析d； 2 x -x20 0 x 2，a=0，2， x 0 2x1，b=（1，），ab=0, ），ab=（1，2，则 ab0,1(2, +)第 2 讲函数与映射的概念1函数的概念知识梳理(1)函数的定义：设 a、b 是两个非

15、空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 a 中的每一个数 x ，在集合 b中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 a到 b的一个函数，通常记为y = f ( x ), x a(2)函数的定义域、值域在函数 y = f ( x ), x a中，x叫做自变量，x的取值范围 a叫做 y = f ( x)的定义域；与x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合称为函数 y = f ( x )的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2映射的概念设a、b是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 a中的任意元素，在集合 b中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫

16、做从 f : a ba 到 b 的映射，通常记为重、难点突破看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 7 -这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题 1：已知函数 y = f ( x)的定义域为a，b ，求 y = f ( x +2)的定义域误解因为函数 y = f ( x )的定义域为a，b ，所以a x b ，从而 a +2 x +2 b +2故 y = f ( x +2)的

17、定义域是a +2, b +2正解因为 y = f ( x )的定义域为a，b，所以在函数 y = f ( x +2) 中， a x +2 b，从而a -2 x b -2 ，故 y = f ( x +2)的定义域是a -2, b -2即本题的实质是求a x +2 b 中 x 的范围问题 2：已知 y = f ( x +2)的定义域是a，b ，求函数 y = f ( x)的定义域误解因为函数 y = f ( x +2)的定义域是a，b ，所以得到 a x +2 b，从而a -2 x b -2，所以函数 y = f ( x )的定义域是a -2, b -2正解因为函数 y = f ( x +2)的定

18、义域是a，b ，则a x b，从而a +2 x +2 b +2所以函数 y = f ( x)的定义域是a +2, b +2即本题的实质是由a x b求x +2的范围即 f ( x )与 f ( x +2)中x含义不同2 求值域的几种常用方法（ 1 ） 配 方 法 ： 对 于 （ 可 化 为 ） “ 二 次 函 数 型 ” 的 函 数 常 用 配 方 法 ， 如 求 函 数y =-sin 2 x -2 cos x +4，可变为y =-sin 2 x -2 cos x +4 =(cos x -1) 2 +2解决（2 ）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y =

19、log ( -x 12+2 x +3)就是利用函数 y =log u 和 u =-x12+2 x +3的值域来求。2 2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y =x22 x +1 -2 x +2的值域由y =x22 x +1 -2 x +2得yx2-2( y +1) x +2 y -1 =0，若 y =0，则得x =-12，所以 y =0是函 数 值 域 中 的 一 个 值 ； 若 y 0， 则 由d = -2( y +1)2-4 y (2 y -1) 0得3 - 13 3 + 13 3 - 13 3 + 13 y 且 y 0 ，故所求值域是 ,2 2 2 2看人生峰高处

20、，唯有磨难多正果。- 8 -这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数 y =2 cos x -3 cos x +1的值域，因为2 cos x -3 5 5 5 y = =2 - ，而 cos x +1 (0,2 ，所以 - ( -,- cos x +1 cos x +1 cos x +1 2 1y ( -,- 2，故（5）利用基本不等式求值域：如求函数 y =3 xx 2 +4的值域当 x =0 时， y =0 ；当 x 0 时， y =3x +4x4 4，若 x 0 ，则 x + 2 x =4x x若x

21、0，则x +4 4 4=-(-x+ ) 2 ( -x) ( ) =4 x -x -x3 3，从而得所求值域是- , 4 4（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y =2 x4-x2+2( x -1,2)的值域因y =8 x3 -2 x =2 x(4 x 2 -1) ，故函数 y =2 x 4 -x 2+2( x -1,2)1 在 ( -1,- )2上递减、在1 1 1 15( - ,0) 上递增、在 (0, ) 上递减、在 ( ,2) 上递增，从而可得所求值域为 ,302 2 2 8（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些 分段函数的值域常用此法）。

22、热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f ( x ) =x2，g ( x ) =3 x 3；（2）f ( x ) =xx，1 g ( x) =-1x 0,x 0;（3）f ( x ) =2 n +1x2 n +1， g ( x ) =(2 n -1x )2 n -1（nn *）；（4）f ( x) =xx +1，g ( x ) =x 2 +x；（5）f ( x) =x 2 -2 x -1，g (t ) =t 2 -2t -1解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于f ( x ) =x2= x，

23、g ( x ) =3 x 3 =x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 9 - x x 0或x -1 lg这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！（2）由于函数f ( x ) =xx的定义域为 ( -,0) u (0,+)，而1 g ( x) =-1x 0,x 1 1 1 1 1 ) ；b. y = ；c. y = ( x ) ； d. y =|2 2 x -1 2 x -1 2 2 x -1| 解析 c；根据对数恒等式得y =0.1lg(2 x -1)1 =10 2 x -1=11 x -1，且函数y =0.

24、1lg(2 x -1)的定义1域为 ( , +)2，故应选择 c考点二：求函数的定义域、值域 题型 1：求有解析式的函数的定义域例 2.（08 年湖北）函数 f ( x ) =1xln( x2-3 x +2 + -x2-3 x +4)的定义域为( )a.( -,-4)u 2, +);b.( -4,0) u (0,1)；c., -4,0) u (0,1;d., -4,0) u (0,1)解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数 f ( x )有意义，必须并且只需看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 10 -2()2 + x x 2 这世上有两样东西是别

25、人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！x2 -3 x +2 0-x2 -3 x +4 0 x -3 x +2 + -x2-3 x +4 0 x -4,0) u (0,1)，故应选择 dx 0【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围， 实际操作时要注意：分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为 非负数；零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几 个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问 题有意义， 而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则

26、，实际问题的定义域 不要漏写。题型 2：求抽象函数的定义域例 3（2006湖北）设 f x = lg ，则 f + f 的定义域为（ ）2 - x 2 x a. (-4,0)u(0,4)；b.(-4,-1)u(1,4)；c.(-2,-1)u(1,2)；d.(-4,-2)u(2,4)解题思路要求复合函数fx 2 + f 2 x 的定义域，应先求 f ( x )的定义域。2 +x 解析由 02 -x得， f ( x )的定义域为-2 x 2，故 -2 -2 x22x2,0, x -1 1解得x 34定义在 r上的函数 y = f ( x )的值域为 a , b ，则函数 y = f ( x -1)

27、的值域为( )a a -1, b -1；ba , b ；ca +1, b +1；d无法确定解析 b ；函数 y = f ( x -1)所以，它们的值域是一样的的图象可以视为函数 y = f ( x )的图象向右平移一个单位而得到，5(2008 江西改) 若函数 y = f ( x )的定义域是1,3，则函数 g ( x ) =f (2 x)x -1的定义域是1 3 解析 ,1) u (1, 2 2；因为 f ( x )的定义域为 1,3，所以对 g ( x )，1 2 x 3 但 x 1 故1 3 x ,1) u (1, 2 26(2008 江西理改)若函数 y = f ( x)2 的值域是

28、,33，则函数f (x)=f(x)+1f ( x )的值域是解析2,103； f ( x)可以视为以 f ( x )为变量的函数，令 t = f ( x )1 2，则 f =t + ( t 3)t 31 t 2 -1 (t +1)(t -1) f =1- = =t 2 t 2 t 21 2，所以，f =t + 在 ,1t 3上是减函数，在1,3上是增函数，故 f ( x)的最大值是103，最小值是 2考点三：映射的概念【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1） 集合 a、b 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；（2） 对应法则有“方向性”，即强调从集合 a 到集合 b 的对应，它

29、与从集合 b 到集合 a 的 对应关系一般是不同的；（3） 集合 a 中每一个元素，在集合 b 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般 对应的本质特征；（4） 集合 a 中不同元素，在集合 b 中对应的象可以是同一个；（5） 不要求集合 b 中的每一个元素在集合 a 中都有原象.新题导练7集合 a=3，4，b=5，6，7，那么可建立从 a 到 b 的映射个数是_，从 b 到 a 的 映射个数是_.解析 9 , 8；从 a 到 b 可分两步进行：第一步 a 中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5 或 6 或 7），第二步 a 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理，不同的

30、映射种数 n 33 9.反之从 b 到 a，道理相同，有 n 2228 种不同映射.看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 12 -24b a这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！8若 f :y=3x+1 是从集合 a=1，2，3，k到集合 b=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k 的值及集合 a、b.解析 a=2，k=5，a=1，2，3，5，b=4，7，10，16；f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）a4=10,a +3a =3k +1,或（2）a2+3a=10, a =3

31、k +1.an ，方程组（1）无解.解方程组（ 2 ），得 a =2 或 a = 5 （舍），3 k+1=16 ，3 k =15 ，k =5. a =1 ，2 ， 3 ，5 ，b =4 ， 7 ，10 ，16.抢分频道基础巩固训练：1(2007广东改编) 已知函数f ( x ) =11 -x的定义域为 n ，g ( x ) =ln(1 +x )的定义域为 m ，则m u n =解析( , +)；因为 m =( -1, +), n =( -,1),故m u n =r2函数 y =log (3 x -2) 1的定义域是解析(23,1；由30 3 x -2 1得到230 ，所以1 -y 1 -y0，

32、即-1 y 0, b =r , f : x | y |=x2ba =-2,0,2, b =4, f : x y =x2ca =r , b = y | y 0, f : x y =1x 2da =0,2, b =0,1, f : x y =x2解析d；根据映射的定义知，构成从集合 a 到集合 b的映射是 d看人生峰高处，唯有磨难多正果。- 13 -这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！6（09 年执信中学）若函数y =x2-3 x -4的定义域为0, m ,值域为 -254，-4，则m的取值范围是（ ）a(0,43 3 ；b ，3 ； c ，42 23；d ，+）2解析b；因为函数y =x2-3 x -43 即为 y =( x - )22-2543，其图象的对称轴为直线 x = ，2其最小值为 -254，并且当x =0及x =3时，y =-4，若定义域为 0, m 25，值域为 - ，-4 4，则32m 38（05 天津改）设函数 f ( x) =ln综合提高训练：2 +x x 1 ，则函数