量子力学复习题标准附标准答案与题解

1、量子力学复习题P12导致量子论产生的物理现象主要有哪些？ p2 量子的概念是如何引进的？ p5 为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？ p6 写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义什么是波函数的几率解释？ p18 态的迭加原理。 P22 动量算符的定义。 P27 写出单粒子薛定谔方程。 P27 写出多粒子薛定谔方程。 P28 写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。 P33 什么条件下可以得到定态薛定谔方程？ p32 什么是束缚态？ p37 什么情况下量子系统具有分立能级？ p37 什么是基态？ p37 写出线性谐振子的定态薛定谔方程。 P39 写出线性谐振子的能级表达式。 P40

2、 写出波函数应满足的三个基本条件。 P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。 P54 量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？ p55写出厄米算符的定义， 并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算 符来表示。 P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。 P60 什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关 系。P63解： L?2Ylm ( , ) l(l 1) 2Ylm( , )L?zYlm ( , ) m Ylm ( , )其中 l 表征角动量的大小， 称为角量子数， m 称为磁量子数。 对应于一个 l 的值， m 可以取( 2l +1)个值，从 -l 到

3、+l。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。写出波尔半径的值和氢原子的电离能， 可见光能否导致氢原子电离？ a0 0.52A ( 3分)E1 13.6eV ( 3分)可见光的能量不超过 3.26eV, 这个值小于氢原子的电离能， 所以不能引起氢原子 电离。( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。 P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。 P68s, p, d, f 态粒子是什么含义？ p63 关于力学量与算符的关系的基本假定。 P83 写出力学量平均值的积分表达式。 P84 两个算符可对易的充要条件是什么？ p89 写出 X 方向坐标与动量的不确定关系。 P92什么是 Q 表象？ p108久期方程带来的

4、好处是什么？ p113 写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。 P117 写出幺正变换的两个重要性质。 P118 应用微扰法的限制条件是什么？ p135 写出用非简并微扰法解题的基本步骤。 P136 写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。 P145 写出黄金规则公式，并解释其含义。 P154 什么是量子力学中的共振现象？ p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么？ p197 电子自旋的取值有何特点？ p196写出泡利矩阵。 P202 写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式） P198p210P223C-G 系数是如何定义的？其中各参数的含义是什么？ p209

5、在角动量耦合问题中， j1 和 j2 给定后， j 的取值范围是什么？ 写出全同性原理。 P217什么是费米子？什么是玻色子？ P220 写出全同玻色子体系的波函数表达式， 并说明其中各量的含义。 什么是自旋单态和三重态？ P223根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量动量关系，导”单粒子薛定谔方程。 P27推导定态薛定谔方程。 P32一个质量为 m的粒子置于宽度为 a 的无限深势阱中：0V(x)0xa其它2m x* 2(x) V(x) (x) E (x)求该系统的能量本征值。 P34当V (x)时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 (x) 0。令 k (x) E (x) (1

6、)2m x当 x 0,x a 时，薛定谔方程可以写为 2m2E ，可将 (1)式化为222 (x) k2 (x) 0 (2)x则方程 (2)的解可以写为(x) Asin kx B coskx由波函数的连续性可得(a) (0) 0Asin kaB coska0A sin ka0即 BAsin0kaBcoska0，得ABsin0ka0(3)由于当 A 0， B 0时，系统波函数 (x) 0，与粒子的存在相矛盾，所以 A，B 不能同 时为 0，所以 (3)式的解为 B0，sinka0，由此有 ka n ( n = 0， 1， 2，3，)因为 n0 对应 (x) 0 ，故舍去， n 取负整数与取正整数

7、的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可，因此 k，再结合 k22mE得，2mE2n2 2a2即系统能量本征值为2n2 222ma2(n=1，2，3，)。证明厄米算符的本征值是实数。 P56 证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。 P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在 X 方向上两算符满足 x?, p?x i 。P87 证明：在 Q 表象中 , Q?算符本身的表示矩阵是对角的。 P110 试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。 P131 一电荷为 e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正 x 方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能 量修正。

8、P137 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出？其中各量是何含义？尝试波函数如何选取？ p146 写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。 P196（1） 每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：sz（2） 每个电子具有自旋磁矩 M S ，它和自旋角动量 S的关系是 MS e S，式中 -e 是电子的电荷， 是电子的质量。在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象？什么是耦合 表象？写出两种表象基矢的关系式。 P208 写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容 原理。 P223写出坐标表象下， 产生、湮灭算符的表达

9、式， 并证明 a?, a? 1P125由坐标表象下的薛定谔方程推导 Q 表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式）。P113证明自旋算符满足： s?2, s?z 0，其中 s?2 s?2x s?2y s?2z 。P198 对泡利矩阵证明 :（1） ?x, ?y 2i ?z;（2） ?z的本征值为 1, 并求出相应的归一化本征矢； （3） ?x 在 ?z的两个本征态中的平均 值皆为 0。 P202 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。答：泡利矩阵 : x 10 01 , y 0i 0i ,10 01,（3 分）0 1 0 i1) x , yx y y x1 0 i 0 i 0 1 02i 102i z( 3分)

10、2) zuu 即 1z001 baba ，由此得久期方程：10解得 14 分)设平面波具有如下一般形式： (r,t) Aei(k r t) 其中 A为常数， k 和 满足k2 / 2m 。(1) 试验证平面波满足自由粒子薛定谔方程。 (2) 解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。21)i t (r,t) ( 2m 2) (r,t)左边 =iAei(k r t)t右边 =i A( i )ei(k r t) A ei(k r t) k Aei(k r t)2k2 Aei(kr t)2m2m(2)Aei(k r t) ()A(i2k2)ei(k r t)2m 2m左边

11、= 右边(2)平面波不满足平方可积条件 *2*(r,t) (r,t)dA 2d上述积分的涵义是粒子存在的总几率， 应当是有限值。 所以平面波不能严格 代表一个自由粒子。(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state of two energy eigenstates: |c1| 1 c2 | 2 . What result would be obtained when measuring the energy of the system? (10 mark彈s贸) 摄尔霁毙攬砖卤庑。 解：(a)一个可观察量可以用一个厄米算符表示，它的本征函数组成完备系，对 它进行测量的结果， 只可能是它的本征值之一。