1.Matlab数值运算功能

1、Matlab与科学计算 Matlab数值与符号运算功能 数值计算功能 符号计算功能 Matlab与科学计算 数值计算功能 数字计算功能 向量运算功能 矩阵运算功能 数组逻辑运算功能 多项式运算功能 Matlab与科学计算 数字运算功能 Matlab是以矩阵为基本运算单元的，而构成 矩阵的基本单元是数字。 258369 ans 95202 x258369 x 95202 Matlab与科学计算 变量 （1）变量的命名：变量的名字必须以字母开头（不超 过19个字符），之后可以是字母、数字或下划线；变 量名区分字母的大小写；变量中不能包含有标点符号。 （2）一些特殊的变量 ans：用于结果的缺省变量

2、名 i、j：虚数单位 pi：圆周率 eps：计算机的最小数（相对精度） inf：无穷大 realmin：最小正实数 realmax：最大正实数 nan：不定量（not a number） （3）变量操作 在命令窗口中，同时存储着输入的命令和创建的所有变量值， 它们可以在任何需要的时候被调用。如要察看变量a的值，只 需要在命令窗口中输入变量的名称即可：a Matlab与科学计算 数值显示格式 任何MATLAB的语句的执行结果都可以在屏 幕上显示，同时赋值给指定的变量，没有指 定变量时，赋值给一个特殊的变量ans，数据 的显示格式由format命令控制。 format只是影响结果的显示，不影响其计

3、算 与存储；MATLAB总是以双字长浮点数（双 精度）来执行所有的运算。 Matlab的所有计 算都是通过双精度双精度进行的，在内存中的数都 是双精度的。double 是一个双精度浮点数， 每个存储的双精度数用64位。 Matlab与科学计算 如果结果为整数，则显示没有小数；如果结果不是整数， 则输出形式有： format (short)：短格式（5位定点数）99.1253 format long：长格式（15位定点数 ) 99.12345678900000 format short e：短格式e方式 9.9123e+001 format long e：长格式e方式 9.91234567890

4、0000e+001 format bank：2位十进制 99.12 format hex：十六进制格式 Matlab与科学计算 简单的数学运算 1、常用的数学运算符 ，*（乘），/（左除），（右除），（幂） 在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格；多条 命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开； 逗号告诉MATLAB显示结果，而分号则禁止结果显而分号则禁止结果显 示。示。 2、常用数学函数 abs,sin,cos,tan,asin,acos,atan,sqrt,exp,imag,real, sign, log,log10,conj（共扼复数）等 Matlab与科学计算 2.向量运算功能

5、1向量向量 向量是matlab中的一个基本单位，向量的每一 个元 素的运算包括 1）向量的创建； 2）向量的加减运算； 3）向量的乘除运算 Matlab与科学计算 向量的创建向量的创建 输入向量最直接的方法就是在命令窗口中输入，格式上需要向 量元素用“ ”括起来，元素之间可以用空格、逗号或分号分 隔。值得注意的是用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分 隔生成列向量。 在matlab的命令窗口键入以下字符 a = 1 2 3 4 5 6 9 8 7 a = 1 2 3 4 5 6 9 8 7 希望得到元素从0到20，步距为2的一个向量，只需键入以下命令即可 t = 0:2:20 t = 2 4 6

6、 8 10 12 14 16 18 20 Matlab与科学计算 线性等分向量的生成线性等分向量的生成 y=linspace(x1,x2) 生成(1*100)维的行向量，使得y(1)=x1,y(100)=x2 y=linspace(x1,x2,n) 生成(1*n)维的行向量，使得y(1)=x1,y(n)=x2 对数等分向量的生成对数等分向量的生成 y=logspace(x1,x2) 生成(1*50)维的对数等分向量，使得y(1)=10 x1,y(50)=10 x2 y=logspace(x1,x2,n) 生成(1*n)维的对数等分向量，使得y(1)=10 x1,y(n)=10 x2 例：a2=

7、logspace(1,5,6) a2= 1 10 100 1000 10000 100000 Matlab与科学计算 向量的加减运算向量的加减运算 设a,b为同维向量，则c=a+b 或c=a-b得到两个向量相加减的结果。 向量与常数的相加减为每个元素加减这个常数。例如： b = a + 2 得到 b = 3 4 5 6 7 8 11 10 9 c = a + b c = 4 6 8 10 12 14 20 18 16 Matlab与科学计算 向量的乘除运算向量的乘除运算 a. 向量的乘法运算向量的乘法运算 点乘运算的运算符为 .*， 其意义为两个向量的对应 元素进行乘法运算，例如 a=1 2,

8、 b=3 4 则c=a.*b=3 8 为向量的乘方运算，例如 c=a.2=1 4 b. 向量的除法运算向量的除法运算 Matlab与科学计算 点积、叉积和混合积 点积：两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积 a=1,2,3; b=3,4,5; dot(a,b) ans=(相当于sum(a.*b) 26 叉积：过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的 向量 c=cross(a,b) c= -2 4 -2 混合积： dot(a,cross(b,c) ans=24 Matlab与科学计算 矩阵运算功能 矩阵的生成 矩阵的基本数学运算 矩阵的基本函数运算 矩阵分解函数 特殊矩阵的生成 矩阵的一些特

9、殊操作 Matlab与科学计算 矩阵的生成 输入矩阵时每一行元素有分号或者回车键分隔。例如： B = 1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12 B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c=sin(pi/3),cos(pi/4); log(9),tanh(6) c= 0.8660 0.7071 2.1972 1.0000 Matlab与科学计算 矩阵下标 MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重 排子块的操作。 A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)：提取第n列元素 A(m,:)：提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)

10、：提取第m1行到第m2行和第n1列到 第n2列的所有元素（提取子块）。 A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排 列。 矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一 个数（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上 添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零。 消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵 ，则相当于消 除了相应的矩阵子块。 Matlab与科学计算 A(3,3) A(1,5) A(:,3) 代表矩阵的第三列 A(1: 5, :) 代表前5行所有元素组成的子矩阵 A( : ) 由矩阵直接生成列向量，先列后行 Matlab与科学计算 矩阵的大小 m,n=size

11、(A,x)：返回矩阵的行列数m与n，当x=1， 则只返回行数m，当x=2，则只返回列数n。 length(A)=max(size(A)：返回行数或列数的最大值。 a=1 2 3;3 4 5; m,n=size(a) m = 2 n = 3 length(a) ans = 3 max(size(a) ans = 3 Matlab与科学计算 矩阵的基本数学运算 B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）矩阵乘法：矩阵乘法： (1)矩阵转置运算矩阵转置运算： C = B C = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 D = B * C D = 30 70 11

12、0 70 174 278 110 278 446 要求B的列数等于 C的行数 Matlab与科学计算 3）矩阵点乘、加减法矩阵点乘、加减法 当两矩阵维数相同时，运算符.*的结果是两矩阵的对应 元素相乘，加减法相同。 E = 1 2;3 4; F = 2 3;4 5; G = E .* F G = 2 6 12 20 点运算是两个维数相同 矩阵对应元素之间的运 算，在有的教材中也定 义为数组运算。 Matlab与科学计算 ( 4）矩阵与常数间的运算矩阵与常数间的运算 常数与矩阵的运算即是同此矩阵各元素之间进行运算 数加是指矩阵每个元素都加上此常数 数减是指矩阵每个元素都乘以此常数 数乘是指矩阵每

13、个元素都与此数相乘 数除是指矩阵每个元素都除以此常数，因此常数 只能作为除数。 Matlab与科学计算 ( 5）矩阵的除法（左除矩阵的除法（左除“|”和右除和右除“/”） 右除右除要作矩阵的逆然后再作矩阵的乘法，通常速度较快 左除左除不需要计算逆，直接进行除运算，可以避免被除矩 阵奇异造成大的误差 解方程组：Ax=b， 其中A是(n*m)的矩阵 n=m且非奇异时，恰定方程 nm时，超定方程（拟合） n x,y=eig(a) x = -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094 y = -0.3723 0 0 5.3723 可以验证：A*V=V*D x,y=eigs(a) x =

14、 -0.4160 -0.8246 -0.9094 0.5658 y = 5.3723 0 0 -0.3723 跌代法求解 Matlab与科学计算 （2）奇异值函数（奇异值函数（svd或或svds） 求矩阵A的奇异值及分解矩阵，满足U*S*V=A，其中U、V矩 为正交矩阵（U*U=I），S矩阵为对角矩阵，它的对角元素即A矩阵的奇异 值。 例：a = 9 8 6 8 可以验证： u*u=I v*v=I u*s*v=a u,s,v=svd(a) u = 0.7705 -0.6375 0.6375 0.7705 s = 15.5765 0 0 1.5408 v = 0.6907 -0.7231 0.7

15、231 0.6907 Matlab与科学计算 （3）条件数函数条件数函数 cond: 计算矩阵条件数的值 condest: 计算矩阵一范数的条件数的值 recond: 计算矩阵条件数的倒数值 h=hilb(9); cond(h) ans = 4.9315e+011 特征值的条件数：特征值的条件数：condeig condest(h) ans = 1.0997e+012 recond(h) ans = 9.0938e-013 Matlab与科学计算 （4）范数函数范数函数 矩阵的范数是矩阵的一种量度，它分为1范数、 2范数、无穷大范数和F范数，最常用的是2范数，即 平方和范数。 normest(

16、x):计算矩阵的2范数 norm（x,p）：p的取值可以是1,2，inf或fro， 分别对x求相应的范数 Matlab与科学计算 （5）矩阵的秩函数矩阵的秩函数 h=hilb(9); rank(h) ans = 9 （6）矩阵的迹函数矩阵的迹函数 矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹 h=hilb(9); trace(h) ans = 2.0806 Matlab与科学计算 （7）矩阵的正交空间函数矩阵的正交空间函数 用来求矩阵的一组正交基：orth h=hilb(4); orth(h) ans = -0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0

17、.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146 Matlab与科学计算 （8）矩阵的伪逆函数矩阵的伪逆函数 求解系数矩阵严重“病态”的问题时，利用pinv可避免 “伪解”的产生。 a=magic(4); b=a*1 1 1 1; inv(a)*b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e- 017. ans = 0.5000 4.0000

18、 -2.0000 0 pinv(a)*b ans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Matlab与科学计算 （9）通用函数形式：通用函数形式： funm(A,funname) 上述函数形式在实际运算中是远远不够的，对常 用的其它函数形式的运算，如三角函数、双曲函数等， 需要一种能够使用这些通用函数进行计算的形式， matlab中通用函数的格式为funm(A,funname） 如：funm(b,log) = logm(b) funm(b,sqrt) = sqrtm(b) Matlab与科学计算 矩阵分解函数 （1）特征值分解和奇异值分解（略）特征值分解和奇异值分解（略）

19、 （2）lu分解（分解（三角分解） L,U=lu(A) 将A做对角线分解，使得A=L*U,其中L为下三角矩阵，U为上 三角矩阵。 注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上 是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对 角线元素为1）的乘积。 L1,U1,P=lu(A) 例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9 比较： l1,u1,p=lu(a) l,u=lu(a) 可以验证：u1=u，inv(p)*l1=l a=l*u p*a=l1*u1 Matlab与科学计算 （3）chol分解（分解（chollesky分解） 如果A是对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角 矩阵L

20、，使得ALLT，当限定L的对角元素为正时，这种分 解是唯一的，称为chollesky分解。 a=4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5; chol(a) ans = 2.0000 -0.5000 0.5000 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000 Matlab与科学计算 （4）QR分解分解 将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩 阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩 阵。 Q,R=qr(A) 例： a = 9 8 6 8 验证：norm(q)=1 a=q*r q,r=qr(a) q = -0.8321 -0.5547

21、 -0.5547 0.8321 r = -10.8167 -11.0940 0 2.2188 Matlab与科学计算 特殊矩阵的生成 一些常用的特殊矩阵 单位矩阵：eye(m,n); eye(m) 零矩阵：zeros(m,n); zeros(m) 一矩阵：ones(m,n); ones(m) 对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V) 随机矩阵：rand(m,n)产生一个m*n的均匀分别的随机 矩阵, randn(m,n)产生一个m*n的正态随机阵 注意：上述函数中的维数变量可用size(A)代替，表示 生成的矩阵与A矩阵同维。 Matlab与科学计算 eye(2,3)

22、ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3) ans= 0 0 0 0 0 0 ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 V=5 7 2; A=diag(V) A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2 eye(2) ans= 1 0 0 1 zeros(2) ans= 0 0 0 0 ones(2) ans= 1 1 1 1 如果已知A为方阵，则V=diag(A) 可以提取A的对角元素构成向量V。 Matlab与科学计算 空阵：空阵： matlab中定义为空阵，一个被定义为空阵的变 量具有以下性质 在matlab工作空间中确实存在被赋空阵的变量 空阵中不包含任何元素，它的

23、维数是0*0的 空阵可以在matlab的运算中传递 1.可以用clear从内存中清除空阵变量 Matlab与科学计算 a=1:18; a=reshape(a,3,6) a = 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 a1=a(:,1 3 4 6) a1 = 1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 a(:,2 5)= a = 1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 变维函数 Matlab与科学计算 矩阵的一些特殊操作 变维变维 “：”或者函数“reshape” a=1:12; b=reshape(a,2,6

24、) b = 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 c=zeros(3,4); c(:)=a(:) c = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 Matlab与科学计算 (2) 变向变向 rot90(A):将A逆时针方向旋转90度 rot90(A,k):将A逆时针方向旋转90*k度,k可正可负 fliplr(X):将X左右翻转 flipud(X):将X上下翻转 flipdim(X,DIM):将X按第DIM维翻转 Matlab与科学计算 (3) 抽取抽取 diag(X,k)diag(X,k):抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K 为零即为抽 取主对角线，k为正值时

25、为上方第k条对角线，k为负值时为下方 第k条对角线。 diag(X)diag(X):即为diag(X,0),抽取主对角线元素向量 diag(v,k)diag(v,k):使得向量v为所得矩阵的第k条对角线元素 diag(v)diag(v): 使得v为矩阵的主对角线元素 tril(X)tril(X): 提取矩阵X的主下三角部分 tril(X,k)tril(X,k): 提取矩阵X的第k条对角线下面的部分（包括k对角线） triu(X)triu(X): 提取矩阵的主上三角部分 triu(X,k)triu(X,k): 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分（包括k对角线） Matlab与科学计算 a=pas

26、cal(4) a = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 v=diag(a) v = 1 2 6 20 v=diag(a,2) v = 1 4 v=diag(diag(a) v = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 6 0 0 0 0 20 a1=tril(a,-1) a1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 a1=tril(a,2) a1 = 1 1 1 0 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 Matlab与科学计算 (4) 抽取抽取 利用对矩阵标识块的赋值命令 X(m1:m2,n1:n2)=a, 其

27、中(m2-m1+1)必须等于a的行维数， (n2-n1+1)必须等于a的列维数。生成的(m2*n2)维的矩 阵X，除赋值子阵和已存在的元素外，其余元素都默认 为零。 利用小矩阵的组合来生成大矩阵 要严格注意矩阵大小的匹配。 Matlab与科学计算 建立多项式的伴随矩阵 v=1 2 6 20; a1=compan(v) a1 = -2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 方法一 a2=- v(2:4);eye(2),zeros(2,1) a2 = -2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 方法二 a3=-v(2:4); a3(2:3,1:2)=eye(2) a3 = -2 -6 -20 1

28、0 0 0 1 0 Matlab与科学计算 数组逻辑运算功能 基本逻辑关系运算 l在关系比较中，若比较双方为同维数组。其元素值由0和1组 成，当比较双方对应位置上的元素值满足比较关系时，对应 值为1，否则为0。 l当比较双方中一方为常数，另一方为数组时，则结果数组与 原数组同维，且其值为已知数组和常数的比较结果。 l“与”：当运算双方的对应元素均为非零时结果为1，否则 为0。 “或”：当运算双方的对应元素有一非零时结果为1， 否则为0。 “非”：当运算数组的对应位置的值为零时结果 为1，否则为0。 l在算术运算、比较运算和逻辑与、非、或运算中，他们的优 先级关系为：算术运算比较运算逻辑与、或、

29、非运算 Matlab与科学计算 符号运算符符号运算符功能功能函数名函数名 =等于eq =不等于ne 大于gt =大于等于ge 4:6;7:9; x=5; y=ones(3)*5; xa=x b=0 1 0;1 0 1;0 0 23; ab=a a(:,3)=zeros(5,1) a = 17 24 0 8 15 23 5 0 14 16 4 6 0 20 22 10 12 0 21 3 11 18 0 2 9 a1=all(a(:,1) a2=all(a3) a2 = 1 1 0 0 0 all=any(a(:,1)10) all = 1 a11=any(a10) a11 = 1 1 0 1

30、1 a=1:5; a=1./a a = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 f1=find(a) f1 = 1 2 3 4 5 f2=find(abs(a)0.4|abs(a) a=1 2 3 4; b=a; poly2sym(a) ans = x3+2*x2+3*x+4 poly2sym(b) ans = x3+2*x2+3*x+4 将多项式向量变成符号形式 Matlab与科学计算 特征多项式 l由特征多项式生成的多项式的首项系数一定是1 ln阶矩阵一般产生n阶多项式。 a=1 2 3;2 3 4;3 4 5; p1=poly(a) p1 = 1.0000

31、-9.0000 -6.0000 -0.0000 poly2sym(p1) ans = x3-9*x2-6*x-8399472/25353012 Matlab与科学计算 由根创建多项式 同样用poly函数，其实由矩阵直接创建也是把矩阵 的特征值作为多项式形成的方程的根 root=-5 -3+4i -3-4i; p=poly(root) p = 1 11 55 125 poly2sym(p) ans = x3+11*x2+55*x+125 Matlab与科学计算 多项式运算 求多项式的值 l输入变量值代入多项式计算时以数组为单元，此时的计 算函数为polyval. l输入变量值代入多项式计算时以矩

32、阵为单元，进行矩阵 式运算，此时的计算函数为polyval. p=1 11 55 155; b=1 1;1 1; polyval(p,b) ans = 222 222 222 222 polyvalm(p,b) ans = 236 81 81 236 z = polyval(1 0 0 0 1,2) z = 17 Matlab与科学计算 (2)求多项式的根 l直接调用求根函数roots，求解所有根 1.通过建立多项式的伴随矩阵再求其特征值得解 p=2 -5 6 -1 9; roots(p) ans = 1.6024 + 1.2709i 1.6024 - 1.2709i -0.3524 + 0.

33、9755i -0.3524 - 0.9755i compan(p) ans = 2.5000 -3.0000 0.5000 -4.5000 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 eig(ans) ans = 1.6024 + 1.2709i 1.6024 - 1.2709i -0.3524 + 0.9755i -0.3524 - 0.9755i Matlab与科学计算 多项式的乘除法运算(conv和deconv) 卷积函数（conv）和解卷函数(deconv) p=2 -5 6 -1 9; poly2sym(p) ans = 2*x4-5*x3+6*x2-x+9 d=3 -90 -18; poly2sym(d) ans = 3*x2-90*x-18 pd=conv(p,d) pd = 6 -195 432 -453 9 -792 -162 poly2sym(pd) ans = 6*x6-195*x5+432*x4- 453*x3+9*x2-792*x-162 p1=deconv(pd,d) p1 = 2 -5 6 -1 9 Matlab与科学计算 多项式加法 两个同阶多项式的相加，可用z=x+y。对于一般x和y不同维 数的情况，可用自定义的函数polyadd完成 functionpoly=polyadd(poly1,poly