线性代数期末复习提纲

1、线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用一一克拉默法则2、方阵的行列式3、 几个重要公式：（1 ）| A A ；（ 2） A* 占；（3）kA kn|A ；IA In .A0A*（4 A* |A ；（5）AB IAB ；（6）*B0BAB ；n八A，i jn 八A，i j（7）aij Aijc . ；（ 8）aij Aiji 10， i jj i0, i j（其中代B为n阶方阵，k为常数）4、 行列式的常见计算方法：（1 ）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2 ）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求

2、】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、 能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。3、会计算简单的n阶行列式。4、知道并会用克拉默法则。第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、 可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。3、n阶矩阵A可逆 A 0R（A） nAX 0只有零解AX b 有唯一解A的行（列）向量组线性无关A 的特征值全不为零。4、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。5、等价矩阵的定义、性质、判定。6、矩阵秩的概念及其求法（ （ 1）定义法； （ 2）初等变换法） 要求】1、了

3、解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量 b，向量组A:1, 2, n,向量组B :1, 2, , m ，则1）向量b可被向量组 A线性表示R（12n)R(n,b)2）向量组B可被向量组A线性表示R(1,2, n) R(12n

4、1m)3）向量组A与向量组B 等价的充分必要条件是：R(1,2, n)R(12m) R(m)- 5 -2、向量组的线性相关性判别向量组12s 的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（ 1）向量方程 k1 1 k2 2ks s 0只有零解 向量组 1, 2线性无关；(2)向量方程 k1 1 k2 2ks s 0 有非零解性相关。向量组 1, 2, s 线方法二：求向量组的秩R( 1, 2, , s )(1)秩 R( 1, 2, s) 小于个数 s 向量组 1, 2,s 线性相关(2)秩 R( 1, 2, s) 等于个数 s向量组 1, 2, s 线性无关。3、向量组的最大无关组的概念(与向量空

5、间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系) 及其求法。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其最大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分 线性方程组主要内容】1、齐次线性方程组Ax0 只有零解系数矩阵A的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组Ax0有非零解系数矩阵A的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组Axb无解增广矩阵 B(A,b) 的秩 系数矩阵

6、A的秩;4、非齐次线性方程组Axb 有解增广矩阵 B(A,b) 的秩 系数矩阵A的秩特别地，1 )增广矩阵B (A,b)的秩 系数矩阵A的秩 未知量个数n 非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解；2)增广矩阵B (A,b)的秩 系数矩阵A的秩 未知量个数n 非齐次线性方程组Ax b有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向

7、量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。(1)特征值求法：解方程 E A 0 ；(2)特征向量的求法：求方程组E A X 0的基础解系。5、相似矩阵的定义(P 1AP B )、性质(代B相似 R(A) R(B)、A B、AB有相同的特征值)。6、用正交变换法化二次型为标准形的步骤(1)写出二次型的矩阵 A.-11 -求出A的所有特征值(3)解方程组(iEA)X0( i 1,2, ,n)求对应于特征值1, 2, n的特征向量(4)若特征向量组n不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组n，记P ( 1, 2, n)，对二次型做正交变换 X Py

8、,即得二次型的标准形2 21% 222nyn7、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线 性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法,3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数练习题、单项选择题11、行列式402 03 8中，元素a22的代数余子式是1 210(B )1 0(C )10(D)1 0020 20

9、20 2(A)2 a2、二阶行列式b2的值为3 3(A) a b(B) ab(b a)(C) a3 b3(D) a2 b23、设行列式0，贝U k的取值为（(A) 2(B) - 2 或 3(D) - 3 或 2a1a2asC1C2C34、若行列式b2b3=1，则bib2bsC1C2Csa1a2as2（A）15、设 a.（B）d为常数，则下列等式成立的是(C) 0(D)1a b1ab（B）a b 1a 1b 1c d22a c 2bdc d 1C 1d 1b,c,(A)(C)2a 2b2a b（D）ab 1a 1b 12c2dc dcd 1C 1d 1aj6、设n阶行列式D =正确的是(A)na

10、 ij Aiji 1(C)na A ij ijj 17、设n，Aij是D中元素a ij的代数余子式，则下列各式中(B)(D)na A ij ijj 1nai1 Ai2i 1代B均为n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是(A) (AB)Tbtat(B)(AB)A 1B 1(C) AB BA(D)8、设A为3阶方阵，且行列式A则 2A(A)-8(B)-2(C) 2(D)89、设A,B为n阶方阵且满足AB(A) A O 或 BO(C) A0 或 B0(B) A(D) A10、设A,B为n阶可逆方阵，则下列各式必成立的是11、12、13、14、(A) (AB)T ATBT(B)ab Ab1(C) (A B)

11、设矩阵AA1，则2(D) A1AA*BA(A)02设行矩阵则abt(A)1(B)(C) (1,0,6)(D) 7a1 a2 a3dbg，且 ATB(B)-1(C)2F列命题正确的是(A)(B)(C)(D)(D)-2若矩阵代B满足AB O，若矩阵代B满足AB E，则有A O或B O则矩阵A,B都可逆。若A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则若A O，则A 0设代B为三阶矩阵，A 2,(A)4(B) 1(C) 16F列说法不正确的是(A)相似矩阵有相同的特征值。(B)n阶矩阵可对角化的充要条件是它有(C)An2(BA) 1n个不同的特征值。n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件是 R(A) n。(D

12、)正交的向量组一定是线性无关的。15、-13 -16、n维向量组s(3 s n)线性无关的充要条件是-16 -(A)存在一组不全为零的数佥出，ks使ki i k2 2 ks s 0(B)1,2 ,s中任意两个向量线性无关殳线性表出(C)1,2 ,s中存在一个向量可由其它向量(D)1,2 ,s中任何一个都不能由其它向量线性表出1132向量纟a 1132617、2,34的秩为151103142(A)1(B)2(C) 3(D) 418、设A,B均为n阶可逆矩阵，则分块矩阵0A的逆矩阵是B00A 1B 10(A)(B)B 100A 10B 1A 10(C)(D)A 100B 11 b1a 1T19、设

13、A,B30 ,且AB，则20 11 1(A)a 1,b 2(B)a3,b0(C)a 3,b 2(D)a1,b020、设A可逆，则XAB的解是(A)AB(B) BA(C)1 1A B(D) BA21、下列说法正确的是()。(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。(B) 设方阵A是非奇异性的，A经过初等行变换得到阶梯阵B，则方阵B为奇异的。(C) 初等矩阵都是可逆的。(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。22、设A，B都是可逆矩阵，则 AB的逆是(A) AB1 023、设 A 010 0(A) 3(B) BA00，贝U r(A)0(B) 2(C) A B(C) 1i 1(D)B A

14、(D) 0n 2,则AX 0的基础解系所含向量的个数为 (A)0(B)1(C)2(D) n25、二次型fx； 2x1x2 x；的矩阵是12 1112 01 1 0(A) 0彳(B)彳1 11 (C)010(D)1 1 000 00 0 024、设A是n阶方阵若R(A)二、填空题1.五阶行列式的展开式共有 项.12行列式 571240中元素a32的余子式M32=133四阶行列式0020的值是0 3 0 04 0 0 0234矩阵1 0中的元素c21 =5若A, B为n阶矩阵，则(A B)(A B) =6.设 A,B 为 3 阶方阵，且 A 4, B 2，贝U 2(B*A 1)1117.设矩阵A0

15、22，贝U AtA003a008设A0b0 ,则An00c9若A是可逆矩阵，则(A)丄120010.设矩阵A0100，则A00330021iA 011 设A , B是两个可逆矩阵，则分块矩阵0 B1k11“丄12 设矩阵A的秩R(A)11k1111kk 11113若向量组 1, 2, 3线性无关，且k1 110114.向量组 11 , 21,3101115.向量组 1(1,0, 1), 2(2,3,4), 33，则 k k2 2k3 30，则数 k1 , k2 , k31，42中不能由其余向量线性表示的是.1(1,0,0)的秩为16 在线性方程组 AX O中，若未知量的个数n=5, r(A)

16、3，则方程组的一般解中18 -自由未知量的个数为17.18.19.20.21 .22 .设4元线性方程组 AX b的系数矩阵的秩为 3,且123为其两个解,4则AX b的通解为设向量组aa2,a3线性无关，则向量组 aa, a2,a1性相关，线性无关)。设n元线性方程组 AX b有解，则当R(A)若3阶方阵A的特征值分别为已知n阶矩阵A的特征值a2a3(填线2,设向量组5T12 T线性相关，则23.若向量与向量24.已知三阶矩阵A的特征值为13,取P1，则时，AXb有无穷多解。-1，2,则 B An都不为零，则正交，则kE的特征值为1A的特征值为3T ,3 1 1 2 6T ,0, 21, 3

17、1，其对应的特征向量分别是P 1AP25.若方阵A与B5相似，则A的特征值为22226.若矩阵12312相似，则x427 若二次型 f(X“X2,X3)2x；x；2牧必2 2x3是正定的，则t应满足的条件320、计算题1 2 01、计算行列式241134121232、设A01 ，B，求 AB。012001013、已知XA1且A211，求矩阵X。1131 11 14、设 ABAxxt，其中X1 ,B111 11 1求矩阵A123155、求A24013的秩。123282 206、求方阵A2 12的特征值与特征向量。0 2011017、求向量组 11，22，31，43 ，的一个极大无关组。01128

18、、已知向量组1231T1,2,0,1T ,1,0,2,0,1,1,1T ,41,1,1,0T ,532,4,0 T，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。9、判断线性方程组X x2 x31X1 2X2 X3 3，当k为何值是有解?2x kx3227 -为2x3X4110、设线性方程组AXb的般解为，X3,X4为自由变量，x2 2x4求AX b的通解。11、设A为3X 4矩阵，R(A)2 ,若非齐次线性方程组Ax b的三个解分别为:1241151 = ,2 =3 =0132411求：（1 ）齐次线性方程组Ax0的通解；（2）非齐次线性方程组 Ax b的通解12、求一个正交变换 x Py，把下面的

19、二次型化为标准形2x1 3x23x34x2X3四、证明题1设A2 I , AA I，证明：A是对称矩阵。2.证明：若向量x是方阵A的同时属于特征值1与2的特征向量，则有123设1, 2是n阶方阵A的不同特征值， X1, X2分别是A的对应于1, 2的特征向量,证明：X1 X2不是A的特征向量.4证明：若矩阵B相似于A，则 E B线性代数模拟试题答案一、单项选择题1、A2、B3、B4、DA9、C10、B11、AB16、D17、C18 CD23、B24、C25、B5、B6、C7、A8、12、C13、B14、C15、19、C20、D21、C22、填空题1、5!2、 103、242 24、15、A A

20、B BA B1 1 17、1551 5 14Anan000bn000cn19、（A ）12 0 00110、00000132311、12、313、k1k2 k30114、3115、316、2111217、k（注:此题答案不唯一）13142,0,321、1 1 11 ,2 ,n124、125、2, 3,3018、线性无关19、小于 n20、22、223、526、1727、1 t 1三、计算题1、解:2、解：AB3、解:A 1存在，用A右乘方程XAI两边，得XA 110 1 100100411又21 1 010010521113 001001311411所以，A 152131111111 1 14

21、、解：XXT 111 1 =111及B1 1 111111 1 1111(B1E)存在，且(B E)111112111将已知等式AB A XXT整理得：A XXT(B E)1 1 1所以A-1 1 121 1 1123155、解：对矩阵A施行初等行变换得，A240131232812 3150 063130 0 000所以r(A) 21(3)(1)26、解：矩阵 A的特征多项式为：A E 2 524令A E 0,解得A的特征值为:3,1.3时，求解齐次线性方程组(A 3E)x 0的基础解系，由29 -得对应的方程组为x2x30X10，从而解得基础解系p1200100A 3E22201124400

22、0于是属于特征值1 3的全部特征向量为kp1，其中k为任意非零常数。所以，所求向量组的极大无关组为:当23 1时，求解齐次线性方程组 (A E)x 0的基础解系，由00012 1A E24200 024200 02 1得对应的方程组为* 2x2X305从而解得基础解系P21 , P300 1于是属于特征值23 1的全部特征向量为kp21P3，其中数k,l是不同时为零的任意常数。7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，11011 10 1(1,2,3,4 )12130 11 201120 00 01, 2。8、解：记矩阵 A ai a2 a3，对其进行初等变换得110131

23、1 0 130 2 11202 1 12A2011400 0 001110 000 0 01由最后一个矩阵可知 R(A) 3从而所求向量组的秩为3，1, 2, 5 列又因为非零行非零首兀所在的列依次为所以a1,a2, a5为其中一个极大无关组(a1 , a3 , a5 或a1,a4,a5 也对)11 1 19、解：已知方程组的增广矩阵为：A121320 k 21111111 1对A施行初等行变换得：A1213010 220 k 200k 2 4所以当k 20，即k 2时，方程组有解。Xi 2X3 X410、解：已知方程组对应的齐次线性方程组AX 0的一般解为X2 2X4(X3,X4为自由变量)令 X31, X40 得：i2102；令 X30,X41 得:2100131 -则1, 2为齐次方程组 AX 0的基础解系;00再令X3 X40，得非齐次方程组 AX b的特解：Xo0所以AXb的通解为：Xk1 1k2 2Xo 。11、解：（1）由已知条件可知,齐次方程组AX0含基础解系个数为