1.6三角函数的应用

1、 1.6 三角函数模型三角函数模型 的简单应用的简单应用 三角函数可以作为描述现实世界三角函数可以作为描述现实世界 现象的数学模型现象的数学模型. 感受引入感受引入: 周期周期 如如:海水的潮汐现象海水的潮汐现象;物理学中的物理学中的:物体物体 的简谐运动、圆周运动、单摆运动、的简谐运动、圆周运动、单摆运动、 波的传播、交流电等都是由周期运动波的传播、交流电等都是由周期运动 产生的现象和问题，它们往往会与三产生的现象和问题，它们往往会与三 角函数产生联系。因此，三角函数在角函数产生联系。因此，三角函数在 实际问题中有着广泛的应用。实际问题中有着广泛的应用。 实际应用问题实际应用问题 审 题 （

2、设设） 分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化 构建数学模型构建数学模型 数学化 （列列） 寻找解题思路 （解解） 解答数学问题解答数学问题 还原 （答答） 解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程 知识回顾知识回顾: （1 1）求这一时段的最大温差；）求这一时段的最大温差； （2 2）写出这段曲线的函数解析式）写出这段曲线的函数解析式. . T/度 t/h o 61014 10 20 30 解解：（：（1）观察图象可知，观察图象可知， 这段时间的最大温差这段时间的最大温差 是是20C。 例例1.如图，某地一天从如图，某地一天从6时到时到14时的温度变化时的温度变化 曲线近似满足函数曲线

3、近似满足函数sin(),0yAxb （2）从图中可以看出，从）从图中可以看出，从6时到时到14时的图象是函时的图象是函 数数 的半个周期的图象，所以的半个周期的图象，所以 1 (30 10)20, 2 b 1 2 14 6 82 因为点（因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故）是五点法作图中的第四点，故 33 6, 248 解解得得 所求函数解析式为所求函数解析式为 3 10sin() 206,14 84 yxx ， 1 (30 10)10, 2 A T/度 t/h o 61014 10 20 30 sin()yAxb 小结：小结： Aff mma ax xmmi in n 1 1 =

4、=x x- -x x 2 2 bff maxminmaxmin 1 1 x+xx+x 2 2 ;T 利利用用求求得得 2 2 = =， 利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图象象上上 该点点的的坐坐标满足足函函数解解析析式式可可求求得得 , , 一般的，所求出的函数模型只能近似刻一般的，所求出的函数模型只能近似刻 画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当 特别注意自变量的变化范围特别注意自变量的变化范围. 也可以利用函数的零值点来求也可以利用函数的零值点来求 练习：由图象求解析式练习：由图象求解析式 sin(),0yAx 12 O 6 2 2 x y 2

5、)1( A 6124 )2( T 4 T 2 T 又又2 A ( 1 )2, 2 A 点的坐标为点的坐标为 )2sin(2)3( xy 2sin(22) 12 1) 6 sin( Zkk ,2 26 Zkk ,2 3 3 0 时，时，当当k ) 3 2sin(2 xy 例例2: 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨海水受日月的引力，在一定的时候发生涨 落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船 坞；卸货后落潮时返回海洋坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港下面给出了某港

6、 口在某季节每天几个时刻的水深口在某季节每天几个时刻的水深. 时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间 的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值；的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值； 一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度(船底与水面的距离船底与水面的距离)为为4m， 安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙的安全间隙(船

7、底与海底的船底与海底的 距离距离)，该船何时能进入港口？，该船何时能进入港口？ 若船的吃水深度为若船的吃水深度为4m，安全间隙为，安全间隙为1.5m，该船，该船 在在2:00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水 域？域？ 解解:（1）以时间为横坐标，）以时间为横坐标， 水深为纵坐标，水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图，在直角坐标系中画出散点图， 根据图象，可以考虑用函数根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应来刻画水深与时间之间的对

8、应 关系关系. sin()yAxh 从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出： 由由 ，得，得 2 2 T T = = =1 12 2 = =. . 6 6 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似 描述为：描述为： yx = = 2 2 . .5 5 s si in n+5 5 6 6 2.5,5,12,0;AhT 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 令令 化简得化简得 （2 2）货船需要的安全水深为）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.54+1.5=5.5（米），（米）， 所以当所以当y5.5y5

9、.5时就可以进港时就可以进港. . 0.2x s si in n 6 6 x 2.5sin+5=5.52.5sin+5=5.5 6 6 由计算器计算可得由计算器计算可得 xx 0 0. .2 20 01 14 4, ,或或- - 0 0. .2 20 01 14 4 6 6 6 6 0.3848,5.6152 AB xx 0, 24x 因为因为 ，所以由函数周期性易得，所以由函数周期性易得 12 0.3848 12.3848, 12 5.6152 17.6152. C D x x 解得解得 因此，货船可以在凌晨因此，货船可以在凌晨 零时零时30分左右进港，早晨分左右进港，早晨 5时时30分左右

10、出港；或在分左右出港；或在 中午中午12时时30分左右进港，下午分左右进港，下午17时时30分左右出港，每分左右出港，每 次可以在港口停留次可以在港口停留5小时左右。小时左右。 （3）设在时刻）设在时刻x船舶的安全船舶的安全 水深为水深为y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2) (x22),在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出 这两个函数的图象，可以看这两个函数的图象，可以看 到在到在6时到时到7时之间两个函数时之间两个函数 图象有一个交点图象有一个交点. 通过计算可得在通过计算可得在6时的水深约为时的水深约为5米，米， 此时船舶的安全水深约为此时船舶的安全水深约为4.3米；米；6.5时的时的 水深约为水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为 4.1米；米；7时的水深约为时的水深约为3.8米，而船舶的安米，而船舶的安 全水深约为全水深约为4米，因此为了安全，船舶最米，因此为了安全，船舶最 好在好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深时之前停止卸货，将船舶驶向较深 的水域。的水域。 解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚: 实际问题实际问题 读懂问题读懂问题 抽象慨括抽象慨括 数学建模数学建模 推理推理 演算演