1.4_角平分线(2)三角形的内心可传

1、1.4 角平分线（2） 三角形的内心 济南市商河县殷巷中学徐效忠 已知：已知：AOB(如图如图) 求作：射线求作：射线OC，使，使AOC=BOC E D B O A 作法：作法： 1、在、在OA和和OB上分别分别截取上分别分别截取OD、OE，使，使OD=OE 2分别以分别以D、E为圆心，以大于为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，的长为半径作弧， 两弧在两弧在AOB内交于点内交于点C 3作射线作射线OC OC就是就是AOB的平分线的平分线 2 2 1 1 驶向胜利 的彼岸 角平分线的性质 w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. . 老师提示:这个结

2、论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一. w如图如图, , wOC C是是AAOB B的平分线的平分线,P,P是是 OC C上任意一点上任意一点 ,PD,PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是 D,E(D,E(已知已知) ) PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这 个角的两边距离相等个角的两边距离相等).). 回顾 思考 O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 角平分线性质定理的 逆定理逆定理 w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相且到角的两边距离相 等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .

3、w如图如图, , wPA=PB, PDPA=PB, PDOA,PEA,PEOB,B,垂足垂足 分别是分别是D,E(D,E(已知已知),), w点点P P在在AAOB B的平分线上的平分线上.(.(在一在一 个角的内部个角的内部, ,且到角的两边距离相且到角的两边距离相 等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).). 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? 回顾 思考 O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 亲历知识的发生和 发展 w剪一个三角形纸片通过折叠剪一个三角形纸片通过折叠 找出每

4、个角的平分线找出每个角的平分线. . 结论:三角形三个角的平三角形三个角的平 分线相交于一点分线相交于一点. . 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗? w观察这三条角平分线, 你发现了什么? 做一做做一做 驶向胜利 的彼岸 亲历知识的发生和 发展 利用尺规作出三角形利用尺规作出三角形 三条边的垂直平分线三条边的垂直平分线. . 结论:三角形三条边的垂直平 分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 做一做做一做 w再观察这三条垂直平分线,你 又发现了什么?与同伴交流. . 驶向胜利 的彼岸 思考分析 命题:三角形三个

5、角的平分线相交于一点. 已知：如图,设ABC的角平分线BM,CN相交 于点P, 求证：点P在BAC的平分线上 证明：过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足 分别是E,F,D. BM是ABC的角平分线,点P在BM上, ABC的三条角平分线相交于一点P. 咋证三条直线交于一点咋证三条直线交于一点 w基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到 的逆定理. A B C P M ND E F PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. PD=PF. 点P在BA

6、C的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 驶向胜利 的彼岸 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一 点到三边的距离相等. 如图,在ABC中, BM,CN,AH分别是ABC的三条 角平分线,且 PDAB,PEBC,PFAC(已知), BM,CN,AH相交于一点P,且 PD=PE=PF(三角形的三条角平分 线相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等). 老师提示老师提示: : 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一 这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心. . 几何的几何的三种语言三种语言 做一做做

7、一做 A B C P MND E F 例例1如图，在如图，在ABC中中AC=BC，C=90，AD 是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，垂足为，垂足为E (1)已知已知CD=4 cm，求，求AC的长；的长； (2)求证：求证：AB=AC+CD 用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成 D A B E C(1)解：解：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，C=90， DEABDE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角等边对等角) C=90，B= 90=45 BDE=9045=45 BE=DE(等角对等边等角对等边) 在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中 (勾股定理勾股定理

8、)， 2 2 1 1 c cm m2 24 42 2D DE EB BD D 2 2 2 24 4AC=BC=CD+BD=(4+ )cm 例例1如图，在如图，在ABC中中AC=BC，C=90，AD 是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，垂足为，垂足为E (1)已知已知CD=4 cm，求，求AC的长；的长； (2)求证：求证：AB=AC+CD 用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成 D A B E C (2)证明：由证明：由(1)的求解过程可知，的求解过程可知， RtACD RtAED(HL) AC=AE BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD 梦想成真 试一试试一试删删 1.

9、如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的 两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有 几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距 离为半径作圆,你能作出这个图形吗? A BC 老师提示: 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个. 回味无穷 w定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个 角的两边距离相等角的两边距离相等. . w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且且 到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在在 这个角的平分线上这个角的平分线上. . w定理:三角形的三条角平分线 相交于一

10、点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心). w三角形一个内角和与它不相 邻的两个外角的平分线交于 一点, 这个的点叫做三角形 的傍心.这样点有三个. 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 知识的升华 独立独立 作业作业 P9习题1.5 1,2,3题. 祝你成功！ 习题1.9 独立作业 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w1.已知:如图,C=900, B=300,AD是RtABC的 角平分线. w求证:BD=2CD. w老师期望: w你能写出规范的证明过程. A B C D 证明：C=900, B=300,AD是RtABC的角 平分线. DAC= BAD=300 AD=

11、2CD B= BAD=300 BD=AD=2CD 习题1.9 独立作业 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角 平分线相交于点F. w求证:点F在DAE的平分线上. 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. A B C F DE 如图：直线如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距 离相等，则可选择的地址有几处？离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共满足条件共4个个 P2 1 P l3 l 2 1 l C B A P3 P4 用心想一想，

12、马到功成用心想一想，马到功成 例例2已知：如图，已知：如图，P是是 AOB平分线上的一点，平分线上的一点，PCOA， PDOB，垂足分别为，垂足分别为C、D 求证：求证：(1)OC=OD； (2)OP是是CD的垂直平分线的垂直平分线 证明：证明：(1)P是是AOB角平分线上的一点，角平分线上的一点， PCOA，PDOB PC=PD 在在RtOPC和和RtOPD中，中， OP=OP，PC=PD， RtOPC RtOPD(HL) OC=OD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等) P D A E C O B (2)又又OP是是AOB的角的角 平分线，平分线， OP是是CD的垂直平分的垂直平分 线线(等腰三角形等腰三角形“三线三线 合一合一”定理定理) 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之