离散序列傅里叶变换习题

1、( 1) x1(n)(n 3)11(2) x2 (n)(n 1) (n)( n 1)22(3) x3 (n) anu(n), 0 a 1(4) x4 (n) u(n 3) u(n 4)1、 设 X(ej )是序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换， 利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，下列各序列的离散时间傅里叶变换。1)g(n)x(n) x( n1)2)g(n)x*( n)3)g(n)x*( n)4)g(n)x(2n)5)g(n)nx(n)6)g(n)x2(n)7)x(n),n为偶数g(n)20,n为奇数2、 试求以下各序列的时间傅里叶变换1) x1(n) anu(n),|a | 12) x2

2、(n)anu( n), | a| 1a|n|,| n| M3) x3 (n)0,n为其他4) x4 (n)n a u (n3), |a| 15) x5 (n)(14)n(n 3m)m 0 46) x6 (n)sin(n/3) sin(n / 4)nn3、 设 x(n) 是一有限长序列，已知x(n)1,2,0, 3,2,1,0,n 0,1,2,3,4,5 n为其他它的离散傅里叶变换为 X(ej ) 。不具体计算 X(ej ) ，试直接确定下列表达式的值。1) X (ej0)2) X (ej )3) X (ej )d4) |X(ej )|2 d5) |dXd(ej )|2d4、 试求以下各序列的时

3、间傅里叶变换1) x1 (n)2) x2 (n)3) x3 (n)1, | n| N0,n为其他1 |n| /N,0, cos( n ),2N0,|n | Nn为其他|n | Nn为其他6、证明：若 X(ej )是序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换，而x( n),n 为整数x1(n) kk0,其他则 X1(ej ) X (ej )。7、设序列 x(n) u(n)，证明 x(n) 的离散时间傅里叶变换为j1X(ej ) 1 1e jl ( 2 l)8、如图所示四个序列， 已知序列 x1(n) 的离散时间傅里叶变换为 X1(ej ) ，试用 X1(ej ) 表示其 他序列的离散时间傅里叶变换。x

4、1(n)x2 (n)9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即|x(n) |2| X (ej ) |2 d10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即dX (e )DTFT nx(n) jd式中， X(ej )是序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换。11、证明：(1)若 x(n) 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej ) 是 的实偶函数。X(ej ) 是 的虚奇函数。2)若 x( n) 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换12、设 x(n) R4( n) ，试求 x(n) 的共轭偶对称序列xe(n ) 和共轭奇对称序列xo(n) ，并分别画出其波形。113 、 设 实 序

5、列 x(n) 的 偶 对 称 序 列 xe(n) x(n) x( n) ， 奇 对 称 序 列21xo (n) x( n) x( n) ，试证明22 2 2 |x(n) |2|xe(n)|2| xo(n)|2n n n14、设实序列 x(n) 的波形如图所示，1234(1)试求 x(n) 的共轭偶对称序列 xe(n) 和共轭奇对称序列 xo (n) ，并分别画出其波形。( 2)设序列 x1(n) xe(n) xo( n) ，式中， xe ( n)和xo (n)为(1)所求结果。 画出 x1(n)的波形， 并与上图结果进行比较，结果说明了什么(3)分别求序列 x(n)、xe(n)和 xo (n)

6、的离散时间傅里叶变换 X(ej )、 Xe(ej )和Xo(ej )， 分 析 X (ej ) 、 Xe(ej ) 和 Xo (ej ) 的 实 部 Re X (ej ) XR (ej ) 、 虚 部 Im X(ej ) XI(ej ) 的关系。15、已知序列 x(n) anu(n)( 0 a 1) ，试分别求 x(n) 的共轭偶对称序列 xe(n)和共轭奇对称 序列 xo (n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和 Xo(ej ) 。16、若序列 x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej ) 的实部 Xe(ej ) 为XR (ej ) 1 cos求序列 x(n) 及其离散时间傅

7、里叶变换 X(ej ) 。17、若序列 x(n) 是实因果序列， x(0) 1，已知其离散时间傅里叶变换 X(ej ) 的虚实部 XI(ej ) 为X I (e j )sin求序列 x(n) 及其其离散时间傅里叶变换 X(ej ) 。18、如果 x(n) 是实序列，试证明 X *( ej ) X(e j )19、设 x(n) 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为X(ej ) ，若序列 y( n)的离散时间傅里叶变换为j 1 j jY(ej ) DTFT y(n)X(ej2) X(e j2)2试求序列 y(n) 。离散时间傅里叶变换习题解答：1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换1) x1(n)

8、(n 3)解： X (ej ) e j32)x2(n)12 (n 1)(n) 12( n 1)解：X (ej ) 1cos3)x3(n)na u (n ), 0a1解：X (ej )11 ae j4)x4(n)u (n 3) u (n 4)解：j1X(ej ) 1 12 cos11cos 2cos3221 a7e j 71 ae j2、 设 X (ej) 是序列 x( n) 的离散时间傅里叶变换， 利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，列各序列的离散时间傅里叶变换。解：G(ej )(1 e j )X (ej2)g(n)x*( n)解：G(ej )X *( e j )3)g(n)x*( n)解：G

9、(ej )X *( ej )4)g(n)x(2n)解：G(ej )x (n)e jn n令n 2n ，G(ej )x(n)eg(n)x(n) x( n 1)1)njn2n为偶数x(2 n)e jn1 njn 212 n x(n) ( 1)nx(n)e 25)g(n)解：6)g(n)解：7)g(n)解：12X(e2)nx(n)Q dX (ej )x2(n)G(ejx(n2),0,G(ej12njnx (n)ejn e 2jnx(n)G(ej21 X (ejn为偶数n为奇数x( n)e n3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换1)x1(n)anu(n),|a | 1解：X(ej) 1 a1e j2)

10、x2(n)n), | a| 1解：X(ej11 a 1ej3)x3(n)a|n|,0,| n| M n为其他解：X(ejx(n)en4)x4(n)解：)*jnjnX (e jnM1X(e 2) 1 X(e 222j dX (ej ) jdx(m)e j2m X (ej2n jn aeM2RenMnaeM2Renn jn a e M1 a cosaM1 cos( M1 2a cos1 a2 2aM 1 cos( M1) 2aM 2 cosM21 2a cosaanu(n 3),|a| 1 a 3an 3u(n 3),|a | 1X(ej ) a3ej3 1 a11ejnx(n )e jn ejn

11、21) 2aaM22 cos M5)x5(n)1n0(14)n (n 3m)1 3mm 0 (14)3m (n 3m)解：X(ejx(n)e jnn(14)m 0 43m jn( n 3m)e1 3m( )3mem 0 4j3m11 (14)3e j36)x6(n)sin( n / 3)sin(n/ 4)解：112sin(n / 3)sin(n / 4)/4sin( cn)cng%2 c ( csin(nn/3)/33g%2 (3sin( n / 4)4g%(2X(ej21 g%2)* g% (21212712X (ej )X (e jX (ej )4(712)/24、 设 x(n) 是一有限

12、长序列，已知x(n)1,2,0,0,3,2,1,它的离散傅里叶变换为X(ej ) 。1) X (ej0)解： X (ej )2) X (ej )1212127120,1,2,3,4,5n为其他不具体计算 X (ejx( n)e jnX(ej0)4 ) /2(712)/2) ，试直接确定下列表达式的值。5x(n) 1n0解： X (e j )x(n)e jnn5X (ej )( 1)n x(n) 1n03)X (ej )dX (e j )d2 x(0) 21 j jn解： x(n)X (ej )ejn d24)|X(ej )|2 d解：|x(n) |2n| X (ej ) |2 d| X (e

13、j ) |2 d|x(n) |2 2 (1 4 9 4 1) 385)|dXd(ej )|2 d解：dX (ej )djnx( n)|dXd(ej ) |2 dd2| jnx(n) |22 (0 11 4 9 9 16 4 25)2 174348试求以下各序列的时间傅里叶变换1) x1(n) 10,1 0,| n| Nn为其他2) x2 (n)1 |n| /N,0,|n | N n为其他3) x3 (n)cos(2nN),0,|n | Nn为其他6、证明：若 X(ej )是序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换，而x( n),n 为整数x1(n) kk0,其他则 X1(ej ) X (ej )。

14、7、设序列 x(n) u(n)，证明 x(n) 的离散时间傅里叶变换为X (ej ) 1 1e jX1(ej ) ，试用 X1(ej ) 表示其1 e l8、如图所示四个序列， 已知序列 x1(n) 的离散时间傅里叶变换为 他序列的离散时间傅里叶变换。9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即2 1 j 2n |x(n)|2 21|X(ej )|2d10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即DTFT nx(n) j dX(e )d式中， X(ej )是序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换。11、证明：1)若 x(n) 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej ) 是的实偶函

15、数。的虚奇函数。2)若 x(n) 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换12、设 x( n)R4( n) ，试求 x(n) 的共轭偶对称序列xe(n) 和共轭奇对称序列 xo(n) ，并分别画出其波形。13 、 设 实1序 列 x(n) 的 偶 对 称 序 列 xe(n) x(n) x( n) ， 奇 对 称 序 列2xo(n) 1x(n) x( n) ，试证明2|x(n) |2nn| xe(n) |2| xo(n) |2 n14、设实序列 x(n) 的波形如图所示， (1)试求 x(n) 的共轭偶对称序列 xe(n) 和共轭奇对称序列 xo (n) ，并分别画出其波形。(2)设序列 x1(n)

16、xe(n) xo( n) ，式中， xe ( n)和xo (n)为(1)所求结果。 画出 x1(n)的波形， 并与上图结果进行比较，结果说明了什么(3)分别求序列 x(n)、xe(n)和 xo (n)的离散时间傅里叶变换 X(ej )、 Xe(ej )和Xo(ej )， 分 析 X (ej ) 、 Xe(ej ) 和 Xo (ej ) 的 实 部 Re X (ej ) XR (ej ) 、 虚 部 Im X(ej ) XI(ej ) 的关系。15、已知序列 x(n) anu(n)( 0 a 1) ，试分别求 x(n) 的共轭偶对称序列 xe(n) 和共轭奇对称 序列 xo (n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和 Xo(ej ) 。16、若序列 x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej ) 的实部 Xe(ej ) 为XR (ej ) 1 cos求序列 x(n) 及其离散时间傅里叶变