等腰直角三角形的全等问题

1、等腰直角三角形的全等问题等腰直角三角形中的全等问题在证明三角形全等时，我们常常遇到图形中有等腰直 角三角形，由于等腰直角三角形有一组直角边相等，恰恰 可以为我们证明三角形全等提供必要的条件， 现举几例说 明。2、已知：在等腰直角 ABC 中， BAC=90 ，AB=AC, 过点 A 作直线 FG,过点 B 做 BD FG 于 D,过点 C做 CE FG 于 E,求证： DE=BD-CE 分析：题中有几个直角，往往可以得到许多角互余，所以 有一些角相等， 题中有 AB=AC ，我们可以得到 AB 与 AC 所 在 的 三 角 形 （ ABD 与 CAE ） 全 等 ， 则 BD=AE,AD=CE

2、, 结论及可证明。证明（略）结论:一组直角边相等，思路 1:可以观察两边是否在一个三角形中，若在，即这个三角形是等腰三角形思路 2：若不在一个三角形中，往往可得到其所在的两个 三角形有一组对应边相等，为证三角形全等奠定条件。 练习：3、在等腰直角 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC,BD 平分 ABC,过点 C 做 BD 的垂线 CE,垂足为 E, 求证： CE=1/2 BD提示：可通过角平分线构建全等形，即延长 CE 交 BA 的 延长线于 F,则 BEF与 BEC全等，所以 CF=2CE, 只需证 明 CF=BD 即可，即证明 ABD 与 ACF 全等。4、在等腰直角 ABC 中，

3、 BAC=90 ，AB=AC, 点 D 为 AC 的中点， AF BD 于 G,过点 C 做 CEAB,交 AF 的延长线于点 E,求证： EF=DF 提示：要证明结论成立， 需证明 EF与 DF 所在的两个三角 形 CFD与 CFE全等即可。关键差一组边或一组角相等， 有题中条件，很容易可证明 ABD 与 CAE全等，可为证 明CFD 与 CFE全等提供帮助。5、如图，ACD 和 AEB 都是等腰直角三角形， EAB= CAD=90 ,求证：(1) EC=BD(2)EC BD(4)S ADE =S ABCD=3，6、已知：在等腰直角 ABC 中， BAC=90 ，AB=AC,E 为 AC 上

4、一点， CDBE 于 D,连接 AD, 若 AD=2 ，C 求 BD 的长。提示：由于等腰直角三角形的特征，把CA 绕点 A 逆时针旋转 90，即可与 BA重合，所以，可把 DA 同样处理，8（2 的腰 求证（2）14 秋? 武汉校级月考） 如图，BD 是等腰直角 AC上的中线， AEBD交 BD、BC于 E、F，（1） ABD= CAF； ADB= CDFABC使之旋转到点 E 处，则CAD 与 BAE全等，即可得到结 论。在等腰直角 ABC 中， ACB=90 ，D 是 AC 中点， 连接 CF交 BD 于 E，求证： BDCF7（2011秋? 硚口区期中）如图，在等腰直角 ABC 中，

5、ABC=90 ，D 为 AC 的中点，过 D 点作 DEDF，交 AB于 E，交 BC于 F求证： （1）DE=DF（2） DEF=459（2011 秋? 嘉陵区期末）如图，在 Rt ABC 中，BAC=90 ，等腰直角三角板 ADE 如图放置，点 D 恰是 AC 的中点， AC=2AB （1）求证： EAB EDC（2）判断 EBC 的形状（有些角用数字表示更醒目）10（2008 秋?自贡期末）在等腰直角 ABC 中，C=90， AC=BC ，D 是 AB 上任一点， AECD 于 E，BFCD 交 CD 延长线于 F，CHAB 于 H，交 AE 于 G求证：（ 1） BD=CG ；（ 2）

6、 DF=GE 11如图，锐角 ABC 分别以 A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形 ACE 和等腰直角三角形 BCF ， 再分别过点 E、F 作边 AB 所在直线的垂线，垂足为 M ，N求证： EM+FN=AB 为直12如图 1，已知 A（0，2）、B（-1，0 ）两点，以 B 角顶点在第二象限作等腰 Rt ABC（1）求点 C 的坐标；CB 上取一点（2）如图 2，直线 CB交 y 轴于 E，在直线 D，连接 AD，若 AD=AC ，求证： BE=DE 13 如 BAC （1） （2）图，在等腰直角 ABC 中， C=90 交 BC 于 D ，DEAB 于 E 求证： ACD

7、AED； 若 AB=6 ，求 DEB 的周长， AD 平分M 是 DB 中如图， CAB，CDE都是等腰直角三角形， 点，求证： CM AE如图， ACE 为等腰直角三角形， ACE=90 ，B 为 AE 上一点， ABC 经过旋转到达 EDC 的位置， AC=8 cm，（1） DEC=；（2）求四边形 CBED 的面积；（3）连结 BD，若 AB=1cm ，求线段 BD 的长已知 ABC 和DEC 都是等腰直角三角形， C 为它们的 公共直角顶点，连接 AD 、BE，F 为线段 AD 的中点，连 接 CF（1）如图 1，当点 D 在 BC 边上时， BE 与 CF 的数量关 系是 ，位置关系

8、是 （不用证明）；（2）如图 2，把DEC 绕点 C顺时针旋转角 （0 90），其他条件不变， 问（1）中的关系是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并 加以证明；（3）如图 3，把 DEC 绕点 C 顺时针旋转 45，BE、 CD 交于点 M ，若 DCF=30 ，求 CM /BM 的值两块等腰直角三角板 ABC 和 DEC 如图摆放，其中 ACB= DCE=90 ， F 是 DE 的中点， H 是 AE 的中点， G 是 BD 的中点（1）如图 1，若点 D、E 分别在 AC 、BC 的延长线上， 通过观察和测量，猜想 FH 和 FG 的数量关系为 和位置关系为

9、；（2）如图 2，若将三角板 DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（ 1）中的猜 想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图 3，将图 1 中的 DEC 绕点 C 顺时针旋转一个 锐角，得到图 3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论， 不用证明如图（ 1）， ABC 为等腰直角三角形， ACB=90 ， E 是 AC 边上的一个动点（点 E 与 A ，C 不重合），以 CE为 边 在 ABC 外 作 等 腰 直 角 三 角 形 ECD ， ECD=90连接 BE，AD ，BE 延长线交 AD 于点 P猜 想线段 BE ，AD 之间的数量关系和位置关系（1）独立思考：请直接写出线段 BE