行列式解法技巧论文完整版

1、1行列式的基本理论1.1行列式定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不 同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有 关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负这一定义可以写成2a11a12Ka1na21a22La2nMMMML jnan1an2Lannjlj2L jnjlj2L jnai jia2j2 L anjn ,这里表示对所有n级排列求和.1.2行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变;a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2an1an2anna1na2nann2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号;a1

2、1ai2alna11ai2alnai1ai2ainak1ak2aknakiak2aknaiiai2aina n1an2annan1an2ann3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;a11ai2ainaiiai2ainkaiikai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2ann4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零;a11ai2aiiai2kai1kai2anian2ainaiiai2ai nainaiiai2ainkkainaiiai2aina nnanian2a nn5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和aiia

3、i2ainanai2ai naiiai2ainb cib2 C2bnCnbb2bnCiC2Cnanian2annanian2annanian 2ann6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零1.3基本理论17A B2.降阶定理cd ADCA 1B1 .ai1 Aj1ai2 Aj2T Qi ：其中A,为元素引代数余子式。3.aii0a2200aii0a2ia22anian 2ai na2nann00annai1 a22ann （- 上三角行列式）aiia22ann （下三角行列式）AC4. AB AB5.非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块

4、 行列式与原来相等。1.4几种特殊行列式的结果1. 三角行列式2. 对角行列式aii00a22000&11&22annann3. 对称与反对称行列式ana12a1nDa21a22a2n满足 a, a,i(i 1,2 n, j 1,2 n) , D 称为对an1an2ann称行列式0a12a13a1na210a 23a2nDa31a320a3n满足 ajaji (i, j 1,2 n)，D 称为反an1an2an30对称行列式。若阶数n为奇数时,则D=01111aa2a3an4. Dn2a12a22a32 an(ai aj)1 j i nn 1n 1n 1n 1a1a2a3an2行列式的计算技巧

5、2.1定义法a21a22a23a24a25例1 ：计算行列式D解：由行列式定义知Dji0 a12a1300a31a32a33a34a350&42&43000a52a5300()1 jn)a1j1 a2j2anjn ,且 a11a14a15jn以D的非零项j,只能取2或3,同理由a41a44 a45 a14a550，因而J4j5只能取2或3,又因j1 j5要求各不相同，故aj1aj2 a5项中至少有一个必须取零，所以D=02.2化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素 为零，首先将第一行（或第一列）与其它任一行（或列）交换，使第一行 第一个元素不为零，然后把第一

6、行分别乘以适当数加到其它各行， 使 第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形 行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。abb b a b 例2计算行列式Dn b b ab b bbbbaDna (n 1)b ba (na1)ba (nbbba1 000b a b00a (n1)bb 0a b0b 00a ba (n 1)b (a b)n 111111)bbbbaa (n 1)bbbabbbba解：各行加到第一行中去例3计算行列式1 232 3 4D 3 4 5n 12n 1nn112n 2 n 1解：从倒数

7、第二行(-1)倍加到第n行1231111111 1 n 1n1 n1 将所有列加到第一列上n(n 1)200n1n11 n11111 11nn(n 1)n 0n(n 1)( n 12n02nn11n(n 1)(1)2(1nn)n12n(n 1)第一行的（1）倍加各行上 u2.3两条线型行列式的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接 计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三 角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。a1bi

8、000a200例4计算n阶行列式D00an 1bn 1bn00an解按第1列展开得a2b200E0000as00a2b200Da1bn(1)n 1 0a3bs000an 1bn1000ar000bna1a2an1 n1b1b2 bn.2.4箭型行列式的计算对于形如的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为J | A 零。例5计算行列式Dn1cncn 12Dn 1Cn Gnn(n 1)11E!(12；对于形如项递推关系D2.5三对角行列式的计算的所谓三对角行列式，可直接展开得到两Dn 2，然后采用如下的一些方法求解。方

9、法1如果n比较小，则直接递推计算方法2用第二数学归纳法证明：即验证n=1时结论成立，设n k 时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的 结论成立方法 3 将 Dn Dn 1 Dn 2变形为 Dn pDn 1 q（Dn 1 pDn 2），其 中p q , pq由韦达定理知p和q是一元二次方程x2 x 0的两个根。确定p和q后，令f x Dn pDn 1，则利用 f n qf n 1递推求出f n，再由Dn pDn 1 f n递推求出Dn。方法4设Dn xn，代入Dn Dn 1 Dn 20得X“ X 0 （称之为特征方程），求出其根花和X2 （假设洛X2），则Dn灯；k2X

10、；， 这里k1， k2可通过n=1和n=2来确定。000100例6计算行列式Dn01000000001解：将行列式按第n展开，有Dn()Dn 1D n2 ,DnDn 1(Dn 1Dn 2),DnDn 1(Dn 1Dn 2),得Dn2Dn 1(D n2Dn3 )n 2(D2D1)n同理，得D nD n 1n(n 1) n所以Dn2.6利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行（或 列）元素方幕递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值11X11x2122X1X1X2X2n-1n 2n-1n 2X1X1x2x2例7计算行列式D1

11、Xn12XnXnn-1n 2XnXn1Xn2XnMn 1Xn(Xi Xj).n i j 12.7 Hessenberg型行列式的计算解：把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此推直到把新的第n 1行的-1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1 1LX1X2L2 2为x2LM Mn 1 n 1X1X2 L对于形如的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。例8计算行列式D解：将第1, 2n-1列加到第n列,n(n 1)Dn(nn2)1(nn2)1(n 1)n(n2?( 1)1 n(nn2)11)n(n 1)!22.8降阶法将行列式的展

12、开定理与行列式性质结合使用,即先利用性质将行列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展 开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果(a b)(a e)(a d )(b e)(b d )(e d )(a b e d)1111 abed2. 22. 2abed4. 44. 4abed左边1000bac ad aabacad a,222 2 2 22.22 22.2 2bac ad aaba cad a八22、八22、z 22、， 2 2、z . 22 x z .2 2、4.4444.44(ba)(b a )(ca )(c a )(da )(d

13、 a )aba cad a111(ba)(ca)(da)b ac aa d(b2a2)(a b)(c2a2)(c a)(a2d2)(d a)(ba)(ca)(da)(db)(c2bc1b2)a(cb) (abd1b2)a(bd)(ab)(ac)(ad)(bc)(b d)(cd)(ac d)例9计算行列式aia20ai ana2,其中n2,aii 1anaian a2解:2a12a2a?a?a?a1an2anana1ana2a2an2a12a2a111a211011101a1a2an2 an a n 1Dn2a12a22an 101 0 0 10 12a11a1an2a21a112anan 11

14、(2)n ai 11 n21 n2 aj2 j 11 n 12ak2 k 11卫2n(2)n 2ai (n 2)2i 1j,k 1aj ak2.9加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式,如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为1,0,.0T并适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便,且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法例10计算n阶行列式xa1a1a1a2x a2a2a3a3x a3ananana1a2解：Dn 12.10计算行riA(i2,n1)a3111a1x0a20x

15、anan00an和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加19到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简21例11计算n阶行列式Dn1 11 11 00 11 00 11 11 1解:DnCnCi(i 1,2 n 1)1 11 11 00 1rin (i 2,3 n)100110101n10n11n11n11 n100000n(n 1)(1) 2 ( 1)(n1)(n 1)(n 2)(n 1)(1)2 (n 1)以下不作要求2.11相邻行（列）元素差 1的行列式计算以数字1, 2,n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素 差1的n阶行列式可以如下计算：自第1行（列

16、）开始，前行（列） 减去后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列）， 即可出现大量元素为1或一1的行列式，再进一步化简即出现大量的 零兀素。对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的一k倍，或后行（列）减去前行（列）的一k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素例12计算n阶行列式d1n 1an 2aa1n 1 a2aa1aan aDJar(i1,2 n 1)na003 a2 a4 a3 a(1 a)n1342.12线性因子法例13计算行列式(1)0xyz1 x111x0zy11 x11yz0x111 z1zyx01111 zy解：(1 )由各列加上

17、第一列可见，行列式D可被xz整除。第二列加到第一列，并减去第三、四列可见,D可被yx整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见,z整除。最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见,D可被x y z整除。我们把x,y,z视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D可被它们的乘积(x y z)(y z x)(x y z)(x y z)整除 此乘积中含有一项：z4，而D中含有一项：(1)c4z4 z4所以 D (x y z)(y z x)(x y z)(x y z)444222222x y z 2x y 2x z 2y z(2)将行列式D的前两行和两列分别对换，得1x11111

18、x11D11 1 z 1111 1 z如果以X代替x，又得原来形式的行列式。因此，如果D含有因 式X，必含有因式x，由于当x 0时，D有两列相同，故D确有因式 x，从而D含有因式x2。同理D又含有因式z2，而D的展开式中有一 项：x2z2，从而 D x2z2111例14计算行列式：Dn11 x111(n 1) x解：由n阶行列式定义知，Dn的展开式是关于x的首项系数为(1)n 1 的(n 1)次多项式 Dn(x),当 x k(k 0,1,2 n 2)时，D.(k) 0,因此n 2Dn(x)有n 1个互异根0, 1、2n 2由因式定理得(x k) | Dn(x)k 0n 2故 Dn ( 1)n

19、1(x k)k 02.13辅助行列式法办佝)的)例15计算行列式 Dnfn(ajfn(an)其中fi (x)(i 1, n)为次数W n 2的数域F上多项式a.为F中任意n个数。解：若a1务中有两个数相等，则Dn 0 若a1 an互异，则每个n阶行列式G(x)fl(X)fi( 2)的)是 fi(x), f2(x)fn(X)fn(X)仁)fn(an)的线性组合，据题fi(x)的次数W2(i1 n)因而G(x)的次数Wn 2,但Gd)G(an)0,这说明G(x)至少有(n1)个不同的根，故G(x)0,所以 G(ai)Dn(x)02.14 n阶循环行列式算法例16计算行列式Dn其中abc0.b c解

20、 :设 f(x) a b(x0的n个根为Xi (i1 n)侧 Dnf (Xi)由 f (x)nb(x-X1X)f (xjc bbXi(aXi 1b)Xj(cXi 1a)利用关系式XiXiXjXi1Xi2Xi,n 10Xn ( 1)1cbnn (a b)Xjni 1(C a)Xi 1(a b)Xi (c a)i 1n(x 1)i 1c(a b)n b(a c)nc b(1)n1f(a b)n (c a)nb(i)niC( i)nb例17设fj（x）,（i,j1,2,n）都是x的可微函数fn(x)f12（X）fm (X)证明：df21 (x)f22（X）f2n(x)dxfn1 (x)fn2（X）f

21、nn (X)fn(x)f 1n (X)nd rd rfi1(x)丁 f in ( x)1dxdxfn1（X）fnn(x)j1 j2(1)n（弟2)djndxf1j1(x)f2j2(x)fnjn(x)(f1j1(X)f2j2(X)dn 1jn 1(x)(丁 fnjn (x)dxj1 j2(1)n（j2(f f1j1 (x) f2j2(x)jn)dxfnjn(x)(1)(j1j2j1 j2 jnjn)df“1(x) fn 1 jn 1dx证明:fn(x)f12（X）f1n(x)df21（X）f22（X）f2n(x)(1)dxdX j1 jnfn1（X）fn2（X）fnn(x)(j1j2 jn) f

22、1j1(X)f2j2(X)fnjn(x)-Jj1 j2ff1j1(x)f2j2(x)fnjn(x)dddfn(x) f12(X) fm(X)fn(x)f12（X）f1n(x)dxdxdxdddf21（X）f22（X）f2n(x)f21 (X)f22(X)f2nn(x)dxdxdxfn1（X）fn2（X）f nn (x)fn1（X）fn2（X）fnn ( X)fn(x)f12(X)fin (X)fii(x)fl2（X）fin (X)f21（X）f22（X）fn 1,2(X) d 一.fn 1,1 (X)dfn1 (X)fn2(X)dxdxf2n (X)fn 1,n(x) d丁 f nn (x)d

23、xdtfi1(x)fin (X)fni(x)fn2 (X)fnn (x)2.15有关矩阵的行列式计算例18设A与B为同阶方阵:证明:证明:例19(1证明:例20证明:证明:/. 21nABBAA B0A B A BBABA BA BB A设A为n阶可逆方阵,AA1(n 1)(n 1)01A 1A1a)AA(1 A1 )、 为两个n维列向量，则若n阶方阵A与B且第j列不同2勺na1b1a1b12 * a2b2 2*2 * a2 2 *2 * b2 2 *anbnanbnABA Ba1b12 n 1* *2* 1* *anbn2n 1( A B)2.16用构造法解行列式例 21 设 f(x)(a1

24、 x)(a2x)(a x),a证明：Da1bba2ba f(b) bf(a)a3证明：构造出多项式:D(x)a1bba2ba3a1bbaa1ba20a3a1bba1bba2a1b0a3a1bba2a1b0a3a1bba1a a1 aa1aa3ba2ax1 a2 b a bb b a310a3bDxD1D(x)a,D( a)b,D( b)a1bb(a)aaa2b0(a)a00a3(aia)a)(a3 a) D aD1f(a)a100aa2aaa3(aib)(a2b)(a3b)D bD1 f(b)af(b)bf (a)2.17a b利用拉普拉斯展开例22证明：n级行列式0an0an 10an 2x

25、a2a1x证明：利用拉普拉斯展开定理，按第n行展开有:10000x0000x100001000/八n 2(1)an 10001000010000x1000x1n1aDn ( 1)0以上等式右端的n1级行列式均为“三角形行列式”。x1000x10000x1000x100(1)n (n2)a2(1)n(n1)(a1 x)000x0000x000010000x(八n 1/1) an(1)n1(1)nan 1 (1) x(1)n(n2)a2( 1)xn2 (1)n(n 1)(a1x)2n2r1 1nanan 1Xan 2xa?xaxxn 1 X计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几

26、种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特 点，灵活选用方法。3用多种方法解题F面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。例23计算：Dn法1:将第2,3,，n行都加到第1行上去，得x (n 1)ax (n 1)ax (n 1)a111axaaxaDnaaax (n 1)aaaaaaxaax再将第一行通乘a，然后分别加到第2,3，,n行上，得1110x a0Dnx (n 1)a000(x a)n 1x (n 1)a00x a法2:将2,3，,n行分别减去第1行得x a aa x x a 0 Dn a x 0 x aa00x aax 00便有Dnx (n 1)a a a0 x a 000 x a0 0 0a00x ax (n 1)a(x a)n 1法3：将Dn添加一行及一列，构成(n 1)阶行列式1aa0xa