勾股定理的逆定理-习题训练(含答案)

1、22勾股定理的逆定理一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）a.三内角之比为 123 b.三边长的平方之比为 123c.三边长之比为 345 d.三内角之比为 3452.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 abcd，adbc，斜腰 dc 的长为 10 cm，d=120， 则该零件另一腰 ab 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 18 24图 1825图 18263. 如图 1825，以 abc 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 s 、s 、s ，且 s =4，s =8，1 2 3 1 2则 ab 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 abcd

2、的边长为 4，e 为 ab 中点，f 为 ad 上的一点，且 af= 判断 efc 的形状.14ad，试5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中a 与bdc 都应为直角，工人师傅量得零件各边 尺寸：ad=4，ab=3,bd=5，dc=12 , bc=13，这个零件符合要求吗？图 18276.已 abc 的三边分别为 k 1，2k，k +1（k1），求证 abc 是直角三角形.2222242222422222222222二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 abc 的三 边长 a b c 的三边长分别是 2a、2b、2c，那 a b c 是直角三角1 1 1 1 1 1形吗？为什么？

3、8.已知：如图 1828， abc 中，cd 是 ab 边上的高，且 cd =adbd. 求证 abc 是直角三角形.图 18289.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 a、b 的坐标分别为 a（3，1），b（2，4） oab 是 直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 182910.阅读下列解题过程：已知 a、b、c abc 的三边，且满足 a cbc =ab4，试判 abc 的形状.解：a cbc =a4b，(a)c(a b )=(a +b2)(ab)，(b)c =a+b，（c)abc 是直角三角形.问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_； 错误的原因

4、是 _；本题的正确结论是_.11.已知： abc 中，a、b、c 的对边分别是 a、b、c，满足 a +b2+c+338=10a+24b+26c.试判断 abc 的形状.222212.已知：如图 18210，四边形 abcd，adbc，ab=4，bc=6，cd=5，ad=3. 求：四边形 abcd 的面积.图 18210参考答案一、基础 巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的 平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 a 得有一个角是直角；b、c 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 d.答案：d2.解：过 d 点作 deab

5、交 bc 于 e,则 dec 是直角三角形.四边形 abed 是矩形，ab=de.d=120，cde=30.又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，ce=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，de=102-52=5 3cm.10 2 -5 2 =5 3ab=cm.3. 思路分析： 因为abc 是 ，所以 bc s = 12 =2 3ab=.3+ac=ab, 即 s +s =s ，所以 s =12，因为 s =ab1 2 3 3 3, 所以答案：2 32 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22222 2 2 222 2 2 22 22 2 22222222242222222

6、 2 2 2 2222 24.思路分析：分别计算 ef、ce、cf 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：e 为 ab 中点，be=2.ce =be +bc =2 +4 =20.同理可求得,ef =ae +af =2 +1 =5,cf =df +cd =3 +4 =25.ce+ef=cf,efc 是以cef 为直角的直角三角形.5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 adb 和dbc 是否为直角三角形即可，这样勾股定 理的逆定理就可派上用场了.解：在abd 中，ab +ad =3 +4 =9+16=25=bd ，所以abd 为直角三角形，a =90.在bdc 中,bd +dc

7、=5 +12 =25+144=169=13 =bc .所以bdc 是直角三角形，cdb =90.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k +1k 1,k +12k=(k1) 0,即 k +12k，k +1 是最长边.(k1) +(2k )=k42k+1+4k =k+2k2+1=(k+1)2,abc 是直角三角形.三、综合 应用7. 思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.7. 思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：ac=ad+cd，bc=cd+

8、bd2，ac +bc =ad +2cd +bd =ad +2adbd+bd=（ad+bd） =ab .22222 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2222222222222abc 是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 oa、ab、ob 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 oab 是否是直角三角形即可.解： oa =oa+a a1 1=3 +12=10,ob =ob +b b =2 +4 =20,1 1ab =ac +bc =1 +3 =10,oa +ab =o b .oab 是以 ob 为斜边的等腰直角三角形 .10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，

9、特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可 能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(b) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时abc 是等腰三角形； abc 是等腰三角形或 直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用 勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a10a+25+b24b+144+c 26c+169=0,配方并化简得,(a5) +(b12) +(c13) =0.(a5) 0,(b12) 0,(c13) 0. a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a +b=169=c,abc 是直角三角形.12.思路分析：（1）作 deab，连结 bd，则可以证 abdedb（asa）；(2)de=ab=4，be=ad=3，ec=eb =3；(3) dec 中，3、4、5 为勾股数 dec 为直角三角形， debc；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 deab，连结 bd，则可以证 abdedb（asa）,de=ab=4，be=ad=3.2 2 2 222 2 2 22 bda dbc四边abcd形 bda dbcbc=6,ec=e