电大微积分初步形成性考核作业原体答案

1、微积分初步形成性考核作业【原体+答案】、填空题(每小题 2 分，共 20分)1函数 f ( x)ln(x 2) 的定义域是解： ln(x 2) 0，x20x3 x 2所以函数 f (x)1ln( x 2)的定义域是 ( 2,3) (3, )12函数 f ( x)的定义域是解： 5 x 0 ， x 5所以函数f ( x)5x的定义域是 ( , 5)3函数 f ( x)ln( x 2)的定义域是ln( x 2) 0解： x 2 0 ，24 x 2 0x1所以函数f (x)2x2ln(x1 2) 4 x2 的定义域是 ( 2, 1) ( 1,24函数 f (x 1) x2 2x 7 ，则f ( x)

2、 解： f (x 1) x2 2 x 722x2 2x 1 6 (x 1) 2 62所以 f (x) x 2 65函数 f ( x)2x 2 2 xxe0，则 f (0) 0解： f (0)02 2 26函数 f ( x 1) x 22x，则 f (x) 解： f (x 1) x2 2x x2 2x 1 1 (x 1)2 1， f (x)x2 17函数 y2x 2 x 3的间断点是x1解：因为当x 1 0，x 1 时函数无意义所以函数x 2x 3 的间断点是 x 1x118 lim x sin xx1解： lim x sinlimx x xsin11x 19若lim sin4x 2，x 0 s

3、in kxk解：因为 lim sin4x 4limx 0 sinkx k x 010解：sin4x4xsinkxkx42k所以 k 2若 lim sin3x 2 ，则 k x 0 kx因为 limx0sim3x 3 sim3xlimk x 0 3x二、单项选择题kx每小题32k2 分，共 24 分）1设函数e x ex，则该函数是（ ）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数解：因为 y（ x）e( x)xxee2设函数 yx 2 sin x ，则该函数是（ ）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数解：因为 y( x) ( x)2 sin( x) x2 sinx3函数 f (x) x2x 2 x的图形是关于（2

4、A y x B轴C轴 D 坐标原点解：因为 f( x) ( x)2 x 2 ( x)xx2x 2 x3所以 k 32既奇又偶函数所以函数 yxx ee是偶函数。故应选 B既奇又偶函数所以函数y x2sinx 是奇函数。故应选）对称xx2 x2xx f (x)2所以函数f (x) xxx2x 2 x函数2 的图形是关于坐标原点对称的因此应选 D4下列函数中为奇函数是（Axsin x B ln x C解：应选 C51函数 yx4Ax 5 B x 4x 4 0 x解：，x50x从而函数 f （x） x） ln(x 1 x2 )D x x2ln（ x 5） 的定义域为（）C x5 且 x 0D x5

5、且 x 44 ，所以应选 D56 函数 f (x)ln（x 1） 的定义域是（ ）A(1, )B(0,1) (1, ) C (0,2) (2, ) D (1,2) (2, )解：ln(x 1) 0， x10x 2 ， ， x1函数 f(x)1 的定义域是 (1,2) (2, ) ，故应选 D ln(x 1)7 设 f(x 1) x22 1，则 f (x) ( )A x(x 1) B Cx(x 2) D (x 2)(x 1)解： f(x 1) x21 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 2 f(x) x(x 2) ，故应选 C8下列各函数对中，)中的两个函数相等A f(x) ( x)2，

6、 g(x) x Bf(x)x2 ， g(x) x1A Bx解：因为lim ln(1 x) 0 ，所以当 x 0时， x0ln(1 x) 为无穷小量，所以应选 C10 当 k( )时，函数f(x)x21,k,x 0 ，在x0x 0 处连续 .A0B 1CD解：因为lim f(x) lim(x2x 0 x 01) 1，f(0)若函数f (x)x2 1,k,x0，在 x 0处连续，则 f(0) lim f(x)，因此 k 1。故应选 B x 0 x 011当)时，函数f(x)ex 2, x 0e 2, x 0在x 0处连续 .k, x 0A0B1CD解： kf (0) lim f (x) lim(e

7、x 2) x0x03 ，所以应选 D12函数f (x) 2 x 3 的间断点是x2 3x 2A x 1,x 2B x 3C x 1,x 2,x 3D无间断点23C f(x) ln x ， g(x) 2ln xD f(x) lnx ， g(x) 3ln x解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同，所以应选).9当 x 0 时，下列变量中为无穷小量的是(sin x C ln(1 x) D x2x x2解：当 x 1,x 2 时分母为零，因此 x 1,x 2 是间断点，故应选 A三、解答题(每小题 7 分，共 56分)x2 3x 2x2 4计算极限 lim x 3x 2 x2解：2 x2x2

8、 3x 2lim (x 1)(x 2) x 2 (x 2)(x 2)lim x 1 1x 2 x 2 42计算极限x2 5x 6 lim 2 x 1 x2 12解：x2 5x 6 (x 1)(x 6) x 6 7 lim 2 lim lim x 1 x2 1 lim ( 1 x 1)( 1 x 1) x 0 x( 1 x 1) 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 23解：limx 3 xlimx 3 x2x 3x2 92x 3计算极限 limx4解：lim(x 3)(x 3)x 3 (x 1)(x 3)2x2 6x 82x 5x 4limx3x3x1x26x8 (x2)(x 4) x 2

9、2lim 2 lim lim x 4 x25x4x 4 (x1)(x 4)x 4 x 135计算极限x2 6x 8 lim 2 x 2 x2 5x 6解：lim x 4x 2 x 3x2 6x 8 lim 2 x 2 x2 5x 6lim (x 2)(x 4) x 2 (x 2)(x 3)6计算极限 limx0解： lim 1 x 1 x0limx 0 x( 1 x 1)7计算极限11x1limx01x1sin4x解：1x1 lim x 0 sin4xlim ( 1 x 1)( 1 x 1)x 0 sin4x( 1 x 1)lxim0sin4x( 1 x 1)1lim4 x 0sin4x4x(

10、 1 x 1)8计算极限 lim sin4xx 0 x 4 2解： lim sin4xlim sin4x( x 4 2)x 0 x 4 2 x 0 ( x 4 2)( x 4 2)lim sin4x( x 4 2) 4lim sim4 x ( x 4 2) 16 x 0 x x 0 4x微积分初步形成性考核作业(二)解答(除选择题)导数、微分及应用、填空题(每小题 2 分，共 20分)1曲线 f (x) x 1在(1,2) 点的斜率是1解： f (x) ，斜率 k f (1)2x2曲线 f (x) ex 在 (0,1)点的切线方程是解： f (x) ex，斜率 k f (0) e0 1所以曲线

11、 f(x) ex在 (0,1)点的切线方程是：x113曲线 y x 2 在点 (1,1) 处的切线方程是1 32解： y x 2 ，斜率 k y3x112x 2x11所以曲线 y x 2 在点 (1,1) 处的切线方程是：y11(x 1) ，即： x 2y 3 024(2 x ) 解： (2 x ) 2 x 1 ln2 2 ln22 x 2 x5若y = x (x 1)( x 2)( x 3) ，则(0) = 解：y (0) ( 1)( 2)( 3) 66已知 f(x) x3 3x，则 f (3) =解：7已知 f (x) ln x ，则 f (x)=解：f (x) 3x2 3xln3， f

12、(3) 27 27ln 3 f (x) 1 ， f (x)x8若 f(x) xe x ，则 f (0) 解： f (x) exxxex x x x x， f (x) e x(e xxe x )2e xxe x，f (0)9函数 y 3(x 1)2 的单调增加区间是解： y 6(x 1) 0， x 1，所以函数 y 3(x 1)2 的单调增加区间是 1, )10函数 f (x) ax2 1在区间 (0, ) 内单调增加，则 a应满足解： f (x) 2ax 0 ，而 x 0，所以 a 0二、单项选择题(每小题 2 分，共 24 分)1函数 y (x 1)2 在区间 ( 2,2) 是A. 2A单调

13、增加2满足方程A极值点3若 f (x)B 单调减少f (x) 0 的点一定是函数B最值点 C 驻点e x cosx ，则 f (0)=C先增后减f(x) 的( CD间断点C )C. -1D. -2D 先减后增).4设y lg2 x ，A1 dx B2xB. 1则 dy ( B)1 dxxln10ln10lnx10 dx D1xdx5设y f ( x)是可微函数，则 df (cos 2x) ( D )f (cos2x)sin2xd2xA2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin2xd2x C 2f (cos2x)sin2xdx D6曲线 y e2x 1在 x 2 处切线的斜率是( C

14、)4A B C 2e4 D 7 若 f(x) xcosx ，则 f (x) ( C )A cos x xsin x Bcosx xsinx C 2sin x x cos x D 2 sin x xcosx 8若 f(x) sinx a3 ，其中是常数，则 f (x) ( C )2A cosx 3a Bsin x 6a C sin x D cos x 9下列结论中( B )不正确A f(x)在 x x0处连续，则一定在处可微 .B f(x) 在 x x0 处不连续，则一定在处不可导 . C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D若 f(x)在 a，b 内恒有 f (x) 0，则在 a，b内函数是单

15、调下降的 . 10若函数 f (x) 在点 x0处可导，则 ( B ) 是错误的A函数 f (x)在点 x0处有定义B lim f (x) A，但 A f (x0)x x0C 函数 f (x) 在点 x0处连续D 函数 f ( x) 在点 x0处可微11 下列函数在指定区间 ( , ) 上单调增加的是( B )x2Asin xBe CxD 3 - x12. 下列结论正确的有( A )Ax0是 f ( x)的极值点，且 ( x0)存在，则必有 ( x0) = 0 B x0是 f (x) 的极值点，则 x0必是 f ( x)的驻点C若( x0) = 0 ，则 x0必是 f ( x)的极值点 D使

16、f (x) 不存在的点 x0，一定是 f ( x)的极值点三、解答题(每小题 7 分，共 56分)1设 y x2ex ，求1 1 1 1 11解： y 2xex x2ex( 2 ) 2xex ex (2x 1)exx232设 y sin4x cos x ，求 .解： y 4cos4x 3cos2 xsinx3设 y e x 1 1 ，求 .x解：y 2 x 1e4设 y x x lncosx ，求 .3 sin x 3解： y x x tan x2cosx2225设 y y(x) 是由方程 x2 y2 xy 4确定的隐函数，求解：两边微分： 2xdx 2ydy (ydx xdy) 02ydy

17、xdy ydx 2xdxdyy 2x dx2y x6设 y y(x) 是由方程 x2 y2 2xy 1确定的隐函数，求 .解：两边对 x2 y2 2xy 1求导，得： 2x 2yy 2(y xy ) 0x yy y xy 0 ， (x y) y (x y) ， y 1dy y dx dx7设 y y(x) 是由方程 ex xey x2 4 确定的隐函数，求解：两边微分，得： exdx ey dx xeydy 2xdx 0xeydy(ex ey 2x)dx， dyex ey 2xxeydx8设 cos(x y) ey 1 ，求解：两边对 cos(x y) ey 1 求导，得：(1 y ) sin

18、( x y) yey 0sin(x y) y sin(x y) yey 0ey sin(x y)y sin(x y)sin(x y)ey sin(x y)dy y dxysin(x y) dxey sin(x y)微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外)不定积分，极值应用问题 一、填空题(每小题 2 分，共 20分)1若 f (x)的一个原函数为 lnx2，则 f (x) xlnx2 2x c。2若 f (x) 的一个原函数为 x e 2x ，则 f (x)4e 2x 。3若 f (x)dx xex c，则 f (x) 1 x ex 4若 f (x)dx sin 2x c，则 f(x)

19、 2cos 2x 15若 f(x)dx xln x c，则 f (x) x6若 f (x)dx cos2x c，则 f (x) 4cos 2 x x2x27 d e x dx e x dx 8 (sin x)dx sin x c 19若 f (x)dx F(x) c，则 f (2x 3)dx F 2x 3 c210若 f(x)dx F(x) c，则 xf (1 x2)dx1F 1 x2 c二、单项选择题(每小题 2 分，共 16 分)1下列等式成立的是()A d f (x)dx f (x)B f (x)dx f (x)Cd f (x)dx f (x)D df (x) f (x) dx解：应选

20、A2若 f (x)dx x2e2x c，则 f (x) ( )A. 2xe2x (1 x)B.2 2x2x eC.2x2xeD.2xxe解：两边同时求导，得：f(x) 2xe 2x2x 2 2x 2xe 2xe (1 x)所以应选 A3若 f (x) x x(x 0)，则 f (x)dx ().A. x x c B.x22x c C.x23 x32c2D.1 x2 2 x23c 解：应选 A4以下计算正确的是(A 3xdx d3 B ln 3dx1 x2d(1 x2) C dxxd x Dln xdx d(1)x解：应选 A5 xf (x)dx (A. xf (x) f (x) cB.xf (

21、x) cC.2 f (x) cD.(x 1) f (x) c解： xf (x)dx xdf (x)xf (x) f (x)dxxf (x) f (x) c ，所以应选6 d a 2xdx=()A a 2xB2x2a 2x ln adxC a2x 2xdxD adx c解：应选 C7如果等式1f (x)e x dxeC ，则 f (x)A. 1 B. x12 C.x1 D.x解：两边求导，得：111f(x)e x e x 2 ，所以x2f (x)12 ，故应选 Bx三、计算题(每小题7 分，共 35 分)解：3 x3 xsin x dx 3 dx xdx sin xdx1xx3 x3 xsinx

22、dxx2 323ln x x 2 cosx c32 (2x 1)10dx解： (2x 1)10dx 1 (2x 1)10d(2x 1) 1 1 (2x 1)10 1 c2 2 10 11 sin 32x dxx21sin解：x1 112 dx sin d ( ) cos c x2x xx4x sin 2 xdx解：11xsin 2xdxxd cos2x (x cos2x cos2xdx)2211x cos 2 xsin 2 x c245 xe x dx解： xe xdxxde x（ xe x e xdx） xe x e x c四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1 设矩形的周长为

23、120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才 能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为 60 x 厘米，以 60 x 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体 积为：2 2 3dVdxV x2（60 x），即： V 60 x2 x3120 x 3 x 2，令 dV 0 ，得： dxx 0 （不合题意，舍去） ， x 40 ，这时 60 x 20 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才能使圆柱体的体积最大。2 欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地 的长和宽选

24、取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？216米，从而所用建筑材料为：x648x216x 18 （取正值），这时 216 12x故当矩形的长为米，宽为米时，才能使所用建筑材料最省解：设矩形的长为米，则矩形的宽为216L 2 x 3 ，即： L 2x xdL648dL2 2 ，令 0 得： dxx 2dx由于根据实际问题，确实有最小值，五、证明题（本题 5 分）函数 f （x） x ex 在（,0）是单调增加的证明：因为 f （x） 1 ex，当（,0） 时， f （x） 1 ex所以函数 f（x） x ex 在（ ,0）是单调增加的微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）定积分及应用、微分

25、方程、填空题（每小题 2 分，共 20分）1解：12(sin x cos2x x* 2 )dx .1 2 1 1 2 2 (sin xcos2x x )dx sin xcos2xdx x dx 2 x dx1222 (x5 4x cosx)dx2解：2 (x5 4x cosx) dx x2dx 就等于圆 x2 y2 (x5 4x)dx 2 cosxdx 2 2 cos xdx 2sin x 02 2 23已知曲线 yf (x) 在任意点处切线的斜率为，且曲线过(4,5) ，则该曲线的方程是。解：由 xdx2x23 c得所求的曲线方程由 y 2x3c确定32c，解得：因为曲线过 (4,5) ，所

26、以 5423因此所求的曲线方程为 y 2x234若 (5x3 3x 2)dx 1 3 1 3 1 1解： (5x3 3x 2)dx (5x3 3x)dx 2dx 4 dx 45由定积分的几何意义知，a2 x2 dx= 。解：由定积分的几何意义知，2a2 在第象限的面积，即6解：7解：圆 x2 y2 a2 面积的d e 2 ln(x2 1)dx .dx 1d e 2ln( x2 1)dx 0dx 10 2xe2xdx=0 2x 0e2xdx blim be2xdx11 ，因此40 a2 x2 dx12a41l2blim e2xd(2x) lim bb1 2xe21 lim (1 e2b) 12

27、b 28微分方程 y y, y(0) 1的特解为 .dydy解：由 y y得y， dx ，两边同时积分，得 lndxy因为 y(0) 1，所以 ln1 0 c ，所以 c 0从而 ln y x ，因此微分方程 y y,y(0) 1的特解为 y ex9微分方程 y 3y 0 的通解为 .解： y 3y 0， dy 3y 0， dy 3dx 0， ln y 3x c1 dx y 1ln y c1 3x， y ec1 3x ，即 y ec1 e 3x所以微分方程 y 3y 0的通解为 y ce 3x10微分方程 （y ）3 4xy（4） y7 sin x的阶数为解：微分方程 （y ）3 4xy（4）

28、 y7 sin x的阶数为阶1、单项选择题在切线斜率为每小题 2 分，共 20 分）2x 的积分曲线族中，通过点（ 1, 4 ）的曲线为（ A）2A13Ax2 2D y x21若 (2x k)dx= 2，则 k =(B -1C列定积分中积分值为A1 ex11exe dxB24设A ）12 0 的是（ A）xx1 e e dx C13(x cos x)dx D2(x sin x)dxf（x） 是连续的奇函数，则定积分-af(x)dx ( DA52 sin x dx (D) -2002 f (x)dx B f (x)dxC f (x)dxD0-a -a 0A0 B C D62列无穷积分收敛的是（ B ）7下列无穷积分收敛的是（B ）2xAsinxdx Be 2xdxC1dx D11 dx001x1x8下列微分方程中， （D )是线性微分方程A yx2 lny y Byy2x xy e Cyy xy e Dx y sinx ye ylnx9微分方程 y 0 的通解为（ C ）A y Cx B y x C CyCy010下列微分方程中为可分离变量方程的是(dyA. x y ； dx三、计算题(每小题