连续时间LTI系统的时域分析报告

1、、课程设计题目：基于 MATLAB的连续时间 LTI 系统的时域分析、基本要求： 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法； 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理； 编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应； 撰写课程设计论文，用信号处理基本理论分析结果。三、设计方法与步骤 ：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤 : 求解系统的零输入响应 ; 求解系统的零状态响应 ; 求解系统的全响应 ; 分析系统的卷积； 画出它们 的图形 . 下面以具体的微分方程为例说明利用 MATLAB软 件分析系统的具体方 法.

2、1连续时间系统的零输入响应描述 n 阶线性时不变（ LTI ）连续系统的微分方程为： a dn y a dn 1y a1 dtn a2 dtn 1 已知 y 及各阶导数的初始值为a2dydmuan dt an 1y b1 dtmy(0),y (1) (0) ， y(n-1) (0) ，求系统的零输入响应。bm ddut bm 1udt建模当 LIT 系统的输入为零时， 其零输入响应为微分方程的其次解 （即令微分方 程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中 p1,p2, ,pn 是特征方程 a1n+a2n-1+ +an +na=0 的根，它们可以 用 root（a） 语句求得。各系数

3、 由 y 及其各阶导数的初始值来确定。对此有写成矩阵形式为 : P1n-1C1+ P2n-1C2+ P nn-1Cn=Dn-1y0其解为： C=VY0即 V?C=Y0式中V为德蒙矩阵，在 matlab 的特殊矩阵库中有 vander 。 以下面式子为例：y(0_)=1,y(0_)=5 ；MATLAB程序：a=input( 输入分母系数 a=a1,a2,.=);n=length(a)-1;Y0=input( 输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,.=); p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0;dt=input(dt=);te=input(te=); t=

4、0:dt:te;y=zeros(1,length(t);for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridxlabel(t) ;ylabel(y);title( 零输入响应 );程序运行结果： 用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入 a=1,5,4 Y0=1,5 dt=0.01 te=6结果如下图： 根据图可以分析零输入响应， 它的起始值与输入函数无关， 只与 它的初始状态值有关，其起始值等于 y(0_) 的值。随着时间的推移，最后零输入 响应的值无限的趋近于 0。零输入响应2卷积的计算连续时间信号 f1(t) 和 f2(t) 的卷积运算

5、可用信号的分段求和来实现，即：f (t) f1(t)* f2(t)f1(t)f2(t )d lim0f1(k ) f2(t k )0k如果只求当 t n (n为整数)时 f (t)的值 f (n ) ，则上式可得：f (n )f1(k ) f2(t k )f1(k ) f2(n k) kk式中的f1(k )f2(n k) 实际上就是连续时间信号 f1(t)和 f2 (t)经等时间间k隔 均匀抽样的离散序列 f1( k) 和 f2( k) 的卷积和。当 足够小时， f(n ) 就是 卷积积分的结果连续时间信号 f (t)的较好数值近似。建模下面是利用 MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序 c

6、onv()，该程序在计算出 卷积积分的数值近似的同时，还绘制出 f (t)的时域波形图。应注意，程序中是如 何设定f (t)的时间长度。MATLAB 程序：f1=input( 输入函数 f1=);f2=input( 输入函数 f2=);dt=input(dt=); y=conv(f1,f2); plot(dt*(1:length(y)-1),y);grid on; title( 卷积 );xlabel(t); ylabel(f1*f2)程序运行结果：输入以下数据：f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt=0.01得出图形如下：f*2f*16 t3连续时间系统零状态响应的数值计算

7、我们知道， LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述， NMaiy(i)(t)bj f (j)(t)i 0 j 0例如，对于以下方程 :a3 y (t ) a2y(t) a1y(t) a0y(t) b3f (t) b2f (t) b1f (t) b0f (t) 可用a a3,a2,a1,a0,b b3, b2 , b1 ,b0 ,输入函数 u f (t) ，得出它的冲击响 应h ，再根据 LTI 系统的零状态响应 y( t )是激励 u(t )与冲击响应 h(t)的 卷积积分。注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项， 则其向量 a 或 b 中的对应元 素应为零，不能省略不写

8、，否则出错。求函数的零状态响应 及初始状态 yzs(0 ) yzs(0 ) 0 。输入函数 f (t) sin(3* t) cos(2* t) 建模先求出系统的冲击响应，写出其特征方程2 5 4 0求出其特征根为 p 和 p，及相应的留数 r ，r ；则冲击响应为h(t) r1ep1t r2ep2t输入 y(t )可用输入 u( t )与冲击响应 h(t )的卷积求得。 MATLAB 程序：a=input( 输入分母系数 a=a1,a2,.=);b=input( 输入输入信号系数 b=b1,b2,.=); dt=input(dt=);te=input(te=);t=0:dt:te;u=inpu

9、t( 输入函数 u=);te=t(end);dt=te/(length(t)-1);r,p,k=residue(b,a); h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t); subplot(2,1,1),plot(t,h);grid title( 冲击函数 );y=conv(u,h)*dt; subplot(2,1,2), plot(t,y(1:length(t);grid title( 零状态响应 );程序运行结果执行这个程序，取 a=1,5,4 b=2,4 dt=0.01 te=6u sin(3* t) cos(2* t)得出图形如下：由于初始状态为零，所以零状态的

10、起始值也为零，即 h(t)包含了连续系统的固 有特性，与系统的输入无关。 只要知道了系统的冲激响应， 即可求得系统在不同4连续时间系统的全响应计算上面通过对 LTI 系统函数的描述，我们可以得知：如果在系统的初始状态不 为零，在激励 f (t )的作用下， LTI 系统的响应称为全响应，它是零输入响应和 零状态响应之和，即y(t) yzi(t) yzs(t) 故可先求出零输入响应和零状态响应， 再把两者相加， 得到全响应。 但简单的相 加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果， 这就需要对矩阵 进行截取，使它们的阶数相同。例如，对于以下方程：初始值为： y(0_)=1,y(0_)

11、=5 ； 输入函数为： f (t) sin(3* t) cos(2* t ) 求它的全响应。建模先根据零输入响应的求法，得出零输入响应 y1(t )。再根据零状态响应的求 法，得出零状态响应 y2(t )。最后，全响应 y等于零输入响应 y1(t )加上零状 态响应 y2(t )，得出全响应。MATLAB 程序：a=input( 输入分母系数 a=a1,a2,.=);n=length(a)-1;Y0=input( 输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,.=); b=input( 输入输入信号系数 b=b1,b2,.=);u=input( 输入函数 u=); dt=input(dt=)

12、;te=input(te=);t=0:dt:te; p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0;y1=zeros(1,length(t);for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);endte=t(end);dt=te/(length(t)-1);r,p,k=residue(b,a); h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);y2=conv(u,h)*dt; y=y1(1:length(t)+y2(1:length(t);figure(1); subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel

13、(t); ylabel(y1);title( 零输入响应 ); subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t);grid xlabel(t);ylabel(y2);title( 零状态响应 );subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel(t); ylabel(y);title(全响应响应 );程序运行结果执行程序，取 a=1,5,4 Y0=1,5 b=1,2,4 u=sin(3*t)+cos(2*t) dt=0.01 te=6y1，在零状态响应的对应时刻结果如下图：在零输入响应中任一时刻取值四、调试总结：在 matlab 语言中，用 sub

14、plot 对图形进行分块，使几幅图同时显示在一个图 像框里。 plot 用来绘制连续的函数图形。 cnov 用来求卷积，再就是利用语句对不同 阶的矩阵进行截取， 使之相加， 这点很重要， 因为简单的零输入响应与零状态响应相加， 可能由于阶数不同而无法得出结果，所以一定要使两者的阶数相同。五、设计总结：在老师的帮助下我顺利的完成了这个课程设计， 通过这次连续时间系统的时 域分析课程设计， 让我了解了关于 MATLAB软件在连续信号时域处理方面的应用， 又一次学习了 MATLAB软件的使用和程序的设计， MATLAB的仿真使我更加深入的 了解了信号时域处理的过程 ，对我对数字信号处理的理解加深了一步。 MATLAB 拥有强大的数据仿真能力，在生产和研究中起着非常大的作用。在设计过程中， 通过查阅大量的资料， 我选择用矩阵计算的方法来求连续时 间系统的零输入响应，卷积则是利用 matlab 中的 conv 语句求得，再根据 LTI 系统的零状态响应 y（t ）是激励 u（t ）与冲击响应 h（t ）的卷积积分，求得零 状态响应，全响应则为零输入响应与零状态响应之和。MATLAB语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析 领域的新型高级语言， Matlab 功能强大、简单易学、编程效率高，