变化率与导数导学案及练习题

1、变化率与导数导学案及练习题3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 【学习要求】1.了解导数概念的实际背景 .2.会求函数在某一点附近的平 均变化率 .3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数 . 【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、 瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深 刻体会无限逼近的思想 .1. 函数的变化率 定义实例 平均变化率函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为，简记作： yx 平均速度； 曲线割线的斜率瞬时变化率函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0 x的平均变化率在

2、 x0时的极限，即lim x0 yx 瞬时速度：物体在某一时刻的速度； 切线斜率2. 函数 f(x)在 xx0 处的导数函数 yf(x)在 x x0处的称为函数 yf(x)在 xx0 处的导数， 记作，即 f (x0)lim x0y.x 引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一平均变化率的概念问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发 现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题 2 高台跳水在高台跳水运动中， 运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t(单位： s)存在函数关系 h(t)

3、4.9t2 6.5t 10.计 算运动员在下列时间段内的平均速度 v，并思考平均速度有什么作用？(1) 0 t ，0(.25)1 t 2.问题 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题 4 平均变化率也可以用式子 y表x示，其中 y、x的意义是什么？ y有x什么几何意义？例 1 已知函数 f(x)2x23x 5.(1)求当 x1 4，且 x1 时，函数增量 y和平均变化率 y；x(2) 求当 x14，且 x0.1 时，函数增量 y和平均变化率 y；x(3) 若设 x2x1 x分. 析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义 .跟踪 1(1)计算函数 f(x)x2从 x1到 x 1x的平均变

4、化率，其中 x 的值为2；1；0.1 ； 0.01.(2)思考：当 | x越| 来越小时，函数 f(x)在区间 1,1 x上 的平均变化率 有怎样的变化趋势？探究点二函数在某点处的导数 问题 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 问题 3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？例 2 利用导数的定义求函数 f(x)x23x 在 x2 处的导数 .跟踪 2 求函数 f(x)3x22x 在 x1 处的导数 .例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进 行冷却和加热 .如果第 xh 时，原油的温度 (单位： )为 y f

5、(x) x2 7x 15(0 x计8).算第 2h 和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义 .跟踪 3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳 后的时间 t(单位： s)之间的关系式为 h(t)4.9t26.5t10，求运动 员在 t 6598s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况 .【达标检测】1.在导数的定义中，自变量的增量 x满足 ()A. x0C. 0xD. x02.函数 f(x)在 x0 处可导，则x0 h f x0 h()A.与 x0、h 都有关 B.仅与 x0 有关，而与 h 无关C.仅与 h 有关，而与 x0 无关 D.与 x0、h 均无关