概率论与数理统计习题集与答案

1、概率论与数理统计 作业集及答案第 1 章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一 枚硬币连丢 3 次 ，观察 正面 H反 面 T 出现 的情形. 样本空 间是 ：(2) 一枚硬币连丢 3 次 ， 观察出现正面的次数 . 样本空间是 ： S=；2. (1) 丢一颗骰子 . A：出现奇数点 ，则 A=；B：数点大于 2， 则 B=.(2) 一枚硬币连丢 2次， A：第一次出现正面 ，则 A= ；B：两次 出现同 一面 ，则=； C： 至少有一次 出现正 面， 则C= .1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件 ，用 A、B、 C的运算关系表示下列各事件 ：(1) A

2、、 B、C都不发生表示为 ：.(2)A 与 B都发生 ,而 C不发生表示为 ： .(3)A 与 B 都不发生 ,而 C 发生表示为 ：.(4)A 、B、C 中最多二个发生表示为 ： .(5)A 、B、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、 B、 C 中不多于一个发生表示为： .2. 设S x:0 x 5, A x:1 x 3, B x:2 4：则( 1 ) A B ， ( 2 ) AB ， ( 3 ) AB ，( 4 ) A B=，( 5) AB = 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知 P(A B) 0.8, P(A) 0.5, P(B) 0.6，则word 资料可编辑(1) P(AB)

3、, (2)( P(AB)=, (3)P(A B)= .2. 已知 P(A) 0.7, P(AB) 0.3, 则P(AB)= .1 .4 古典概型1. 某班有 30 个同学 ,其中 8 个女同学 , 随机地选 10 个,求 :(1)正好有 2 个女同学的概率 ,(2) 最多有 2 个女同学的概率 ,(3) 至少有 2 个女同学的概率 .2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中 ,求有三个盒子各一球的概率 .1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子 ，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 。2. 已知 P(A) 1/4,P(B| A) 1/3,P(A|B) 1/2

4、, 则P(A B) 。1 .6 全概率公式1. 有 10 个签 ，其中 2 个“中”，第一人随机地抽一个签 ， 不放回 ，第二人再随机地抽一个签 ，说明两人抽 “中的概率相同 。2. 第一盒中有 4个红球 6个白球 ，第二盒中有 5个红球 5个白球 ，随机地取一盒 ，从中随机地取一个球 ， 求取到红球的概率 。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂 ，另 30%需经过调试 ，调试后有 80%能出厂 ，求(1) 该厂产品能出厂的概率 ，( 2)任取一出厂产品 , 求未经调试的概率 。2将两信息分别编码为 A 和B传递出去 ，接收站收到时 ，A 被误收作 B的概率为 0.02

5、，word 资料可编辑B 被误收作 A 的概率为 0.01 ，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为 3 : 2 ，若接收站收到 的信息是 A， 问原发信息是 A 的概率是多少 ？1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图 ，其中 A,B,C,D 为开关 。设各开关闭合与否相互独立 ， 且每一开关闭合的概率均为 p,求 L与 R为通路 (用 T表示)的概率 。C3. 甲 ，乙,丙三人向同一目标各射击一次 ，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6 ，是否命中 ，相互独立 ， 求下列概率 : (1) 恰好命中一次 ,(2) 至少命中一次 。第 1 章作业答案1) S HHH ,HHT , HTH

6、,THH ,HTT ,THT ,TTH ,TTT ；2) S 0, 1, 2, 3word 资料可编辑2：(1) A 1, 3, 5 B 3, 4, 5, 6 ；1 .2 1 ：(1) ABC ；(2) AB C ； (3) A BC；(4)A B C；(5) AB AC BC；(6) AB AC B C 或 A BC ABC ABC A B C ；2) A 正正 ，正反 , B 正正 ，反反 , C 正正，正反 ，反正。2(1) A B x:1 x 4 ；(2) AB x:2 x 3 ；(3) AB x:3 x 4 ；AB x:1 x 4 。1 .31： (1) P( AB ) =0.3,

7、(2) P(A B)= 0.2, (3) P(A B)= 0.7. 2 ： P( AB) )=0.4.4) A B x:0 x 1或 2 x 5 ；(5)1 .41：(1)C82C282 / C3100 ,(2)( C2120 C81C292 C82C282)/C1300,(3)1-(C2120 C81C292)/ C3100 .2： P43 /43 .1 .51：. 2/6 ；2： 1/4。设 A 表示第一人 “中”，则 P(A) = 2/10设 B 表示第二人 “中 ”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( A )P(B| A)2 1 8 2 2= 10 9 10 9 10两人

8、抽 “中 的概率相同 , 与先后次序无关 。2： 随机地取一盒 ，则每一盒取到的概率都是 0.5， 所求概率为p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1：(1)94% ( 2) 70/94 ；2： 0.993 ；1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合 ，于是 T = AB CD,从而 ， 由概率的性质及 A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)word 资料可编辑2 2 4 2 4 p2 p2 p4 2p2 p42： (1) 0.4(1-

9、0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念 ，离散型随机变量1 一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球 ，从中随机地取 3 个，用 X表示取出的 3 个球 中的最大号码 ., 试写出 X 的分布律 .2 某射手有 5 发子弹 ，每次命中率是 0.4， 一次接一次地射击 ，直到命中为止或子弹用尽为 止，用 X表示射击的次数 , 试写出 X 的分布律 。2.2 0 1 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用

10、户的呼叫次数X 是服从 =4 的泊松分布 ， 求(1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率 ； (2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率 ；(3) 每分钟最多有 1 次呼叫的概率 ；2 设随机变量 X 有分布律 ： X 2 3 , Y(X), 试求 ：p 0.4 0.6( 1) P(X=2,Y 2)； (2)P(Y2) ； (3) 已知 Y2, 求 X=2 的概率 。2.3 贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机 ， 调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6， 计算机是否被使用相互独立 ， 问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少 ？(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少

11、 ？(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少 ？word 资料可编辑(4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少 ？2 设每次射击命中率为 0.2， 问至少必须进行多少次独立射击 ， 才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？2.4 随机变量的分布函数0 x 11 设随机变量 X 的分布函数是 ： F(x) = 0.5 1 x 11 x 1(1)求 P(X0 )； P 0 X 1 ；P(X1)，(2) 写出 X 的分布律 。Ax2 设随机变量 X 的分布函数是 ： F(x) = 1 x0x 0, 求 ( 1 ) 常数 A, (2) P 1 X 2 . x02.5 连续型随机变量1 设连

12、续型随机变量 X 的密度函数为f (x)kx 0 x 11)求常数 k 的值 ；2)求 X的分布函数 F(x)，画出 F(x) 的图形 ，word 资料可编辑3)用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2.6 均匀分布和指数分布21 设随机变量 K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布 , 求方程 4x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率 。2 假设打一次电话所用时间 (单位 ：分)X服从0.2的指数分布 ，如某人正好在你前面走进电话亭 ，试求你等待 ：(1)超过 10分钟的概率 ；( 2) 10分钟 到20 分钟的概率2.7 正态分布1 随机变量 X N (3, 4), (1)

13、 求 P(2X 5) , P(- 42), P(X3) ；(2)确定 c，使得 P(Xc) = P(Xc) 。word 资料可编辑2 某产品的质量指标 X 服从正态分布 ，=160 ，若要求 P(120X200) 0.80 ，试问 最多取多大 ？2.8 随机变量函数的分布2 设随机变量 X 的密度函数为f (x)2(1 x)00 x 1其他1 设随机变量 X 的分布律为 ；X012p0.30.40.3Y = 2X 1, 求随机变量X 的分布律 。Y X 2 ； 求随机变量 Y 的密度函数 。Y 的密度函3. 设随机变量 X 服从(0， 1)上的均匀分布 ，Y2ln X ，求随机变量数。word

14、 资料可编辑第 2 章作业答案2.1 1 ：X 345p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5p 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.40.6 0.6 0.6 0.6 12.2 1： (1) P(X = 1) = P(X 1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X 2) = 1 0.908422 = 0.091578 。2： (1) 由乘法公式 ：2 2 2 2P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2)

15、= 0.4e 2 2(e 2 2e 2)= 2 e 2(2)由全概率公式 ： P(Y2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)2 17 3= 0.4 e5 + 0.6 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.524582(3) 由贝叶斯公式 ：P(X=2|Y 2)= P(X 2,Y 2) 0.27067 0.516P(Y 2) 0.524582.3 1： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数 ，则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) =C520.620.43(2) P(X 3 ) = C530.630.42 C540

16、.640.4 0.654 4 5 5(3) P(X 3 ) = 1 - C540.640.4 0.65(4)P(X 1 ) = 1 - 0.452： 至少必须进行 11 次独立射击 .2.4 1：(1)P(X0 )=0.5 ； P 0 X 1 = 0.5 ；P(X1) = 0.5 ，word 资料可编辑(2) X 的分布律为X-11P 0.5 0.52： (1) A = 1,(2) P 1 X 2 =1/60 x 0 22.5 1：(1)k 2，(2) F(x)x 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律为 ： X Y 0 1 2 word 资料可编辑 0 x 1；1 x 12.8 1 ：Y-

17、 113p0.30.40.3fY(y)1y (1 y)2：00 y 1 ，其他3：1e y /2fY(y)2e0y 0 ；y00.5 0 0.5 1(3)P(- 0.5X0.5) =0.5 f(x)dx 00.5dx 0 2xdx 411 或= F(0,5) F(-0.5) =0 。442 ： (1 )f(x)1/x 1 x e10/x 1其x 他e (2)P(X 2) 1 ln22.6 1 ： 3/52：2 2 4(1)e 2 (2)e 2 e 42.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3 ， 2：31.25 。第 3 章 多维随机变量3.

18、1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有 2 个红球 ，2 个白球 ， 1 个黑球 ，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y表示取到的白球个数 ，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律 。试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值 ；0.10.2(1) P(X 1) 0.6 ；1 0.1b 0.2(2) P(X 1|Y 2) 0.5；(3)设 F(x) 是Y 的分布函数 ， F (1.5) 0.5。3.2 二维连续型随机变量1. (X、Y) 的联合密度函数为f (x, y)k0(x y)0 x 1, 0 y 1 其他求(1)常数 k；( 2)P(X1/2,Y1/2) ；(3)

19、 P(X+Y1) ；(4) P(X1/2) 。2 ( X、 Y )的联合密度函数为f (x,y)kxy00 x 1,0 y x其他求(1)常数 k；( 2 ) P(X+Y1) ；(3) P(X1/2)3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下 ，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数f(x,y)2 2 22 (1 x2 )(1 y2 )x e f (x,y) 00yx其他3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下 ，X Y12311/61/91/182ab1/9(1) P(Y 1) 1/3；(2) P(X 1|Y 2) 0.5；3) 已知 X 与 Y相互独立 。

20、试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值 ；2. (X,Y) 的联合密度函数如下 ，求常数 c，并讨论 X 与Y 是否相互独立 ？2 cxy0x 1,0y1f (x,y)0其他第 3 章作业答案3.1 1：XY122：(1) a=0.1b=0.310.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70.31word 资料可编辑3.2 1：(1) k = 1 ；(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8 ；(3) P(X+Y1) = 1/3 ；(4) P(X1/2) = 3/82：(1) k = 8 ；(2) P(X+Y1) = 1/6 ；(3)

21、P(X1/2) = 1/16 。3.3 1 ：fX (x)122 2 2 dy 22 (1 x2)(1 y2 )(1 x2)x；2：fY(y)12 (1 x2)(1 y2)dx2(1 y2 )y；f X (x)xe x x 00 x 0fY (y)eyy0y03.4 1： (1)a=1/6 b=7/18 ； (2) a=4/9 b=1/9 ；(3)a = 1/3, b = 2/9 。2： c = 6, X 与 Y 相互独立 。第 4 章 随机变量的数字特征4.1 数学期望1盒中有 5个球，其中 2个红球 ，随机地取 3个，用X表示取到的红球的个数 ，则EX是：（A）1；（B）1.2；（C）1.

22、5；（D）2.3x22x412. 设 X 有密度函数： f (x)80其 他 ,求 E(X), E(2X 1), E( 12 ) ,并求X2X 大于数学期望E（X）的概率 。3. 设二维随机变量 （X,Y） 的联合分布律为 ： X Y 0 1 2已知 E(XY) 0.65，00.10.2a则 a和 b的值是 ：10.1b0.2A ) a=0.1, b=0.3 ； ( B ) a=0.3, b=0.1 ；( C ) a=0.2,b=0.2 ；( D ) a=0.15,b=0.25 。word 资料可编辑4设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下 ：求EX, EY,E(XY 1)。f(x, y

23、)xy00 x 1,0 y 2其他4.2 数学期望的性质1设 X有分布律 ： X 0 1 2 3 则 E(X 2 2X 3)是：p 0.1 0.2 0.3 0.4B)2；C) 3；(D )4.5 y x2 y 1E(XY) E(X)E(Y)，但 X 与Y2. 设(X,Y)有 f(x,y) 4 y x y 1 ，试验证0 其 他相互独立 。4.3 方差1丢一颗均匀的骰子 ，用 X表示点数 ，求EX, DXword 资料可编辑2 X 有密度函数 ： f (x) (x 1)/400x2其 他 ， 求 D(X).4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设 X （2） ,Y B（3, 0.6） ,相互

24、独立 ，则 E（X 2Y）, D（X（A） -1.6 和 4.88； （B）-1 和 4； （C）1.6 和 4.88； （D）2. 设 X U (a, b),Y N(4, 3) ，X 与 Y 有相同的期望和方差A ） 0 和 8；B） 1 和 7； （C） 2 和 6； （ D）2Y） 的值分别是1.6 和 -4.88.求a, b 的值。3 和 5.4.6 独立性与不相关性 矩word 资料可编辑1 下列结论不正确的是 ( )(A) X 与Y相互独立 ，则 X与Y不相关 ；(B) X与Y相关，则 X 与Y不相互独立 ；(C)E(XY) E(X)E(Y)，则X与Y相互独立 ；(D) f(x,y

25、) fX(x)fY(y) ，则X 与Y不相关；2若 COV (X,Y) 0 ，则不正确的是 ( )(A) E(XY) E(X)E(Y)；(B)E(X Y) E(X) E(Y)；(C) D(XY) D(X)D(Y)；(D) D(X Y) D(X) D(Y)；3( X,Y )有联合分布律如下 ，试分析 X与 Y的相关性和独立性 。X Y10111/81/81/801/801/811/81/81/84E(XY) E(X)E(Y)是 X与Y不相关的 ( )(A)必要条件 ；( B)充分条件 ：( C)充要条件 ；( D)既不必要 ，也不充分 。5. E(XY) E(X)E(Y)是 X 与Y相互独立的

26、( )(A) 必要条件 ；( B)充分条件 ：( C)充要条件 ；( D)既不必要 ，也不充分 。6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下 ：试验证 X与Y不相关，但不独立 。f(x,y)221x2y/4x2 y 1 其他第 4 章作业答案4.11： B； 2：3/2, 2, 3/4,37/64 ； 3： D ；4： 2/3 ， 4/3 ， 17/9 ；word 资料可编辑4.2 1 ： D；4.31：7/2,35/12 ；2：11/36 ；4.41：A；2：B；4.51：0.2，0.355 ；2： 1/144, 1/11 ；4.6 1：C； 2：C； 3： X 与Y 不相关 ，但

27、X 与Y 不相互独立 ；4：C；5：A；第 5 章 极限定理*5.1 大数定理5.2 中心极限定理1 一批元件的寿命 （ 以小时计 ）服从参数为 0.004 的指数分布 ，现有元件 30 只，一只在 用 ，其余 29 只备用 ，当使用的一只损坏时 ，立即换上备用件 ， 利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年 （8760 小时 ）的近似概率 。2 某一随机试验 ，“成功”的概率为 0.04 ，独立重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分 别求最多 “成功 ”6 次的概率的近似值 。第 5 章作业答案5.2 2： 0.1788 ； 3：0.889 ， 0.841 ；word 资料可编辑

28、第 6 章 数理统计基础6.1 数理统计中的几个概念1 有 n=10 的样本 ； 1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样 本均值 X = ，样本均方差 S， 样本方差 S2。2 设 总 体 方 差 为 b2 有 样 本 X1,X2, ,Xn ， 样 本 均 值 为 X ， 则 Cov(X1, X)。6.2 数理统计中常用的三个分布1. 查 有 关 的 附 表 ， 下 列 分 位 点 的 值 ： Z0.9 =，02.1(5) = ，t0 .9 (10) =。2设 X1,X2, ,Xn是总体 2(m)的样本 ，求E(X), D(X)。

29、6.3 一个正态总体的三个统计量的分布1设总体 X N( , 2)，样本 X1,X2, , X n ，样本均值 X ，样本方差 S2，则XX，/ n S / n1n(Xi X)2i11 n 212 (X i )2i1第 6 章作业答案226.1 1 x 1.57, s 0.254, s2 0.0646 ； 2. Cov(X1, X) b2 /n ；6.2 1-1.29 ， 9.236 ， -1.3722 ；2 E(X) m, D(X) 2m/n；6.3 1. N(0, 1), t(n 1),2(n 1),2(n) ；第 7 章 参数估计7.1 矩估计法和顺序统计量法word 资料可编辑x 1

30、0 x 11.设总体 X 的密度函数为 ： f (x)，有样本 X1,X2, ,Xn，求未0 其 他1 2 n知参数 的矩估计 。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ( ) ，为估计 的值 ，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟 ，结果如下 ：次数 ：23456量数 ：95374试求 的一阶矩估计和二阶矩估计 。7.2 极大似然估计( 1)x 0 x 11.设总体 X 的密度函数为 ： f (x) ，有样本 X1,X2, ,Xn ， 0 其 他 1 2 n求未知参数 的极大似然估计 。7.3 估计量的评价标准1.设总体 X 服从区间 (a, 1)上的均匀分布 ，有样本 X1,X2, ,Xn，证明 a? 2X 1是a 的无偏估计 。2.设总体 X ( ) ，有样本 X1,X2, ,Xn ，证明 aX (1 a)S2 是参数 的无偏估计 ( 0 a 1 )。7.4 参数的区间估计1