高中数学教学设计

1、等比数列的前 n 项和（ 第一课时）一 教材分析。（1）教材的地位与作用：等比数列的前 n 项和选自普通高中课程标准数学教科书数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是 学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前 n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学 数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。二学情分析。（1） 学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的

2、通项公式 和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（2） 教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因， 思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其 是在后面使用的过程中容易出错。三教学目标。根据教学

3、大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的 教学目标确定为：（1）知识技能目标理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。（2）过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力（3）情感，态度与价值观培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁 美。四重点,难点分析。教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点：公式的推导方法及公式应用中

4、q 与 1 的关系。五教法与学法分析 .培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习

5、，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。 六课堂设计（一）创设情境，提出问题。（时间设定： 3 分钟）利用投影展示在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国 王大吃一惊。为什么呢？ 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生

6、的兴趣，调动学习的积极 性故事内容紧扣本节课的主题与重点提出问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数1 +2 +22 +23 +l +2 63（二）师生互动，探究问题 5 分钟提出问题 2： 1+ 2 + 22 + 23 + +263究竟等于多少呢?有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难 求。）提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现， 后一项都是前一项的 2 倍）提出问题 4：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，那么我们若 在此等式两边同以 2，得到另一式：利用投影展示qn2n -2q+2nl

7、 l比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两 式有许多相同的项）提出问题 5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现： s =2 64 -164这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法， 也让学生感受到这种方法的神奇这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题 6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比 数列求和公式的推导做好铺垫（三）类比联想，解决

8、问题。 时间设定：10 分钟提出问题 7： 设等比数列a的首项为a ,公比为q,求它的前项和sn 1 n即 s =a +a +a +l +a n 1 2 3n学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。 设计意图：从特殊到一般 , 从模仿到创新 ,有利于学生的知识迁移和能力提高， 让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验（四）分析比较，开拓思维。时间设定：5 分钟将不同的的方法等进行比分数析列评价。a根,公据学比生为的认识,它状况的，前可能有项如和下几种方法：n错位相减法 1： 等s比数=列a+aaq+a,公q比+为l+a,q它的+前aqn 1 1 n

9、1 1 1nn-1项和错位相减法 2qs n =a 1 +aa1q2+a1aq3 +l+a1aqnn-12+aa1qnn-1+a1qn qs(1=-q)as2n +=a31-+la1+qnan-1+an + a n q ( 1 -q ) s = a -a qn 1 nqnqnn 1 2 3n -1 ns =a +a q +a q+l+a q+a q2 n -2 n -1n 1 2 3 n-1 nq a =a q2 1a =a1q3 2 (1 -q ) s =a -a qnlll1 1nn11a +a +l+a =q ( a +a +a +l+a23n1 23 s -a =q ( s -a )n

10、1nll1nn等比数列 a ,公比为 ,它的前 n 项和提出公比 qs =a +a +a +ll +a +a等比数列 a ,公比为 ,它的前 项和累加法 ns =na +1a +1a +l1l+a +1a 1可能也有同学会想到=由a等+q比(a定+理a得q+l+aqn-3+aqn-2)1 1 1 1 1【设计意图：共享学=习a成+果q，(s开-拓a了qn思-1维)，感受数学的奇异美】n 1（五）归纳提炼，a构建=a新q知n。1时间1 设定：3 分钟4 3a - a qn提出问题 8:由 (1- q)sa =aa- aq n 得 s = 对不对？这里的 q 能不能等于 1？等比n n -1 1-

11、 q数列中的公比能不能为 1？ q =1 时是什么数列？此时 s =？nn -1)【设计意图：通过n反问1精讲，一n 方面n 使学生加深对知识的认识，完善知识结构， (1 -q ) s =a -a q增强思维的严谨性】提出问题 9:等比数列的前 n项和公式怎样?学生归纳出a (1-q n ) , q 1 s = 1 -qna , q =1 1 s =a -a q1 n , q 1 1 -qna , q =1 1【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 （六）层层深入，掌握新知 。时间设定：15 分钟【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量进行正反两方面的“短、 浅、

12、快” 练习通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征】题号 a1q nansn（1） 1/2 1/2（2） 272/3（3）-288-96 -63【 设计意图：渗透方程思想 .通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识1 1 1 11 1 1 1 631 1 1 1的能力.掌握公式中”知三求二”的题型】练习 3：求等比数列 , , , , 前8项和；2 4 8 16变式 1、等比数列 , , , , 前多少项的和是 ；2 4 8 16 64变式 2、等比数列 , , , , 求第5项到第 10 项的和；2 4 8 16变式 3、等比数列a,a 2 ,a 3 , an,l求前 2n 项中所有偶数项

13、的和。（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况， 寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。)【 设计意图：变式训练 , 深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式 识别能力，渗透转化思想】练习 4有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为 20 元，以后每个月的工资是上月工资的 2 倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合 同。请你分析一下，老板的选择是否正确？【

14、设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处 有数学】（七）总结归纳，加深理解。 时间设定：2 分钟（1） 等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？（2） 用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生 的认知结构】（八）课后作业，巩固提高。 时间设定：1 分钟必做：（1）p66 练习 1研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”选做：求和：12 +2 2 2 +3 23 +4 2 4 +l +n 2n【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究