一元二次方程地概念及其解法

1、一元二次方程的概念及解法和讲义知识点一：一元二次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就 是一元二次方程。一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0)四个特点：(1) 只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2;(3) 是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为ax2 bx0(a = 0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4) 将方程化为一般形式：ax2 bx，c = 0时，应满足(aM 0)例 1:下列方程 x2+1=0; 2y(3y-5)=6y 2+4;ax2+bx+c=0 ;丄5x

2、3 = 0,x其中是一元二次方程的有 。Iy 2变式：方程：2x2 -一 =12x2 -5xy y07x2 T = 0丄=0中一元 3x2二次程的是。例2: 元二次方程(1 3x)(3) -2x2 1化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。变式1 : 一元二次方程3 ( x 2 ) 2 = 5x 1的一般形式 是，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。变式2:有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为1, 一次项的系数 为3，常数项为一6，请你写出它的一般形式 。例3：在关于x的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中：当m=时它是一元二次方程；当m

3、=时它是一元一次方程。变式1:已知关于x的方程(m+1)x2 mx+仁0它是()A.兀二次方程B.兀一次方程C一元一次方程或一元二次方程D .以上答案都不对2变式2:当m时，关于x的方程(m-3)xmJ-x=5是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解(1) 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。(2) 应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】1. 已知x =2是一兀二次方程x4. 关于x的一元二次方程a -2 x2 x a2 -4 = 0的一个根为0,则a的值为。5. 已知关于x的一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的系数满足a - b c = 0 ,则此方程必有一

4、根为。【举一反三】 已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，贝U实数k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -2 若 nf-5m+2=0 ,贝U 2m2-10m+2016=。 若关于x的方程（a+3） x2-2x+a 2-9=0有一个根为0，贝U a= 一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是 4、 方程X -1=0的根是o5、用直接开平方法解下列方程： mx0的一个解，贝U m的值是（）A. -3B. 3C. 0D. 0 或 32. 已知2y2 y3的值为2,则4y2 2y 1的值为。3. 若x=a是方程x2-x-2015=0 的根，贝U代数 式

5、2a2-2a-2015 值为。（2）形如 mx n = p p丄o的方程的解为x=一-。m形如m x a丨亠n =0的方程可先化成x-a 2 =-的形式，再用直接开 m平方法解。【例题讲解】1、方程（x-2）2=9的解是（）A. Xi=5, X2=-1 B . Xi=-5, X2=1 C . Xi=11, X2=-7 D . xi=-11 , x=2、 若方程x2=mB解是有理数，贝U实数 m不能取下列四个数中的（）11A. 1B . 4C . -D423、对于形如x2二P的一元二次方程，能直接开平方的条件是2(3)9 x 25 二 0(4) 4 2X_1 2_36 = 0。.X1=3+2、2

6、 , x2=3-2 迈.X1=3+23 , X2=3-2X1=X2=3D . X1=3, X2=-3【同步训练】1、用直接开平方法解方程（x-3 ） 2=8,得方程的根为（）A. x=3+2、3BC. x=3-2 , 2D2、方程16（ =81（2） 3 m 24 (x-3 ) 2=0的根是()2A. x=3 B . x=0 C23、 方程（2x + 6）=900的根是。24、方程（t - 2）=169的根是。5、用直接开平方法解下列方程：2 1 2（1）（x-7）=0（2）2（y+1）=128(3) 4(3x-1)2-9=0(4) 4x216x 16 = 9:配方法配方法：将形如ax2 bx

7、 0（a = 0）的一类方程，化为（mx n）2 = p形 式求解的方法叫做配方法。一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2） 方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为（x m）2二n的形式；5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如 果右边是负数，则一元二次方程无解.【例题讲解】1、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A.（ x-1 ） 2=4 B .（x+1） 2=4 C .（x-1 ） 2=16 D . （x+1） 2=162、若一元二次方程式 x2-2x-3599=0的两根

8、为a、b,且ab,则2a-b之值为何? （ ）A. -57B.63C. 179D.1813、用适当的数填空：、x +6x+=(x+)2、x2-5x+=(x -)2；、x2+ x+=(x+)2、x2-9x+=(x -)4、将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_5、已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，贝U ab=,?所以方程的根6将x2-2x-4=0用配方法化成（x+a） 2=b的形式为为7、若x2+6x+nm是一个完全平方式，则 m的值是8、用配方法解下列方程：(1) x212x -15=02(2) x 8x = 92(3) 3x2-5x =21 2(4) x _4x -4

9、 = 0(5) x2 _4x _3 二 0(6) 2x2 -4 = 7x49、用配方法求解下列冋题(1）求2x2-7x+2的最小值；（2） 求 -3x2+5x+1 的最大值。【举一反三】1 把方程x+3=4x配方，得()A. ( x-2 ) 2=7 B . ( x+2) 2=21 C .(x-2 ) 2=1 D . ( x+2) 2=22.9用配方法解方程x +4x=10的根为（)A.2 .10 B . -2 .4 C .-2+ 0D . 2- . 03.用配方法解下列一元二次方程（1） x2 -4x = 962(2) x -4x - 5 = 0(3) 2x2 3x -0(4) 3x2 2x

10、- 7 = 0三：公式法(1) 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的 一般方法。b、c (bx+=+ 1 2a丿a 0丿由配方法得，化简:x 卫2a 丿 a 4a2/、22i b 4ac bx22 二a 4a 4ax bab2 -4ac4a2-x=土JI斗2a4a2x =2a2ab 士、: ；b2 -4ac2a元二次方程ax2 bx c = 0(a0)的求根公式:xb_b2-4ac22a-4ac _ 0)2ax2二-b - b2 - 4ac2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。【典型例题】例1 :一般地，

11、对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)，当b2-4ac 0时，它的根是，当b-4ac 0),求的值. y【举一反三】1. 用公式法解方程 x2=-8x-15，其中 b2-4ac=, xi=, X2=.2. 用公式法解方程4y2=12y+3,得到()八-3土拆口3士拆 q32运门-32亦A. y=B . y=C . y=D . y=2 2 2 23. 不解方程，判断所给方程：x2+3x+7=0;x2+4=0;x2+x-1=0中，有实数根的方程有()A. 0个B. 1个C . 2个D . 3个4. 用公式法解方程2 2 2 2(1)x +15x=-3x;(2)x+x-6=0;(3)3x-

12、6x-2=0;(4)4x-6x=0四：因式分解法因式分解法的步骤是：(1) 将方程右边化为0;(2) 将方程左边分解为两个一次因式的乘积：(3) 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它 们的解就是原一元二次方程的解.例题讲解： x2 + 12x = 0；(2)4x21= 0；(3) (x 2)2 2x 4 = 0 ;练习巩固：2 x 4x 21 = 0;23(x 1)( x + 3) = 12;(3)3 x + 2x 1= 0；(4)10 x2 x 3= 0;(5)( x 1)2 4(x 1) 21= 0.练习巩固用适当方法解下列方程2(1) x 4X+ 3= 0;(

13、2)(2x 2) = 256;2(3) x 3x + 1= 0;(4) x2 2x 3= 0;(5) (2 t + 3)2= 3(2t + 3);(6)(3 y)2+y2= 9;(7)7 2x2= 15(8) 2x2 2x30 = 0(9)2x2 8x= 7(10)5x2 (5 2 + 1)x + ,10 = 0；(11)(x + 5)2 2(x+ 5) 8 = 0.知识点四：判定根的情况（韦达定理）根的判别式及应用（ =b2 -4ac ） 0判定一元二次方程根的情况： 0,方程有两个不相等的实数根；二0,方程有两个相等的实数根； V 0,方程没有实数根.确定字母的值或取值范围：应用根的判别式

14、，其前提为二次项系数不为0.韦达定理：实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a和）存在实数解xi, X2,那bc么X1+X2=- , X1X2=.这是在初中时韦达定理的定义，但在高中时应用就更为aa广阔由代数基本定理可推得：任何一元 n次方程在复数集中必有根，因此，该 方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积形式，两端比较系数即得 韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用.一元二次方程ax2+bx+c= 0（a老）在有解的情况下，两个解为X1=_4ac ,2aX2= 4aC，通过计算得到结论 X1+X2=- , X1X2=-.2aaa例1、已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=

15、0(1) 方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2) 在(1)中当k取最大整数时，求所得方程的实数根2、已知关于x的方程kx2+-k x-2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.例2已知xi, xz是方程2x2+14x 16=0的两实数根，求x1的值. 为 X2练习：1.已知X1,X2是方程3x2+2x-1 =0的两个实数根，求x-|2 xf的值.2.设a, B是一兀二次方程x2+ 3x-7 = 0的两个实数根，求a + 4 a + 3的值.综合练习2 1、如果关于x的方程x+px+q= 0的两个根是xi,X2,那么xi+x2=-p,xi X2=q .请 根据以上结论，解决下列问题：

16、2(1)已知关于x的方程x +mx+n= 0 (n就)，求出一个一元二次方程，使它的两 根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知 a, b 满足 a2-15a-5=0, b2-15b-5=0,求 a b 的值; b a(3) 已知a, b, c均为实数，且a+b+c= 0, abc=16，求正数c的最小值.2、若 xi, X2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根，则有 xi+X2=-b , xiX2=-.aa这是一元二 次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题例如，已知xi, X2是方 程x2+6x-3=0的两根，求x/+X22的值.解法如下：/ Xi+X2=-6 , XiX2=-3 ,2222xi +X2 =(xi+X2)-2 xiX2= (-6 )-2 x( -3 ) =42.若Xi, X2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：2 2 1 1(1) Xi +X2 ； ；(xi-5)( X2-5); |Xi-X2|.5.若x=1是关于x的一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0 个根,求代数式 2007（a+b