10.8ei2_一般周期的傅立叶级数

1、返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-121 第第八八节节 一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数 第十章第十章 二、正弦级数和余弦级数二、正弦级数和余弦级数 一、周期为一、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 三、小结与思考练习三、小结与思考练习 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-122 一、周期为一、周期为2l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 周期为周期为 2l 函数函数 f (x) 周期为周期为 2 函数函数 F(z) 变量代换变量代换 l x z 将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式

2、返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-123 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 1 0 sincos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) n a x l xn xf l b l l n dsin)( 1 其中其中 l 1 x l xn xf l l dcos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 定理定理5 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-124 l x z , 则则,llx,z 令令)(zF, )(

3、 z l f则则 ) )2( ()2( zl fzF)2(l z l f )( z l f)(zF 所以所以)(zF且它满足收敛且它满足收敛 定理定理条件条件, 将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数: 1 0 sincos 2 )( n nn znbzna a zF ( 在在 F(z) 的连续点处的连续点处 ) )(xf 变成变成 是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数 , 证明证明: 令令 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-125 zznzFandcos)( 1 其中其中 zznzFbndsin)( 1 令令 l x z l an 1 x l xn xf l b l l

4、 n dsin)( 1 l xn b l xn a a xf nn n sincos 2 )( 1 0 ),2, 1,0(n ),3,2, 1(n ),2, 1,0(n ),3,2, 1(n ( 在在 f (x) 的的 连续点处连续点处 ) x l xn xf l l dcos)( 证毕证毕 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-126 1 )( n n bxf ),2, 1(dsin)( nx l xn xfbn 其中其中 (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) l xn sin l 2 0 l 如果如果 f (x) 为为偶函数偶函数, 则有则有 (在在 f (x) 的连续点处

5、的连续点处) 2 )( 0 a xf ),2, 1,0(dcos)( nx l xn xfan 其中其中 1n n a l xn cos 注注: 无论哪种情况无论哪种情况 , ).()( 2 1 xfxf 在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, 傅里叶级数傅里叶级数 收敛于收敛于 l 2 0 l 如果如果 f (x) 为为奇函数奇函数, 则有则有 说明说明: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-127 例例1 将函数将函数 0,50, ( ) 3,05 x f x x 展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数. . (5,5,f由由于于在在上上分分段段光光滑滑 因因此此可可解解以以

6、展展开开成成傅傅 里叶级数里叶级数. . 05 50 11 0 cosd3cosd 5555 n n xn x axx 5 0 35 sin0,1,2, 55 n x n n 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-128 55 0 50 11 ( )d3d3, 55 af xxx 5 0 1 3sind 55 n n x bx 5 0 353(1cos ) cos 55 n xn nn 6 ,21,1,2, (21) 0,2 ,21,2,. nkk k nkk 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-129 代入代入(5)式式, , 得得 1 36(21) ( )sin 2(

7、21)5 k kx f x k 361315 sinsinsin. 253555 xxx (0)(0) 2 f xf x 0 1 (cossin).(5) 2 nn n an xn x ab ll ( 5,0)(0,5).x 0 x 这里这里 当当和和5 时级数收敛于时级数收敛于 3 .2 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1210 展开成展开成)20()(xxxf (1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数. 解解: (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 则有则有 2 o y x ),2, 1,0(0nan 2 0 2 2 xbnx xn d 2 si

8、n 0 2 2 2 sin 2 2 cos 2xn n xn x n n n cos 4 ),2, 1() 1( 4 1 n n n 1 4 )( n xf 2 sin ) 1( 1 xn n n )20( x 在在 x = 2 k 处级数处级数 收敛于何值收敛于何值? 例例2 把把 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1211 2 o y x 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf ),2, 1(0nbn 2 0 2 2 xanx xn d 2 cos 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2xn n xn x n 1) 1( 4 22 n n xxf)( 2 0 0 d 2 2

9、xxa2 kn2,0 , ) 12( 8 22 k ),2, 1(k 则有则有 1 22 2 ) 12( cos ) 12( 18 1 k xk k )20( x 12 kn (2) 将将 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1212 说明说明: 此式对此式对0 x也成立也成立, 8) 12( 1 2 1 2 k k 由此还可导出由此还可导出 1 2 1 n n8 2 1 2 1 4 1 n n 6 1 2 1 2 n n 1 2 )2( 1 k k 1 22 2 ) 12( cos ) 12( 18 1)( k xk k xxf )20( x 1 2 ) 12( 1 k k 据此

10、有据此有 2 o y x 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1213 为正弦为正弦 级数级数. 1. 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式 )(xf 2 0 a l xn b l xn a nn n sincos 1 (x 间断点间断点) 其中其中 n a x l xn xf l l l dcos)( 1 n bx l xn xf l l l dsin)( 1 ), 1 ,0(n ),2, 1(n 当当f (x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶) (余弦余弦) 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换变换 延

11、拓延拓 内容小结内容小结 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1214 作业作业 习习 题题 10-8 P283 1; 4 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1215 ) 11(2)(xxxf将 立叶级数立叶级数, 并由此求级数并由此求级数 1 2 1 n n (91 考研考研) 解解: y 1 ox 1 2 )(xf为偶函数为偶函数,0 n b 1 0 0 d)2(2xxa 5 xxnxand)cos()2(2 1 0 1) 1( 2 22 n n 因因 f (x) 偶延拓后在偶延拓后在,),(上连续 x2 2 5 ,) 12cos( ) 12( 14 1 22 k

12、 k k 展开成以展开成以2为周期的傅为周期的傅 1 , 1x 的和的和. 故得故得 1. 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1216 , 0 x令 得 1 22 ) 12( 14 2 5 2 k k 故 8) 12( 1 2 1 2 k k 1 2 1 n n 1 2 ) 12( 1 n n 1 2 )2( 1 n n 1 2 1 4 1 n n 1 2 1 n n 1 2 ) 12( 1 3 4 n n6 2 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1217 傅里叶傅里叶 (1768 1830) 法国数学家法国数学家. 他的著作他的著作热的解析热的解析 理论理论(18

13、22) 是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分, 他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献, 他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响. 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021-6-1218 狄利克雷狄利克雷 (1805 1859) 德国数学家德国数学家. 对数论对数论, 数学分析和数学分析和 数学物理有突出的贡献数学物理有突出的贡献, 是解析数论是解析数论 他是最早提倡严格化他是最早提倡严格化 方法的数学家方法的数学家. 函数函数 f