因动点产生的等腰三角形的专题答案

1、因动点产生的等腰三角形81如图，在直角坐标系 xOy中，反比例函数 y =-图像上的点A、B的坐标分别为(2, m)、X(n, 2)，点C在x轴上，且 ABC为等腰三角形，求点 C的坐标888解：因为 A ( 2, m)、B (n, 2)在 y=-上，所以 m = 2，2 = ，解得：m= 4,n= 4，所以 A (2, 4)、入厶I IB (4, 2).因为点C在x轴上，所以设 C (X, 0),则 AB=(4 2)2+ (2 4)2 = 22 , AC=(x 2)2 + 42=x2 4x+ 20,BC=(-4)2+ 22=2x 8x+ 20 .若厶ABC为等腰三角形，分三种情况讨论： AB

2、= AC即x24x+ 20 = 2 0,整理得x2 4x+ 12= 0,因为D，二 t-2 ；能，当EF=EA0F 2EFA=ZAf itt时四边if缈址是等膜梯骸 /EQ=F-12i帝当戦二AT时,AB=10t* t=2；当 EF=PAQ,PNkP人-泪卜AN习旨-2-左1 A3七,代 EB=EA-AE=16-2t-10=&-2t, .QB-EB” PA ETgn t _8-2t即土-142 士KS：碍当点F在E顾长线上AP=AE厲屯角三角形)AF=2t-18fEQ=BQ=t FQEF-EQ=ia-t-t= 13-31,vpqMmsqm2,:.j (12-3t) 64,AE=10-t解得：t

3、的值可以是t二寻或t = 孚或t=2y -OEM N 64、如图,在 ABC中，AB=AC = 5, BC=6，E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)(1)(2)，且保持DE / BC，以DE为边, 试求 ABC的面积；当边FG与BC重合时，求正方形在点A的异侧作正方形DEFG .DEFG的边长;解：门过丸作AK丄眈于H,(3)设AD =x , . ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 y，试求y关于x的函数关系式，并写出疋义域；AD的长.(4)当 BDG是等腰三角形时，请直接写出158令此时正方形的边长为 TEE“肌,-亘-匕.g- 4 *_12 当 g时，由aadeaabc

4、得霁晋， 即詁晋解得DE=執当 BD二DGfl寸.5-x=xi K=-j-j- ?3半XBGfi寸，苓哼，解得沪罕，乜生125当瞬倆寸，二竺，鯛得帯，4 5心几当!)堤等腰三角形时，皿咅或挈或罟.5、如图，抛物线 y= ax2 + bx+ c经过A( 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线I上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标；(3) 在直线I上是否存在点 M，使 MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的 坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)因为抛物线与 x轴交于A( 1,0)、

5、B(3, 0)两点，设y= a(x+ 1)(x 3),代入点C(0 ,3)，得一 3a= 3 .解得a= 1.所以抛物线的函数关系式是y= (x+ 1)(x 3)= x2+ 2x+ 3.(2)如图2，抛物线的对称轴是直线x= 1 .当点P落在线段BC上时，PA + PC最小， PAC的周长最小. 设抛物线的对称轴与 x轴的交点为H .由 列=理,bo = CO,得 PH = BH= 2.BO CO所以点P的坐标为(1,2).图2(3)点 M 的坐标为(1, 1)、(1,、6)、(1,-、6)或(1,0).第(3)题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m).在厶 MAC 中，AC2= 10,

6、 MC2= 1+ (m 3)2, MA2= 4 + m2. 如图 3,当 MA = MC 时，MA2= MC2.解方程 4 + m2= 1 + (m 3)2, 得 m= 1 . 此时点M的坐标为(1, 1). 如图 4,当 AM = AC 时，AM2 = AC2.解方程 4+ m2= 10,得 m - _6 .此时点M的坐标为(1, ,6)或(1, - . 6).当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点如图 5,当 CM = CA 时，CM2= CA2 .解方程 1+ (m 3)2= 10,得 m= 0 或 6./JwCJc/c/jbM JAirAQ1 oM4 八1111i1

7、 !M的坐标为(1,0).图3图4图56、如图，点A在x轴上，OA = 4,将线段OA绕点0顺时针旋转120至0B的位置.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、0、B的抛物线的解析式；(3) 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)如图2,过点B作BC丄y轴，垂足为 C.在 Rt 0BC 中，/ B0C = 30, 0B = 4,所以 BC = 2, OC=2.,3 .所以点B的坐标为(2, _2一 3).(2) 因为抛物线与x轴交于0、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y= ax(x 4),

8、代入点 B(-2, -.3) , -2 5 - -2a (_6) 解得 a = 一一3 .6所以抛物线的解析式为 y3X(X4)3 x: 3 x .663(3) 抛物线的对称轴是直线x= 2，设点P的坐标为(2, y).当 0P = 0B= 4时，0P2= 16.所以 4+/= 16.解得 y=：2、3 .当P在(2, 2 3)时，B、0、P三点共线(如图 2). 当 BP = B0= 4 时，BP2= 16.所以 42 (y3)2 =16 解得 yy-2.3 . 当 PB = P0 时，PB2= P02.所以 42，(y 2 3)22 y2 .解得 y - -2 3 .综合、，点 P的坐标为

9、(2,-2 3)，如图2所示.0图2如图3,在本题中，设抛物线的顶点为图3D，那么 D0A与厶0AB是两个相似的等腰三角形.3322 3由 yx(x -4)(x_2)663=3 .所以/ DOA = 303OABC的边长为2,顶点因止匕tan . DOA，/ ODA = 120 .得抛物线的顶点为D(2,7、如图，已知正方形 是线段0C上一动点A、C分别在x、y轴的正半轴上， M是BC的中点.P(O,m)C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D .(1) 求点D的坐标(用含 m的代数式表示)；(2) 当厶APD是等腰三角形时，求(3) 设过P、M、B三点的抛物线与图2).当点P从O向C运动时，

10、点m的值；x轴正半轴交于点 E,过点O作直线ME的垂线，垂足为 H (如 H也随之运动.请直接写出点 H所经过的路长(不必写解答过程)解: (1).因此 PM= DM , CP = BD = 2-m.所以 AD = 4-m.于是得到点D的坐标为(2, 4- m).(2)在厶 APD 中，AD2 =(4 -m)2,2 2(4 -m) = m 4 .当AP = AD 时,当PA = PD 时,当DA = DP 时,综上所述，当 APD为等腰三角形时,AP2解得2 2 2 2二m 4, PD =(2PM) =4 4(2 -m). m (如图 3).2m2亠4 =4 -4(2 -m)2 .解得m =4

11、 (如图4)或m = 4 (不合题意，舍去) 3(4 m)2 =4 - 4(2 m)2 .解得 m = 2 (如图3345)或m = 2 (不合题意，舍去)图5(3)点H所经过的路径长为二.4(2)题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：3，当AP= AD时，AM垂直平分PD，那么 PCMMBA .所以_EC=1 .因此CM BA 2如图3 m2如图4，当FA= PD时，P在AD的垂直平分线上.所以 DA = 2PO .因此4-m=2m .解得4 m =-3第(2)如图6，在Rt OHM中，斜边OM为定值，因此以 OM为直径的O G经过点H,也就是说点题的思路是这样的:H在圆

12、弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图7 P与0重合时，是点H运动的起点，/ COH = 45,/ CGH=90.图6图78、如图，已知一次函数 y= x+ 7与正比例函数y=4x的图象交于点 A,与x轴交于点B.3(1) 求点A和点B的坐标；(2) 过点A作AC丄y轴于点C,过点B作直线l/y轴.动点P从点0出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点 A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R,交线段BA或线段A0于点Q.当点P到达点A时，点P和直线I都停止运动.在运动 过程中，设动点 P运动的时间为t秒. 当t为何值时，以 A、P、R为顶点的

13、三角形的面积为 8? 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由.解：(1)解方程组令 y-x 7=0，得 x=-x 7,4一 3x,=7 所以点B的坐标是(7, 0).x 3得所以点A的坐标是(3, 4).y =4.(2)如图 2，当P 在 OC 上运动时，0 W t V 4 由 Sa APR = S弟形 CO RA - SL ACP-S P OF8，得AAA(3+7-t ) 44 (4 )-比(7t )=8整理，得 t2 -8t 72=0 解得 t = 2 或 t= 6 (舍去)如图 3,222当P在CA上运动时， APR的最大面积为6.因此，

14、当t= 2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为 8.图2图3图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0Wt V4.如图 1,在厶 AOB 中，/ B= 45,/ AOB 45, OB = 7, AB=4.2，所以 OB AB.因此/ OAB Z AOB / B.如图4,点P由O向C运动的过程中， OP= BR= RQ,所以PQ/X轴.因此/ AQP = 45。保持不变，/ PAQ越来越大，所以只存在/ APQ=/ AQP的情况.此时点 A在PQ的垂直平分线上， OR = 2CA = 6 .所以BR= 1, t= 1 .我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4 tV 7.在厶 APQ 中，cos.

15、 A=3 为定值，AP=7t, AQ =OA_OQ=OA_OR却5333如图5,当AP= AQ时，解方程7_t =5t 20，得t二41 .3 381 -AQ如7,当PA = PQ时，那么cos A二AP如图6,当QP = QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP= 2(OR OP).解方程7 t = 2(7 t)-(t-4), 得 t =5 .因此 AQ =2AP cos. A解方程 2 一20 =2(7-1) 3，得335226石综上所述，t= 1或41或5或226时， APQ是等腰三角形.843村当P在CA 上, QP= QA时，也可以用AP =2AQ cos A来求解.9、如图，在直角坐

16、标平面内有点 A(6, 0) , B(0, 8) , C( 4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动 点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点 N以5个单位长度/秒的速度自A向B 方向作匀速运动， MN交OB于点P.(1) 求证：MN : NP为定值；(2) 若厶BNP与厶MNA相似，求 CM的长；(3) 若厶BNP是等腰三角形，求 CM的长.解：(1)如图2,图3，作NQ丄x轴，垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.在 Rt ANQ 中，AN = 5t, NQ = 4t , AQ= 3t.在图 2 中，QO = 6 3t, MQ = 10-5t,所以 MN : N

17、P = MQ : QO = 5 : 3. 在图 3 中，QO = 3t 6, MQ = 5t 10,所以 MN : NP = MQ : QO = 5 : 3.(2)因为 BNP与厶MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形, 要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.如图 4, BNPs MNA ,在 Rt AMN 中，=-,所以图2图3旦工解得t卫此时60CM31(3)如图5,图6,图7 中,竺二塑，即空旦.所以OP=8t .QN MN 4t 558当N在AB上时，在 BNP中，/ B是确定的，BP =8 t, BN=10-5t .581

18、020(I )如图5，当BP= BN时，解方程8 - t =10 -5t，得t .此时CM517174 1 f 8 455(H )如图 6,当 NB = NP 时，BE = BN .解方程一.8 t =-(10 5t ),得 t= .此时 CM = .5 2l 5 丿 5421414 (8(川)当PB =PN时，1BN蔦BP .解方程210 =87，得t的值为负数，因此不存在PB = PN的情况.7,当点N在线段AB的延长线上时，/ B是钝角，只存在BP= BN的可能，此时BN =5t -10 .解360此时CM11如图方程8 -8t5=5t -10，得 t11图7-BP，这样计算简便一些.510、如图，在矩形 ABCD中，AB= m （m是大于0的常数），BC = 8, E为线段BC上的动点（不与 B、C重合）连结DE，作EF丄DE , EF与射线BA交于点F，设CE= x, BF = y. （1 ）求y关于x的函数关系式；（2 ）若m = 8，求x为何值时，y的值最大，最大