高考热点剖析——概率与统计热点问题

1、高考热点剖析概率与统计热点问题高考对本内容的考查主要有：(1) 抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，a 级要 求(2) 图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，a 级 要求(3) 特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，b 级要求(4) 随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，b 级要求1概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件 a 的对立事件 a 的概率，然后利 用 p(a)1p( a )可得解；(2)用列举法把古典概型试

2、验的基本事件一一列出来，然后再求出事件 a 中的基本事件，m利用公式 p(a) 求出事件 a 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照n某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件 a 所包含的基本事件所占据区域的测度， 这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件2统计问题(1) 统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要 环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2) 用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘 制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分

3、布表和频率分布直方图的理解及应用；(3) 用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或 数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4) 两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出 的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程【应对策略】高考中的统计问题，一般以实际生活或社会热点为背景从考查内容上看，主要集中在分层抽样、频率分布直方图、平均数和方差的计算上；充分理解抽样的公平性是避免抽样问 题求解时出错的关键；读懂频率分布表与直方图是解总体分布估计题的重点，时刻注意分清 横纵坐标的含义可避免错误高考中的概率问题，一般以低中档题目出现，难度不大

4、；从考查内容上看，主要以理解 概念为主，求古典概型、几何概型的概率，运算量不大；古典概型常用枚举法计算，几何概 型则需知道测度的简单含义.命题角度一 抽样方法命题要点 分层抽样，求某层抽取的样本个数；用随机数表进行随机抽样，求所 抽取样本的号码；选择抽样方法【例 1】 （2012 年高考（江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之3比:为3:4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量50为的样本,则应从高二年级抽 取_名学生.思路分析 分层抽样，要求每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体 容量的比相等【答案】15.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样 . 将总体

5、划分为若干个同质层 ,再在各 层内随机抽样或机械抽样 ,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起 , 分组减小了各抽样层变异性的影响 , 抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性 .因此 , 由 50 3 3 +3 +4=15 知应从高二年级抽取 15 名学生.【方法支招】 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，按各部分在总体 中所占的比实施抽样，据“每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的 比相等”列式计算；在实际中这种有差异的抽样比其他两类抽样要多的多，所以分层抽样有 较大的应用空间，应引起我们的高度重视【突破训练 1】（2012 年高考（天津理）某地区有小学

6、 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现 采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽 取_所学校,中学中抽取_所学校.【答案】18,9【解析】分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所,所以应从小学中抽取150 75 30=18 ,中学中抽取250 25030=9.命题角度二 用样本估计总体命题要点 据频率分布表、频率分布直方图估计总体分布；已知样本数据，计算 平均数、方差、标准差；已知茎叶图，计算相关特征数【例 2】 右图是根据某省统计年鉴中的资料作成的 2002 年至 2011 年该省城镇居民百户家 庭人口数的茎叶图；图中左边的数字从

7、左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字 和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到 2002 年至 2011 年该省城镇居民百户家庭人口数的平均数为_思路分析 根据茎叶图，2002 年至 2011 年该省城镇居民百户家庭人口数的具体数据是： 291,291,295,298,302,306,310,312,314,317；计算这 10 个数据的平均数即得该省城镇 居民百户家庭人口数的平均数解 析法 一 10 个 数 据 都 减 去 300 ， 再 计 算 平 均 数 ， 故 所 求 平 均 数 为 300 99522610121417303.6.10法二

8、10 个数据，百位数和十位数为 29 与 31 的都是 4 个，故所求平均数为 300 1158260247303.6.10答案 303.6【方法支招】 由于数据过大，直接计算会引起计算错误，故要学会像解析中介绍的两 种方法那样尽量简化计算；同时要理解茎叶图的特点，能够从茎叶图获取原始数据 【突破训练 2】【2012 高考广东文 17】某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100.（1） 求图中 a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；（3） 若

9、这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩相应分数段的人数（ y 之比如下表所示，求数学成绩在 50,90) 之外的人数.）分数段50,60) 60,70) 70,80) 80,90)x:y1 :1 2 :13 : 44: 5【答案】10【解析】（1）依题意得，10(2 a +0.02 +0.03 +0.04) =1，解得a =0.005。（2）这 100 名学生语文成绩的平均分为：55 0.05 +65 0.4 +75 0.3 +85 0.2 +95 0.05 =73（分）。（3）数学成绩在 50,60)的人数为：100 0.05 =5，数学成绩在60,70)数学成绩在7

10、0,80)数学成绩在80,90)的人数为：100 0.4 的人数为：100 0.3 的人数为：100 0.2 124354=20=40=25，所以数学成绩在50,90)之外的人数为：100 -5 -20 -40 -25 =10。命题角度三 概率的计算命题要点 古典模型与几何概型的概率计算；利用互斥事件、对立事件的概率公 式计算较复杂事件的概率；随机抽样背景下的概率计算【例 3】袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽取3 次，求：(1)3 只全是红球的概率；(2)3 只颜色全相同的概率；(3)3 只颜色不全相同的概 率思路分析 本题是古典概型，用枚举法求解，

11、注意互斥事件、对立事件的概率公式的应 用解 (1)记“3 只全是红球”为事件 a.从袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共会出现 33327 种等可能的结果，1其中 3 只全是红球的结果只有一种，故事件 a 的概率为 p(a) .27(2)“3 只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3 只全是红球”(事件 a)；“3 只全是 黄球”(设为事件 b)；“3 只全是白球”(设为事件 c)故“3 只颜色全相同”这个事件 为 abc，由于事件 a、b、c 不可能同时发生，因此它们是互斥事件1再由红、黄、白球个数一样，故不难得p(b)p(c)p(a) ，所以 p(abc)p(a)271p(b)p(

12、c) .9(3) 3 只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红4色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件 d，则事件 d 为“3 只颜色全相同”，显然事件 d 与 d 是对立 事件1 8p(d)1p( d )1 .9 9【方法支招】 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的 概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率一个复杂事 件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解；对于“至少”，“至 多”等问题往往用这种方法求解【突破训练 3】（2012

13、 年高考（北京理）设不等式组0 x 2 0 y 2表示的平面区域为 d在区域 d 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）ap4bp-22cp6d4 -p4【解析】题目中0 x 2 0 y 2表示的区域表示正方形区域,而动点d可以存在的位置为正方 形 面 积 减 去 四 分 之 一 的 圆 的 面 积 部 分 , 因 此p =11 2 - p 224 -p= ,故选 d 2 2 4分清概型，准确计算一、分清古典概型与几何概型【例 1】 （2012 年高考（辽宁理）在长为 12cm 的线段 ab 上任取一点 c现作一矩形,领边长分别等于线段 ac,cb 的长,则该矩形面积小

14、于 32cm2的概率为（ ）a16b13c23d452cm,【解析】设线段 ac 的长为 x(12 -x )xcm, 则线段 cb 的长为 (12 -x)cm, 那么矩形的面积为由 x (12 -x ) 32,解得x 8.又0 x 12,所以该矩形面积小于 32cm2的概率为23,故选 c【小提示】解决概率问题首先要正确区分概率模型，分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有 限个，而几何概型则是无限个.本题中从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位 置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个，显然不

15、能应用古典概型计 算，可考虑用几何概型计算.二、正确求出基本事件的总个数和事件 a 包含的基本事件数【例 2】将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y.(1) 求事件“xy3”的概率；(2) 求事件“|xy|2”的概率解 设(x，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共 36 个基本事件(1)用 a 表示事件“xy3”，则 a 的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3

16、个基本事件， 3 1所以 p(a) .36 121故事件“xy3”的概率为 .12(2)用 b 表示事件“|xy|2”，则 b 的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，8 2(5,3)，(4,2)，(3,1)，共 8 个基本事件所以 p(b) .36 92故事件“|xy|2”的概率为 .9【小提示】利用古典概型的概率计算公式求概率时，关键是求出基本事件的总个数和事 件 a 包含的基本事件数；用枚举法把基本事件一一列举出来，是一个形象、直观的好方法， 但枚举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏1【2012 高考四川文 3】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的 知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 n ， 其中甲社区有驾驶员 96 人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 n 为（ ）a、101 b、808 c、1212 d、2012【答案】b3【2012 高考安徽文 10】袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个 白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率