10.29梁的位移.叠加法

1、建筑力学 迟耀辉 2012.10.29 古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境 界：界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。” 此第一境也。此第一境也。“ 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔 悴。悴。” 此第二境也。此第二境也。“ 众里寻他千百众里寻他千百度，度，蓦然回首，蓦然回首， 那人却在，灯火阑珊处那人却在，灯火阑珊处。” 此第三境也。此等语皆此第三境也。此等语皆 非大词人不能道。然遽以此意解释诸词，恐为晏、非大词人不能道。然遽以此意解释诸词，恐为晏、 欧诸公所不许也。欧诸公所不许也

2、。 王国维（清）王国维（清） 王国维（王国维（1877187719271927），）， 字静安，一字伯隅，号观堂，浙字静安，一字伯隅，号观堂，浙 江海宁人。清秀才。早年研究哲江海宁人。清秀才。早年研究哲 学、文学，受德国唯心主义哲学学、文学，受德国唯心主义哲学 和资产阶级文艺思想影响。是我和资产阶级文艺思想影响。是我 国近代美学史上融中西美学为一国近代美学史上融中西美学为一 体的第一人。著有体的第一人。著有曲录曲录、 宋元戏曲考宋元戏曲考、人间词话人间词话 等美学作品。生平著有作品等美学作品。生平著有作品6262种，种， 以以观堂集林观堂集林最著名。最著名。 王国维王国维 槛菊愁烟兰泣露。槛菊

3、愁烟兰泣露。 罗幕轻寒，罗幕轻寒， 燕子双飞去燕子双飞去。 明月不谙离恨苦，明月不谙离恨苦， 斜光到晓穿朱户。斜光到晓穿朱户。 昨夜西风凋碧树。昨夜西风凋碧树。 独上高楼，独上高楼， 望尽天涯路。望尽天涯路。 欲寄彩笺兼尺素，欲寄彩笺兼尺素， 山长水阔知何处山长水阔知何处。 晏 殊 伫伫 倚倚 危危 楼楼 风风 细细 细细 。 望望 极极 春春 愁愁 ， 黯黯 黯黯 生生 天天 际际 。 草草 色色 烟烟 光光 残残 照照 里里 ， 无无 言言 谁谁 会会 凭凭 阑阑 意意 。 拟拟 把把 疏疏 狂狂 图图 一一 醉醉 。 对对 酒酒 当当 歌歌 ， 强强 乐乐 还还 无无 味味 。 衣衣 带

4、带 渐渐 宽宽 终终 不不 悔悔 ， 为为 伊伊 消消 得得 人人 憔憔 悴悴 。 柳 永： 梁启超评这首词梁启超评这首词“自怜幽独，伤心人别有怀抱自怜幽独，伤心人别有怀抱”。 辛辛 弃弃 疾疾 东风夜放花千东风夜放花千 树。更吹落，星如树。更吹落，星如 雨。宝马雕车香满雨。宝马雕车香满 路。凤箫声动，玉路。凤箫声动，玉 壶光转，一夜鱼龙壶光转，一夜鱼龙 舞。舞。 蛾儿雪柳黄蛾儿雪柳黄 金缕，笑语盈盈暗金缕，笑语盈盈暗 香去。众里寻他千香去。众里寻他千 百度，蓦然回首，百度，蓦然回首， 那人却在，灯火阑那人却在，灯火阑 珊处。珊处。 元夕：元宵节的夜上称元夕或元元夕：元宵节的夜上称元夕或元 夜

5、。夜。 花千树：花灯之多如千树开花。花千树：花灯之多如千树开花。 星如雨：指焰火纷纷，乱落如雨。星如雨：指焰火纷纷，乱落如雨。 宝马雕车：华美的车马。宝马雕车：华美的车马。 凤箫：箫的美称。凤箫：箫的美称。 玉壶：指月亮。玉壶：指月亮。 鱼龙舞：指舞鱼、龙灯。鱼龙舞：指舞鱼、龙灯。 蛾儿、雪柳、黄金缕：皆古代妇蛾儿、雪柳、黄金缕：皆古代妇 女的首饰。这里指盛妆的妇女。女的首饰。这里指盛妆的妇女。 盈盈：仪态美好的样子。盈盈：仪态美好的样子。 蓦然：突然，猛然。蓦然：突然，猛然。 阑珊：零落稀疏的样子。阑珊：零落稀疏的样子。 “昨夜西风凋碧树。独上昨夜西风凋碧树。独上 高楼，望尽天涯路。高楼，望

6、尽天涯路。” “衣带渐宽终不悔，为衣带渐宽终不悔，为 伊消得人憔悴。伊消得人憔悴。” “众里寻他千百度，蓦众里寻他千百度，蓦 然回首，那人却在，灯火阑然回首，那人却在，灯火阑 珊处。珊处。” 第十一章第十一章 梁和结构的位移梁和结构的位移 位移的度量位移的度量 1 梁的位移梁的位移-挠度及转角挠度及转角 挠度挠度 转角转角 挠曲线挠曲线 梁变形后各截面梁变形后各截面 形心的连线形心的连线 C l F A B C C A B B x y 挠度向下为正，挠度向下为正， 向上为负向上为负. 转角绕截面中性轴转角绕截面中性轴顺时针顺时针转为正，逆时针转为负。转为正，逆时针转为负。 2 2 梁的挠曲线近

7、似微分方程及积分梁的挠曲线近似微分方程及积分 Z EI xM)(1 3 2 2 2 )(1 1 dx d dx d Z EI xM dx d dx d )( )(1 3 2 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 梁挠曲线近似微分方程梁挠曲线近似微分方程 xo y M M xo y M M 2 2 0 d y dx 1 )( Cdx EI xM dx d Z 21 )( CxCdxdx EI xM Z Z EI xM dx d)( 2 2 C C A B B x y 在小变形情况下，在小变形情况下，任一截面任一截

8、面的转角等于的转角等于 挠曲线在该截面处的切线斜率。挠曲线在该截面处的切线斜率。 dx d tan 通过积分求弯曲位移的特征：通过积分求弯曲位移的特征： 1 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。 2 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其 挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。 3 3、积分常数由位移边界条件确定。、积分常数由位移边界条件确定。 积分常数积分常数C C1 1、C C2 2由

9、边界条件确定由边界条件确定 0 xLx 0 x 0 X y 0 X y 0 0 积分常数确定积分常数确定 F AB C F D 0, 0 BA 0, 0 DD 位移边界条件： 连续条件： 光滑条件： 右左 CC ? CC 例例3 由积分法求图示梁的由积分法求图示梁的A、 A。 F AB l 解：解：1、弯矩方程、弯矩方程 y x x FxxM)( 2、微分方程及积分、微分方程及积分 DCxx F EI Cx F EI FxEI 3 2 6 2 3、确定积分常数 3 , 0; 2 0, 32 Fl D Fl Clx 4、转角方程，挠度方程 5、最大转角和最大挠度 ? ? EI Fl EI Fl

10、A A 3 2 3 2 )23( 6 )( 2 323 22 lxlx EI F lx EI F 例例4 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角 方程及最大挠度和转角，方程及最大挠度和转角，EI为常数。为常数。 解：1、弯矩方程为： 2 22 )(x q x ql xM 代入微分方程并积分得 DCxqlx qx xEI Cqlx qx xEI 3 4 2 3 12 1 24 )( 4 1 6 )( y 2 22 x q x ql EI 代入边界条件：(0)=0, (l)=0 D=0 24 3 ql C 所以 )2( 24 )( )46( 24 )( 3

11、23 323 xlxl EI qx x xlxl EI q x EI ql EI ql BA 384 5 , 24 4 max 3 max 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 l A B x y x 2 2 1 xLqxM 2 2 1 xLqxMEI z 1 3 6 1 CxLqEIEI zz 21 4 24 1 CxCxLqEI z 边界条件边界条件 3 3 6 LxL EI q z 43 4 4 24 LxLxL EI q z Lx z B EI qL 6 3 z B EI qL 8 4 0 x0 0 x 0 qL C 6 3 1 qL C 24 4 2 xMEI 积分法求解梁位移的思路：积

12、分法求解梁位移的思路： 建立合适的坐标系；建立合适的坐标系； 求弯矩方程求弯矩方程M(x) ； 建立近似微分方程：建立近似微分方程： 用约束条件或连续条件，确定积分常数；用约束条件或连续条件，确定积分常数； 根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。 EI;EI 积分求积分求和和 梁在若干个载荷共同作用时的挠度梁在若干个载荷共同作用时的挠度 或转角，等于在各个载荷单独作用时的或转角，等于在各个载荷单独作用时的 挠度或转角的代数和。这就是挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲计算弯曲 变形的叠加原理变形的叠加原理。 11-3 11-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯

13、曲变形 11-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 叠加法计算位移的条件：叠加法计算位移的条件： 1 1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2 2、材料在线弹性范围内工作，梁的、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；位移与荷载呈线性关系； 3 3、梁上每个荷载引起的位移，不受、梁上每个荷载引起的位移，不受其其他荷载的影响他荷载的影响。 2l F B A q C 2l z EI 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨 中截面挠度c和梁端截面的转角AB. 2l B A q C 2l z EI 2l F B A C 2

14、l z EI Fcqcc z qc EI qL 384 5 4 z Fc EI FL 48 3 zz c EI FL EI qL 48384 5 34 FAqAA z qA EI qL 24 3 z FA EI FL 16 2 zz A EI FL EI qL 1624 23 B 例例7 7 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示， q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面 的挠度的挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B 1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解 321CCCC wwww 321BBBB wC1 wC2 wC3 2 2）查表得）查表得3

15、 3种情形下种情形下C C截面的截面的 挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI ql B 3 3 3 EI ql wC 384 5 4 1 EI ql wC 48 4 2 EI ql wC 16 4 3 解解 11-3 11-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 wC1 wC2 wC3 3 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和作用时的结果求和 )( 384 11 1648384 5 4 4443 1 EI ql EI ql EI ql EI ql ww i CiC )( 48 11 3162

16、4 3 3333 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB 11-3 11-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 11.311.3 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 例例8 8 图示悬臂梁，其弯曲刚度图示悬臂梁，其弯曲刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。 F B A 2/ l2/ l q C BF wBF F B A wCq wBq B A q C 1.在在F作用下：作用下： EI Fl w EI Fl BFBF 3 , 2 32 查表： 2.在在q作用下：作用下： EI ql EI lq w EI ql EI lq Cq Cq 1288

17、 )2/( 486 )2/( 44 33 查表： BqBFB BqBFB www 3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下： 目录 EI qll w EI ql CqCqBq CqBq 384 7 2 48 4 3 w 11-4 单位荷载法单位荷载法 11-4-1 外力的功外力的功 v11-4-1 外力的功外力的功 一、基本概念一、基本概念 1、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路 程的长短有关。程的长短有关。 dsdsPCOSPdTT SS ),( 或： dsPT 2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点、

18、实功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点 移动路线的形状、路程的长短有关。移动路线的形状、路程的长短有关。 PT 2 1 P 当静力加载时，即：当静力加载时，即： P由由0增加至增加至P 由由0增加至增加至 实功的计算式为：实功的计算式为： dW 11-4-2 线弹性杆件的变形位能线弹性杆件的变形位能 l 1 l F l LFW N 2 1 LFV N 2 1 EA LFN 2 2 L e M e M L Z EI ML MW 2 1 MV 2 1 Z EI LM 2 2 横力弯曲 dx EI xM dV Z 2 2 dx EI xM V L Z 2 2 e M e M O 刚度条

19、件刚度条件 轴向拉压扭 转 平面弯曲 刚度条件 max max LL max max 变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件 应变能应变能 应变能 EA LF V N 2 2 P GI LT V 2 2 L Z EI dxxM V 2 )( 2 一一 、单位荷载法、单位荷载法 定义：应用外力的功和变形位能的概念，通过加单位力定义：应用外力的功和变形位能的概念，通过加单位力 求实际位移的方法。求实际位移的方法。 11-4-3 单位荷载法单位荷载法 证明女孩是魔鬼 Proof that girls are evil 因为追女孩需要时间和金钱 所以 Girls=Time*Money 因为“时间就是金钱

20、” 所以 Girls=Money*Money=（Money）2 因为“金钱是万恶之源”（英语谚语 money is the root of evil）本句中的root取“根源”的意思 但是在数学上有平方根的意思 所以Money=根号下Evil Girls=（Money）2=（根号下Evil）2 Girls=evil F F k 1F k F 1F k F k ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) F 2 F F 2 1 2 )( L Z EI dxxM k 2 1 2 1 2 )(M L Z EI dxx kFk 2 F 1F 2 1 1 2 1 2 )(M)(M L Z EI dxxx V=W 变形位能在数值上等于外力在变变形位能在数值上等于外力在变 形过程中作的功。形过程中作的功。 ( b ) ( c ) ( d ) x )x()x( F L d EI MM K 二、位移计算公式的简化二、位移计算公式的简化 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）： 2、桁架（只考虑轴力影响）：、桁架（只考虑轴力影响