圆的知识点总结及典型例题

1、圆章节知识点复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；、点与圆的位置关系5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平

2、行线且到两条直线距离都相等的一条直线。1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外d r点C在圆内;dr点B在圆上;dr点A在圆外;三、直线与圆的位置关系-1 -1、直线与圆相离3、直线与圆相交d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点;d r有两个交点；外离（图郢1）无交点dRr ;相交（图郢3）有两个交点Rrd R r ；内含（图郢5）无交点dRr ;外切（图2）有一个交点d R r ；内切（图4）有一个交点d R r ；五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平

3、分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧-3 -即:以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,AB是直径ABCD CE DE弧BC 弧BD弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O中，T AB / CD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： AOB DOE : AB DE ;OC

4、OF ；弧BA 弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：EOAD推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在O O中， C、D都是所对的圆周角 C D推论2 :半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中， AB是直径或T C 90C 90- AB是直径-7 -CAB推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC OA OB AB

5、C是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜 边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即:在O O中，四边形 ABCD是内接四边形 C BAD 180 B D 180 DAE C九、切线的性质与判定定理(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN OA且MN过半径0A外端 MN是O 0的切线(2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆

6、心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理: 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA、PB是的两条切线DBP0平分 BPAI一、圆幕定理(1) 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O 0中，弦AB、CD相交于点P ,PA PB PC PD(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O O 中，直径 AB CD , C

7、E2 AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O O中，T PA是切线，PB是割线EBPA2 PC PB(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 即：在O O中， PB、PE是割线PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分 AB 。即：TO Oi、O O2相交于A、B两点- O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长:Rt O1O2C 中，AB2 C

8、O； . OQ22 CO22 ;(2 )外公切线长： CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1 )正三角形C0102COD在O O中 ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行OD : BD :OB 1: .3:2 ；(2 )正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1:2 :(3 )正六边形同理，六边形的有关计算在 Rt OAB中进行，AB :OB :OA 1: 3:2 .卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：I180（2）扇形面积公式:n R2-IR360n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半

9、径I :扇形弧长 S ：扇形面积AB-10 -(2)圆柱的体积：Vr 2h(2)圆锥侧面展开图(1)S表Sfts底 =Rrr2(2)圆锥的体积：V1 r 2. r h32、圆柱:（1 ）圆柱侧面展开图S表s侧2S底=2 rh 2 r2典型例题例1 两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1所示（点O, 0是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求 / TPN的大小.例2如图，AB为O O直径，E是Be中点，OE交BC于点D, BD=3 , AB=10，则AC=例3.如图，O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（）例4.如图，

10、在O O中，AB、CD是两条弦，0E丄AB , OF丄CD，垂足分别为 EF.(1)如果/ AOB= / COD，那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？(2)如果oe=of，那么Ab与Cd的大小有什么关系？ ab与cd的大小有什么关系？ /为什么？/ aob与/ COD呢？例5.如图3和图4, MN是O O的直径，弦 AB、CD/相交于 MNE上的一点 P, ZZ APM= / CPM .(1) 由以上条件，你认为 AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2) 若交点P在O 0的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例6如图，点 0是Z ABC的内切圆的圆心，若 /

11、 BAC=80，贝U / BOC=()A . 130 B . 100 C. 50 D . 65 例7.如图，AB为ZO的直径，C是ZO上一点，D在AB的延长线上，且 Z DCB/A(1) CD与ZO相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2) 若CD与ZO相切，且 Z D=30 , BD=10，求ZO的半径.A例8.如图所示，点 A坐标为(0, 3) , OA半径为1,点B在x轴上.(1) 若点B坐标为(4, 0), ZB半径为3,试判断/A与/B位置关系;(2) 若/ B过M (- 2, 0)且与ZA相切，求B点坐标.例9.如图，已知正六边形 ABCDEF，其外接圆的半径是

12、 a, /求正六边形的周长和面积.例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB ,顶点C在半圆圆周上， 其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于 / ABQ的矩形水池 DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的 设计方案是使AC=8 , BC=6 .(1)求/ ABC的边AB上的高h. (2 )设DN=x，且h DN 出，当x取何值时，水池 DEFN的面积最大？h AB(3) 实际施工时，发现在AB上距B点1 .85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？ 如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最

13、大矩形水池能避开大树.-17 -例11.操作与证明：如图所示，0是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 0处，并将纸板绕 0点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.例12.已知扇形的圆心角为120,面积为300 cm2.(1 )求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?AP ,例13、如图，AB是/O的直径，BC是弦，OD ZBC于E,交BC于D .(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC=8 , ED = 2,求/O的半径.例14已知：如图等边 ABC内接于/O,点P是劣弧PC上的

14、一点(端点除外)，延长BP至D，使BD连结CD .(1)若AP过圆心O，如图厶请你判断 PDC是什么三角形？并说明理由.图D图(2)若AP不过圆心O，如图Z, PDC又是什么三角形？为什么?例15.如图，四边形 ABCD内接于/O, BD是/0的直径，AE CD，垂足为E , DA平分 BDE .(1)求证：AE是/0的切线；(2 )若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的长.EO例16、如图，已知在 /0中，AB= 4.3 , AC是/0的直径，AC/ BD 于F, / A=30(1) 求图中阴影部分的面积；(2) 若用阴影扇形 OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径例1

15、7.如图，从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.(1) 求这个扇形的面积(结果保留 ).(2) 在剩下的三块余料中，能否从第/块余料中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3) 当/ 0的半径R(R 0)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.例18.(1)如图OA、OB是/O的两条半径，且OA OB，点C是OB延长线上任意一点： 过点C作CD切/O 于点D，连结AD交DC于点E.求证：CD=CE若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动交 OA于F,交/O于B,其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗？为什么？CF的交点，其他条件若将图中的

16、半径 OB所在直线向上平行移动到 ZO外的CF,点E是DA的延长线与CD=CE还成立吗？为什么例19、( 2010山东德州)如图，在 / ABC中，AB=AC , D是BC中点，AE平分/BAD交BC于点E,点O是AB上一点，ZO过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.DEAFO(1) 求证：BC与/O相切；(2) 当/ BAC=120时，求/ EFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，O O的半径为1，点P是O O上一点，弦AB垂直平分线段 OP，点D是ApB上任一点(与端点 A、B不重合)，DE丄AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作O D，分别过点A、B作CPDEOO D的切线

17、，两条切线相交于点 C.(1) 求弦AB的长；(2) 判断/ ACB是否为定值，若是，求出/ ACB的大小；否则，请说明理由;(3) 记厶ABC的面积为S,若洼 =4 3，求 ABC的周长.DE例21.(2010江西)“6”形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于 B, 0B与小圆相交于 A, BC/ AD , CD ZBH/FM,BC ZDG , DH ZBH 于 H，设 FOB , OB 4, BC(1) 求证：AD是小圆的切线；(2) 在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由;(3) 当 30，求DH的长例22. (2010江苏泰州，28, 12分)在平面直角坐标系中，直线y kx b (k为常数且0)分别交x轴、y轴于点A、B,O O半径为5个单位长度.如图甲，若