随机过程复习题含答案演示教学

1、随机过程复习题（含答案）精品文档随机过程复习题一、填空题：1对于随机变量序列 X n 和常数 a ，若对于任意0，有lim P| Xn a | ，则称 Xn 依概率收敛于 a。2设 X (t),t 0是泊松过程，且对于任意 t2 t1 0， ，则PX(1)2, X (3) 4, X (5) 6 2 9 e 15PX(5)P X(1)P X (1) X (0)P X (1) X (0) 32 e 3 e2!6| X (3) 4 18e 62,X(3)(3 2) 2e2!4,X (5) 62, X(3) X(1) 2, X(5) X (3) 2 2PX(3) X(1) 2PX (5) X(3) 2

2、326 3 e 3 22!159ePX(5)6| X (3) 4 PX(5)62X(3) 2 62! e 6 18e 63已知马尔可夫链的状态空间为1,2,3 ，初始分布为P(1)1413341314113 ，则 P12(2)716 ，P X0 1,X12,X22116收集于网络，如有侵权请联系管理员删除574161616271613P(2) P2 (1)36363641331484848716精品文档PX01,X1 2,X2 2PX01PX1 2| X01PX22|X01,X1 2PX01PX1 2| X01PX22|X121311443 164强度的泊松过程的协方差函数 C(s,t)min

3、( s,t)P12(2)5已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 RX ( ) cos ，SX ( ) ( ) ( )6. 对于平稳过程 X(t)，若 X(t)X(t ) RX( ) ，以概率 1 成立，则称 X (t) 的自相关函数具有各态历经性。27.已知平稳过程 X (t )的谱密度为 S( ) 4 3 2 2，则X(t)的均方11S( ) 2 1 1 2 2 1 2 1S( ) 2 2 2 1 2 2 ( 2)2 2 2 12RX ( )12e12e收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2 1 1X(t) 的均方值 X ( ) RX (0) 2 28. 随机相位过程 X(t)

4、acos( t ),其中 a, 为常数， 为(0,2 )上服从均匀分布的随机变量，则 X(t) 02 aX(t)X (t ) cos29设马尔可夫链 Xn,n 0,1,2, 的状态空间 I 0,1 ，则一步 21转移概率矩阵为 P 0.9 0.1 ，初始分布为 p(0) (2,1)，则0.1 0.9 3 3X 2 的分布律为P(2)(182(300118300)，P(X21,X3 1, X 4 0) 0.0354P(2) P20.82 0.180.18 0.82p(2)p(0)P(2)2 1 0.82 0.183,3) 0.18 0.82( 182 , 118)300 300P(X 2 1,

5、X 3 1,X4 0)P(X21)P(X31|X21)P(X40|X21, X3 1)P(X21)P(X31|X21)P(X40|X31)1180.9 0.10.035430010.设 X n(n 0,1,2.)是只有两个状态的齐次马氏链，其 n步转移概率矩阵为收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1 31P(n)DnCn1 ，则 Cn2n13n1Dn1 2n13设 E(X )，D(X)2 ，则由切比雪夫不等式P(| X | 314随机变量序列 X1,X2,独立同分布 ,且E(X i) ,D(X i)20i 1,2 ,则对任意实数 x,lim nnXi nPi1nx二、计算与证明：1设任

6、意相继两天中，雨天转晴天的概率为11 ，晴天转雨天的概率31为 1 ，任一天晴或雨是互为逆事件，以 0 表示晴天状态，以 1 表示 2雨天状态， Xn表示第 n天的状态（ 0或 1）。（1）写出马氏链 Xn,n 1的一步转移概率矩阵；（2）在 5月 1日为晴天的条件下， 5月 3日为晴天； 5月 5日为雨天的概率各是多少？；解： I 0,1 ，11(1) P(1) 21 2133收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1212711 ,181817325943243225938964864857P(4), P(X 5P(X3(2) P(2)0|X10|X10)0)p00(2)p01(4)1

7、22594321/3 2/302设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 P1/302/3 ，证明01/32/3此链具有遍历性，并求其平稳分布。3/9 2/9 4/92解： P(2) P2(1) 1/94/94/91/92/96/9由于 P(2) 中不含有零元，故此链具有遍历性。解方程组P和1，即111121 3 1 3 2212133322323331 2 3 1解得 11247, 2 7, 3 7 ，故平稳分布为1,2,47,7,73将 2 个红球 4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中 放 3 个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以 X(n) 表示 经过 n次交换后甲盒子中的红球

8、数，则 X(n),n 0是一齐次马尔收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档可夫链，试求：( 1)求初始分布；( 2)求一步转移概率矩阵；(3) 证明 X(n),n 0是遍历链。解： (1) I 0,1,20)C43C6311, P(X0 1)5C42C21C6335,C41C2211312)C3C65 , 故初始分布p(0)(15,5,5)。P(X0P(X01/32/30(2)P(1)2/95/92/902/31/371642727272164916P(2)P2(1)(3)818181 ,4167272727由于 P(2) 中不含有零元，故此链具有遍历性。4设 X(t) Acos 0t

9、Bsin 0t ， 0是常数， A与B为相互独立 的随机变量，且 A N(0,1)，B N(0,1)(1)证明 X (t )是平稳过程； (2)证明 X (t )均值具有各态历经 性；(3)求 X(t) 的平均功率。解： (1) EA 0DA 1EB 0DB 1收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档EA2 DA (EA)2 1 EB 2 DB (EB)2 1A与 B相互独立， E(AB) ( EA )( EB ) 0EX(t) E(Acos 0t)E(Bsin 0t)cos 0tEAsin 0tEB0(常数 )EX(t)X(t)E Acos0t Bsin0t A cos 0(t ) Bs

10、in 0(t )EA2 cos0tcos 0(t) EB2sin 0tsin 0(t )E AB cos 0tsin0(t )EAB sin0tcos 0(t)cos0tcos0(t)EA2sin 0tsin0(t)EB 2cos0tsin0(t) sin0tcos0(t)E(AB)cos0tcos0(t)EA2sin 0tsin0(t)EB 2cos0tcos0(t) sin0tsin0(t)cos 0 (只与 有关) 故 X(t) 是平稳过程(2) X(t)lim 1 Acos 0t Bsin 0tdt 0 EX (t)T 2T T故 X(t) 均值具有各态历经性 (3) X2 RX (0

11、) 15.随机过程 Z(t) Xsint Y cost ，其中 X ,Y为独立同分布的随机 变量，它们的分布律为：X-12Y-12P2/31/3P2/31/3收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1)证明Z(t)为平稳过程；( 2)证明 Z(t)的均值具有各态历经性解： (1) EX 0 DX 2EY 0 DY 2X与Y 相互独立，E(XY) (EX )(EY) 0EZ(t) E(Xsint) E(Y cost) sin tEX costEY0(常数 )EZ(t)Z(t )E Xsint Y cost X sin(t ) Y cos(t ) 2cos (只与 有关)6设有随机过程 X(t

12、) Acos( t)Bsin( t)，其中 A与B 独立且都1TZ(t)limX sint Y costdtT2TT2Y sinTlim0EZ (t)T2T故Z(t) 是平稳过程(2)故 Z(t) 均值具有各态历经性是均值为零，方差为12的正态随机变量，求( 1)X(1)和 X( )的概4率密度；( 2)问 X (t )是否是平稳过程？x2解：(1) X(1) AcosA N(0, 2 ) f (x) 2 e 21 X( ) Acos44Bsin (A B) 2 N(0, 2)4收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档f(x)(2)EX (t) 0(常数)EX (t)X(t ) 2 cos

13、故 X ( t ) 是平稳过程(只与 有关 )7设 X (t) Acos( t )， A 为随机变量，具有瑞利分布，其密度x2x e 8 ex 0 ，40x0函数为 f ( x)是(0,2 )上服从均匀分布与 A 相互独立的随机变量，问X (t ) 是否是平稳过程？解： U(0,2 )x (0,2 )其它1其密度函数为 f ( x) 20EX (t) EA E cos( t )EA cos( t ) 1 d0(常数 )EX (t)X(t )E Acos( t ) A cos( t ) )EA 2 E cos( t ) cos( t)4 cos (只与 有关)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

14、精品文档其中EA22x2 x 8x e 8 dx 04x2x 2e 82xx 2de 8x28d(2x82)E cos( t2cos(0x28e 8)cos()cos(1d1 2 1 cos(2 t2 0 2cos()d1cos1cos48设 X (t )是平稳过程，令 Y(t) X(t a) X (ta)，a 为常数，试证：(1)RY( ) 2RX ( ) RX (2a) RX (2a)；(2)2SY( ) 4SX ( )sin2(a)。解：RY ( ) EY(t)Y(t )E X(t a) X(ta)X(ta) X (ta)E X (t a)X(ta) EX (ta)X(ta)EX (t a)X(ta) EX(t a)X (ta)RX ( ) RX ( 2a)RX ( 2a)RX ( )2RX( ) RX ( 2a) RX( 2a)2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档SY( )2RX( ) RX( 2a) RX( 2a)e i d2RX ( )e i dRX ( 2a)e i dRX ( 2a)e i dRX( )e i dSX( )RX( 2a)e