向量在初等几何中的应用

1、目录向量在初等几何中的应用 1摘要 1Vector Used In Elementary Geometry 2Abstract 21 绪论 32 向量的运算规律与定理和推论 32.1 向量加法运算规律 42.2 向量乘法运算规律 42.3 向量数性积 42.4 向量矢性积 43 向量在初等几何中的应用实例 53.1 向量在处理平行问题时的应用 53.2 向量在求点的坐标的问题时的应用 63.3 向量在处理线面垂直问题时的应用 63.4 向量在处理等距问题时的应用 73.5 向量在求解和证明与角度有关问题时的应用 93.6 向量在证明正弦定理时的应用 9例 6. 证明正弦定理 103.7 向量在

2、解三角形中的应用 104 向量在几何问题的研究中的作用 11参考文献 12向量在初等几何中的应用摘要向量是现代中学数学的重要组成部分，向量既具有代数形式又具有几何形式，在中 学平时的练习和考试中，我们通过几何知识很难解决的问题，往往可以运用向量的知识 将其转化为数的形式，把抽象的几何问题代数化，利用代数的计算更简单，更直观的解 决问题。向量的知识不但在某些解题过程中可以加以运用，而且在初等几何中，只需要 利用向量最基本的一些原理， 我们就可以证明一些复杂的平面几何甚至立体几何问题以 及一些公式定理。本文对这些内容展开讨论。该论文有图 6 幅，参考文献 6 篇。关键词： 向量 代数化 计算 证明

3、 初等几何Vector Used In Elementary GeometryAbstractThe vector is an important part of modern mathematics in secondary schools.Vector is both algebraic and geometric forms. In the usual practice exams of secondary schools ,for the problems that are difficult to solve through geometric knowledge,we often

4、use the knowledge to convert it to the vector making geometry problems algebraic .We find it easier and more intuitive to solve the problem. Vector is not only applied in solving problem process , but also in elementary geometry.we can prove some complex geometry,three-dimensionalg eometry problems

5、and some formula theorem with some of the basic principles of vector. In this paper,We will discuss these contents.Key words: vector algebraic calculate proof Elementary Geometry1 绪论向量是一种既具有大小又有方向的量， 它是作为一种代数的方法来研究几何的重要 工具，向量不但可以用来解决平面几何中的问题， 还能应用于三维立体几何问题的解决。 我们根据初中学过的相关知识知道了平面中两直线平行的判定定理。那么，我们能不能

6、利用向量的方法来判定直线之间的位置关系？在高二必修二的学习中， 我们学习了立体 几何，那我们是不是也可以用向量的代数特征将这些抽象的问题代数化？或者，我们又 能否利用向量的知识来求解三角形中的未知量？我们是不是还能够利用向量最基本的 知识原理来证明一些定理呢？以上种种问题，都是本文所要探讨的。2 向量的运算规律与定理和推论2.1 向量加法运算规律rrrr( 1) a b b a(2) (ar br) rc ar (br cr) rrr( 3) a 0 ar r r(4) a ( a) 02.2 向量乘法运算规律(1) 1 ar ar(2) ( ar) ( )arr rr r( 3) (a b)

7、 a b2.3 向量数性积rr记做 a br r r r r r a b a b cos （a,b）2.4 向量矢性积记做 a b ，它的方向与 a和b 都垂直三向量的混合积 （ar,br,rc）rbrarrnsi rb rarb) ra在右手直角坐标系 o,i, j,k 下用矢量的分量表示向量数性积、 向量失性积及三向量的混 合积：若 ar X1i Y1 j Z1kbr X2i Y2 j Z2kcr X3i Y3 j Z3krr则 a b X1X2 Y1Y2 Z1Z2abY1 Z1iY2 Z2Z1X1Z2X2X1 Y1 kX2 Y2X1 Y1 Z1(a,b,c)X2 Y2Z2X3 Y3 Z3

8、定理 1：设有向线段 P1P2 的始点为 P（1 X 1， Y1， Z 1），终点为 P（2 X 2， Y2， Z 2），那么分有向 线段 P1P2成定比 （1）的分点 P 的坐标是X1X2Y1 Y2Z1Z21推论：设 P（1 X 1， Y1，Z1）， P（2 X 2， Y2， Z 2），那么线段 P1P2的中点坐标是X1X2Y1 Y2定理定理定理2：两向量ar 与br 相互垂直的充要条件是Z1 Z22 rr a b 03：两向量 ar 与 br 的共线的充要条件是 ar br r04：三向量 a 、 b 、c 共面的充要条件是 （a,b,c）3 向量在初等几何中的应用实例研究初等几何的三种主

9、要方法除了综合法、解析法，还有一种就是本文所讨论的向 量法。有关几何中位置数量以及等等问题，向量的方法有其独特的优势，利用向量的知 识使问题得到简化的例子不胜枚举。3.1 向量在处理平行问题时的应用例 1. 证明：若一个四边形的两条对角线相互平分，则为平行四边形Cuuur uuur 分析：我们考虑利用向量的知识来解决这个问题，首先由题意的 AB和DC 互相平 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 分，我们就可以得到 DO OB ， AO OC ，所以得到 AB AO OB DO OC DC ， uuur uuur所以我们可以得到 A

10、B和DC 共线，而且由图像就可以看出，两直线不重合，因此就可 以得到两直线平行的结论。由因为这两个向量相等，相等向量的模相等，得到这个四边 形的一组对边既平行又相等，所以这个四边形是平行四边形。证:设四边形 ABCD的对角线 ABI BD 0,且 AC, BD互相平分，从上图可以看出：uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AO OB DO OC DC因此，uuur uuurAB /DC ，uuur 且 ABuuurDC即四边形 ABCD 为平行四边形关于平面中两直线平行的证明， 我们在初中就给出了几个定理， 但是在这道题目中， 我们发现，如果利用三角形的全等来解决，

11、似乎很麻烦，也很难想到思路。但是如果我 们利用向量的方法，不但思路变得很好找，而且解题过程也会变得十分简单。3.2 向量在求点的坐标的问题时的应用例 2.已知三角形三顶点为 Pi(xi,yi,zi), (i 1,2,3)求 P1P2P3的重心( 三角形三条中线交点 )的坐标。分析：本题是对定理 1 的实际应用，我们知道，三角形的重心把这个三角形的中线分成 1:2 的两部分，而根据定理 1，就可以快速求出这个三角形重心的坐标。解:设 P1P2P3的三条中线分别为 PiM i(i 1,2,3) ,其中顶点 Pi的对边上的中点为uuur uuuurMi(i 1,2,3) ,他们的公共点为 G(x,y

12、,z),因此有 P1G 2GM1 ,即重心G把中线分为 1:2 的两段。由中线可知， M1为 P2 P3的中点,所以根据公式有M(1 x2 2x3, y22 y3,z22z3)再根据定理 1 可得xx1 2(x22x3)13(x1x2x3)12y13(y1y2y3)z13(z1z2z3)所以 P1P2 P3 之重心为 G(x1 x23x3, y1y2 y33, z1z2z3 )3)如果直接根据各线段间的数量关系来求解重心坐标，就需要先设出该坐标，再通过列出关系式，求解方程才能解决问题，而利用定理 1 的知识，我们很快就可以 通过公式解出重心的坐标，不但思路变得特别简单，在计算方面也简化了许多。

13、3.3 向量在处理线面垂直问题时的应用例 3证明：若空间内一直线垂直于同一平面内两条相交直线，则该直线垂直于该平面 内任意一条直线。分析:在同一平面中，任意一个向量 cr都可以用两个不相交的向量 ar 和rb表示出来，即 rc ar br ，根据题意，我们已经有 rn和ra互相垂直，同时 nr 和br 也互相垂直，就可以 得到 n a 0且 n b 0，因此 n c n ( a b) (n a) (n b) 0 ，所以得到 n 和c也 是互相垂直的，因此结论得证。证： 设一条直线 n， n与平面 内两相交直线 a与b都垂直， 接下来，我们求证该直线 n 与平面 内任意直线 c 垂直 在直线 n

14、、a、b、c上分别任取四个非零向量记为 n、 a、b、c 则由题意得： rn ar ， br crr r r r因此 n a 0 ， n b 0假设 c a br r r r rr rr r故 n c n ( a b) (n a) (n b) 0即 nr cr ，表示直线 n 垂直于直线 c命题得证 对于这类题目，我们可以利用高中所学的立体几何的知识加以解决，但是在解决这 道题的过程中我们发现需要找出 5 个条件才能得出直线垂直于平面的结论， 然后由得到 的这个结论来证明本题，这样一来，这道题解决起来就会变得相当麻烦。但是如果我们 利用向量的方法，用这组相交的向量来表示该平面内任意一个向量，这

15、道题就会变得十 分简单。3.4 向量在处理等距问题时的应用例 4证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距。uuur uuur uuruOF BC 0 ，其中 OE uuur uuur GC 和CB 的和，最后用 uuur uuur OG AC ，从而先证得三条中垂线共点uuur再由 OG AC ，得到 OG GA 0 ， uuur其中 OAuuur uuur分别将 OA和OC 平方，整理后可以得到 uuur OA uuur所以有 OA同理可证uuuruuuruuuruuur uuur uuurOG GA ， OCuuurOGuuurOG uuur GC 。uuurGCuuur2OA0

16、。uuur2OC2 ，因此uuurOAuuurOCuuurOBuuurOBuuurOC ，从而结论得证面给出具体证明过程。uuur uuur uuur uuur uuur uuur 分析：由中垂线可得 OE AB 0 、OF BC 0，所以有 OE AB uuur uuur uuur uuur uuur 可以分解成 OG ， GA和AE的和，而 OF 可以分解成 OG， uuur uuur 这六个向量代入原式，计算可以证得 OG AC 0 ，也就是证：设如图在 ABC中O为AB与BC边垂直平分线交点， E、 F、C分别为 AB与BC、CA 的中点。uuur uuur uuur uuur则有 O

17、E AB 0 、OF BC 0 uuur uuur uuur uuur故 OE AB OF BC 0uuuruuuruuuruuuruuur由于 OEOAAEOGGAuuuruuuruuuruuuruuurOFOCFCOGGC所以uuur uuur 1uuurAE OG CB21 uuur uuur 1 uuur BC OG AC 221uuurBC2uuurOG1 uuurAB2uuur uuur uuurOE AB OFuuur uuurBC (OG1uuur uuur uuur21CB) AB (OG1 uuur uuur12 AB) BCuuur uuur 1uuur uuurOG A

18、B CB AB2uuur uuur 1uuur uuurOG BC AB BC2uuur uuur uuur uuur uuurOG(AB BC) OG ACuuur uuur uuur 得到 OG AC 0，即 OGuuurAC所以三角形的三条中垂线交于同一点uuur uuur 因为 OG ACuuur uuur 得到 OG GA 0 ， uuur uuur uuur 又OA OG GA ，uuur uuurOG GC 0uuur uuur uuurOC OG GCuuur2 uuur 2 uuur 2uuur uuur所以 OAOGGA 2OG GAuuur 2 OGuuur 2GAuuu

19、r 2 uuur 2 uuur 2uuur uuurOCOG GC2OG GCuuur 2 uuur 2 OG GAuuur2 故OA uuur2 因为 OA uuur 得到 OAuuur 2OCuuurOA uuur OC2 uuur2， OCuuur 2OC同理可证uuurOAuuurOBuuuruuuruuur因此得到OAOBOuuCur综上所述，三角形的三条中垂线共点，且该公共点到三角形三个顶点的距离相等。对于本题的共点问题，如果运用几何的方法，会变得十分的抽象，解释起来也会相 当困难。而利用向量的知识，我们只要先将其中的向量按照结论所需的条件进行分解， 最后通过具体的计算，就可以得出

20、结论，免去了繁杂的几何证明和很多抽象的解释。这 样不但把抽象的几何问题转化成了简单的计算题，而且在理解时也变得更加直观。而对 于等距问题，运用三角形全等的知识当然也可以加以证明，但是能够利用向量进行计算 证明也是体现了我们数学中解题思维的多样性。3.5 向量在求解和证明与角度有关问题时的应用例 5：已知求：分析：要求的积，C 的度数，我们利用向量的积与向量模的积之间的关系， uuur uuur BC CA再求出它们的模的积，最后根据uuur uuur cos (BC,CA)uuuruuurBCCAuuur uuur 先求出 AC 和 CB，求得 C 的余弦值，从而得到解：因为uuurCA 所以

21、 BC uuur BCC 的度数。 uuurBC 1, 1,0uuuruBuCur2uCuAur2+ -1 0+01,0, 1 ，uuurCA = -1 -1uuurAB= -1 2+ -1 1+0=-3 uuur uuur BC CA uuur uuur BC CAuuur uuur 因而 cos (BC,CA)-1 =1ABC三点 A(1,0,0) ， B(3,1,1)， C(2,0,1) C.uuur uuur所以 (BC,CA)再利用两向量的积和它们的模3 本题中，我们先将所要求的角表示成两向量的夹角， 的积之间的关系，很容易求出两向量的夹角的余弦值，从而求出所要求的角的度数。利 用向

22、量的知识，本题通过三步简单的计算就可以完成。3.6 向量在证明正弦定理时的应用例 6. 证明正弦定理 分析：在证明正弦定理时，我们可以考虑利用向量的矢量积来求证面给出具体的证明过程B cuuur uuur uuur uuur uuur uuur 显然有 BC AC= （BA+ AC） AC=BAuuurACsin A同理可得csin Casin Absin B所以得到 sinaAsinbBcsin C可得 absin C cbsin A所以定理得证正弦定理有很多种证明方法，但无论是转化为直角三角形还是作外接圆，证明过程 都比较繁杂，但是利用向量的知识，我们只需利用向量积的知识就可以轻松解决，相

23、比 较其他几种证明方法，显得更加简洁直观。3.7 向量在解三角形中的应用例 7已知空间三点 A(1,2,3) ，B(2, 1,5)， C(3,2, 5) 试求(1) ABC的面积；( 2)三角形的 AB边上的高分析：我们可以先利用向量的矢量积求得平行四边形的面积，从而求得uuur uuuruuur uuur uuur而对于求解三角形的高，因为 CH 与 AB 垂直，所以 AB CH = ABCuuHurABC的面积。 通过计算可以10求得解：uuurCH即所要求的高1) S ABCSY ABCD2uuur uuurAB 1,3, 2 ， AC1 uuurAB22,0,uuurAC8所以24i

24、12 j 6kuuur uuur ijkAB AC 13 2uuur uuur 2 2 2从而 AB AC242 122 62 6 21所以 S ABC 3 21。2) uuur CH因为 ABC的AB边上的高 CH 即是YABCD的 AB边上的高，所以 uuur uuurABuuurAC 又因为 uAuBur12 （ 3）2 2214AB所以 CuuHuruuur uuurAB ACuuurAB6 2114对于求解面积的问题，利用向量的矢量积可以直接解决，而对于求解高的问题利用 等式 a b a b sin （a,b） ，在垂直的条件下得到夹角的正弦值为 1，从而可以快速求 得高的长度。4

25、向量在几何问题的研究中的作用向量和复数是存在着联系的。平面向量和复数都可以表示一个复平面上的点，但是 不同的是，向量还可以拓展到三维空间，这一点在与几何（尤其是立体几何）的解题过 程中的应用表现得更加突出。向量不仅仅在数学中具有举足轻重的地位，在物理学中， 我们也早就接触过向量的知识并且我们知道高中物理就对向量有着很高的要求， 向量区 别于我们以前学过的标量，它既具有大小（代数特点），又具有方向（几何特点），是 代数和几何相结合的产物，具有“数形结合”的特点。我们在学习中通过各种解题方法 的对比可以发现，利用向量，很多难题会迎刃而解。这实际上就是向量对抽象的几何问 题进行了简化的原因。与此同时，我们还知道，在中学数学课程中，几何一直占据着很 重要的地位，有时候，我们用常规的几何方法去解决一些复杂的题目时往往很难解决，11 甚至是找不出一点思路，在这个时候，我们就可以尝试着利用向量把形与数进行转化， 把一道抽象的几何题用代数的形式加以叙述，那么，思路就会很简单了。甚至，我们可 以利用向量的知识来证明一些命题或者定理，例如文中 3.6 的定理证明。在我们处理平面几何问题的时候， 向量有着它独特的优越性， 利用平面向量的知识， 不等式、三角、复数、物理、测