12(2)常数项级数的审敛法

1、1 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 小结小结 思考题思考题 作业作业 constant term infinite series 第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 2 1. 定义定义 1n n u正项级数正项级数 n sss 21 2. 收敛的充要条件收敛的充要条件 单调增加数列单调增加数列 这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形: . n s ssn n lim ,)1(时时当当 n. 1 必必发发散散级级数数 n

2、n u ,)2(有有上上界界若若 n s)(正正常常数数即即 n s positive term series 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 0 n u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法 3 定理定理1(1(基本定理基本定理) ) )( ssn 注注 正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其其敛散性不变敛散性不变, 对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其和也不变. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列 n s有界有界. 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 4 例

3、例1 判定判定 的敛散性的敛散性. 1 12 1 n n 解解 12 1 n 12 1 12 1 12 1 2 n n S n 2 1 2 1 2 1 2 n 2 1 1 由定理由定理1 1知知, , 故级数的部分和故级数的部分和 可与另一个可与另一个已知敛散性的已知敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , 2 1 n 1 该正项该正项级数收敛级数收敛. 这个例启示我们这个例启示我们:判定一个判定一个正项正项级数级数的敛散性的敛散性, 由于由于 正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列 n s有界有界. 常数项级数的审敛法常数项级

4、数的审敛法 5 3. 比较审敛法比较审敛法 证证 定理定理2 2 nn uuus 21 且且 1n n v 设设 nn vu 即部分和数列有界即部分和数列有界. 1n n u n vvv 21 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , nn vu 若若 则则 1n n v收敛收敛 1n n u收敛收敛 1n n u 发散发散 1n n v发散发散 收敛收敛 0 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 6 nn s 则则 )( nsn设设 nn vu 且且 不是有界数列不是有界数列 1n n v 定理证毕定理证毕. 比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 正项级数及其审敛法正

5、项级数及其审敛法 1n n u 发散发散 1n n v发散发散 发散发散 推论推论1 1 1 n n u 若正项级数(发散发散)收敛收敛 )(Nnkuv nn 且且 )( nn vku 1n n v则则收敛收敛(发散发散) 证证 ,0 nn vu 若若 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 7 解解, 1 p设设 级级数数则则 p , 1 p设设 1 0 p n pppn n s 1 3 1 2 1 1 n n pp x x x x 1 2 1 dd 1 (1) (2) 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1 1 n n 调和级数调和级数发散发散 11 0 p nn n n p x x 1

6、d 用用比较审敛法比较审敛法 发散发散. . 1 1 n p npp xn nxn 11 ,1 有有时时当当 n n p n x 1 d 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 例例2 2 讨论讨论 级数级数 p ppp n 1 3 1 2 1 1的收敛性的收敛性. )0( p 8 n p x dx 1 1) 1 1( 1 1 1 1 p np1 1 1 p ,有界有界即即 n s 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 n s 级级数数则则 p收敛收敛. . 1 1 n p n )1( p 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 级数级数 ,1 ,1 p p p

7、 9 (1) 几何级数几何级数 使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时, 常用的比较级数常用的比较级数 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准. 需要知道需要知道 (2) p-级数级数 (3) 调和级数调和级数 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 ,1 ,1 p p 1 1 n p n nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 发散发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 10 例例3 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性. n n

8、 n 3 sin2)1( 1 1 3 )1( 1 )2( n nn 解解 (1) n n n u 3 sin20 而等比级数而等比级数 收敛收敛. n n 1 3 2 所以所以, 原级数收敛原级数收敛. n 3 2 n n 3 2 由由比较审敛法比较审敛法 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 11 解解 因为因为 3 )1( 1 nn un 2 3 1 0 1n 而而 1 3 2 )1( 1 n n 是发散的是发散的p-级数级数. 所以所以, 原级数原级数 n n 3 2 1 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1 3 )1( 1 )2( n nn 发

9、散发散时时当当 收敛收敛时时当当 级数级数 ,1 ,1 p p p, 1 1 n p n 发散发散. 2 由由比较审敛法比较审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 12 例例4 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性. 22 111 154 (1);(2);(3) 1321 n nn nnn an nann （1） 提示：提示： 11 0,2 2 nn n n 时 （2） 提示：提示： 2 1 1 n nn a a a n a 1时,0u 2 1 n n n a a a n a 1时,0N时, 1 1 (1)1,; n n n n u qu u 则收敛 1 1 (2)1,. n

10、 n n n u u u 则发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 23 2. 若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散 注注 3. 一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定. 级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点. n n n u u 1 lim 或或 不存在时不存在时, 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 4. 条件是充分的条件是充分的, 1. 适用于适用于中中 n unn 或或关关于于含含有有 ! 的若干连乘积的若干连乘积(或商或商) 但非必要但非必要. , 1 n n u由由)0( n u收敛收敛1lim 1 n

11、n n u u 形式形式. ,)1(时时 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 24 n n 2 )1(2 1 2 )1(2 n n n 级级数数 n n u u 1 但但 n n a2lim 12 lim n n a n n n n n a u u limlim 1 1 2 )1(2 n n n 如如：级级数数 n 2 3 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 收敛收敛 )1(2(2 )1(2 1 n n n a 6 1 2 3 不存在不存在 , 1 n n u由由)0( n u收敛收敛1lim 1 n n n u u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 25 比值审敛法的优点比值审敛法的

12、优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 由级数本身就能断定敛散性由级数本身就能断定敛散性. 例例6 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 1 3! (1), n n n n n 1 (2), ( ,0) n s n s n 解：解： 3! (1) n n n n u n 1 1 1 3(1)!3 limlim1 (1)3! nn n nn nn n unn unne 1 ! . 3n n n n n 故级数发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 26 (2) n n s u n 1 1 limlim (1) ns n sn nn n un un 11 1,;1, nn ss nn

13、nn 当0N时, (1)1,; n nn n uqu =1 则收敛 (2)1,. n nn n uu =1 则发散 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 31 注注 1. 根值法条件是充分的根值法条件是充分的,但非必要但非必要. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 , 1 n n u由由)0( n u收敛收敛1lim n n u n 2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与凡涉及证明的命题一般不可用比值法与 而只能用比较法而只能用比较法.根值法根值法, 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 32 例例9 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性. an n n n 1 12 解解 因为因为 a n

14、 n n 12 lim a 2 1 所以所以, 当当a0时时, a 2 1 级数级数收敛收敛; 当当a0,则 , nn ab 1 错!=-=0 n 1 , nn ab n nn 11 错!=(-1)=(-1) nn 错!如p-级数 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 53 1 ; nn n aa (4)若单调减少趋于0,则收敛 2 11 ; nn nn aa (5)若发散,则也发散 2 11 ; n n nn a a n (6)若收敛,则也收敛 1 ; n n n a a a (7)若0,1,则收敛 n a 1 错!如,= n n a 1 错!如,= n 2n n a a n 2 11 对!因, 2 n , nn aa 2 11 未必!如,= nn 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 54 111 , nnnnnn nnn abacbc (8)若收敛 且证明收敛. nn aa nn 提示:0cb 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 55 堂上练习：堂上练习： 判别下列判别下列级数的收敛性。级数的收敛性。 1 ! (1