第7节正弦定理余弦定理应用举例版含答案

1、第 3 章 第 7 节 正弦定理、余弦定理应用举例 考纲传真 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角 (如图 3-7-1 )2方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30等B 点的方位角为(正确的打 “，”错误的打 “”)， 的关系为1(思考辨析 ) 判断下列结论的正误(1)从 A处望 B处的仰角为 ，从 B处望 A 处的俯角为 ，则 0，2(2)俯角是铅

2、垂线与视线所成的角，其范围为 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 (4)如图 3-7-2，为了测量隧道口 AB 的长度，可测量数据 a， b， 进行计算 2海面上有 A，B，C三个灯塔， AB10 n mile ，从 A望 C和B成 60视角， 从 B望C 和 A成 75视角，则 BC等于()10 6A10 3 n mileB 3 n mileC5 2 n mile3若点 A在点 C的北偏东 30，点 B在点 C的南偏东 60，且 ACBC， A 北偏东 15B北偏西 15C北偏东 104如图 3-7-3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙 两观

3、测点在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 乙两地相距 A 100 2 C 200 3 5如图 3-7-4，已知 A，B 两点分别在河的两岸， 所在的河岸边另选定一点 C，测得 AC50 m， CAB105，则 A，B 两点的距离为 ( ) A 50 3 m C 25 2 m30，在水平120，甲、500 m，则电视塔的高度是 ( ) m400 m500 mBD 某测量者在点 ACB 45，B 25 3D 50 2图 3-7-1(如图 3-7-1 )(图 3-7-256Dn mile则点A图3-7-3A 在点 B 的 ( D 北偏西 10图 3

4、-7-4如图 3-7-5，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于 舍五入法将结果精确到个位参考数据： cos 37 0，.803 1.73) 变式训练 1 江岸边有一炮台高 30 m， 平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 30角，则两条船相距测量距离问题B，C 的俯角分别为m(用四sin 67 0，.92cos 67 0.，39sin 37江中有两条船，船与炮台底部在同一水和 60，而且两条船与炮台底部连线成如图 3-7-6，m.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后

5、到达 B 处，测 m.测得公路北侧一山顶得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD 测量高度问题图 3-7-6 变式训练 2 如图 3-7-7，从某电视塔 CO 的正东方向的 A 处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西 60的 B 处测得塔顶的仰角为 45，AB 间的距离为 35 米， 则这个电视塔的高度为 米在海岸 A 处，发现北偏东测量角度问题45方向、距离 A 处( 31)海里的 B 处有一艘走私船；在图 3-7-7A 处北偏西75方向、距离 A 处 2海里的 C 处的缉私船奉命以10 3海里 /小时的速度追截走私船同时，走私船正以10 海里 /小时的速度从B

6、处向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？变式训练 3 如图 3-7-8，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏 西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值图 3-7-8课时分层训练 (二十三 ) 正弦定理、余弦定理应用举例A 组 基础达标(建议用时： 30 分钟 )一、选择题1如图 3-7-9所示，已知两座灯塔 A 和 B与海洋观察站 C的距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东

7、20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40， 与灯塔 B 的距离为 ( )Aa kmB 3a kmC. 2a km2如图 3-7-10，两座灯塔 A 和 B与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ()A 北偏东 10B北偏西 10C南偏东 80则灯塔 A图 3-7-9D2a kmA 在观察站南偏D 南偏西 80 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么

8、 B，C 两点间的距离是 (10 2海里B 20 3海里D 如图 3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h ，若客船从 码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) A8 km/hB6 2 km/hC2 34 km/hD10 km/h5如图 3-7-12，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m、50 m，图 3-7-1070 A C 410 3海里20 2海里图 3-7-12图 3-7-13图 3-7-14BD 为水平面，则从

9、建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 ( )A 30B45C60D 75二、填空题6在地上画一个 BDA 60，某人从角的顶点 D出发，沿角的一边 DA行走 10米 后，拐弯往另一方向行走 14米正好到达 BDA的另一边 BD 上的一点，我们将该点 记为点 B，则 B与 D之间的距离为 _ _米7如图 3-7-13，为测得河对岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得 BDC 45，则塔 AB 的高是 米.8如图 3-7-14所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海

10、轮的北偏东 15方向， 与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达 C 处， 又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为 海里 /分钟三、解答题 9某航模兴趣小组的同学， 为了测定在湖面上航模航行的速度， 采用如下办法： 在岸边设置两个观察点 A， B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得 ABC105和 BAC 30，经过 20 秒后，航模直线航行 到 D 处，测得 BAD90和ABD 45.请你根据以上条件求出航模的速度 (答案可保留根号 )图 3-7-1510如图 3-7-16，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B

11、处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10海里 /小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1) 求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值图 3-7-16B 组 能力提升(建议用时： 15 分钟 ) 1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方 向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A向北偏东 30前进 100 m到达点 B，在 B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是 A50 mB()100 mC120 mD150 m2如图 3-7-17，为测量山高

12、MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 从 A 点测得 M 点的仰角 MAN60，C 点的仰角 CAB45以及 MAC 75； 从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN m.3已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶 A，B的海拔高度分别为 AM 100米和 BN200米，一测量车在小山 M 的正南方向 的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3 米后到达点 Q，在点 Q处测得发射塔顶 B处的仰角为 ，且 BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B之间的距离图 3-7-17图

13、 3-7-18第 3 章 第 7 节 正弦定理、余弦定理应用举例答案 (1) (2) (3) (4) D 如图，在 ABC 中， AB 10， A60，BC 5 6.B 如图所示， ACB90，又 AC BC， 90453015，点 A 在点 B 的北偏西D 设塔高为 x m，则由已知可得 BCx m，BDBCB75，C45，sin 60CBA 45，而 30， 15. 3x m ，由余弦定理可得 5002500x，解得 x500(m) ACBD2BC2CD22BCCDcos BCD ，即 3x2 x2 AB10 ， sin 45 ，即sin 30 sin 455D 因为 ACB45， CAB

14、 105 ，所以 B30.由正弦定理可知 sin B sin C 解得 AB 50 2 m测量距离问题60 如图所示，过 A 作 AD CB 且交 CB 的延长线于 D.在 RtADC 中，由 AD46 m， ACB 30得 AC92 m.在ABC 中， BAC673037，AC BCAC92 m，由正弦定理 sin ABCsin BAC，92 BC 92sin 37 sin 37 ，解得 BC sin 67 60(m) OM AO tan 45 30(m)，ONAOtan 30 333010 3(m)，ABC18067113，92 BC 得sin 113 sin 37 ，即 sin 67 变

15、式训练 1 10 3 如图，在 MON 中，由余弦定理得，MN900 30023010100 6 又 AB600 m，由题意，在故由正弦定理得0 323 300 10 3(m) 测量高度问题ABC 中， BAC30，ABC18075105，故 ACB 45. 600 BC ，解得 BC 300 2 m.sin 45 sin 30 3CD BCtan 30 300 23 100 6(m)3在 Rt BCD 中，变式训练 2 5 21 如图，可知 CAO60，AOB150，OBC45，AB35 米设 OC x 米，则 OA 3 x 米， OBx 米在 ABO 中，由余弦定理， 得AB2OA2OB2

16、2OAOBcos AOB，即 352x3x2233x2cos 150 ，整理得 x5 21， 所以此电视塔的高度是 5 21米 测量角度问题解 设缉私船 t小时后在 D 处追上走私船，则有 CD10 3t，BD10t. 31， AC 2， BAC120.3 分在ABC 中，AB 根据余弦定理，可得 BC3 222 3 6，由正弦定理，得 sin ABC ACsin BAC 2， ABC 45，BC 2因此 BC 与正北方向垂直 .7 分于是 CBD 120.在BCD 中，由正弦定理，得 BCD30，又sinC 1D20 sinB C30 ， sin 120 sin 30 BDsin CBD 1

17、0tsin 120 1 sinBCDCD10t1s0in 31t20 21，即10 33t 6，得 t 106.当缉私船沿北偏东 变式训练 3 解 在ABC中， AB40， 2ABACcos 1202 800? BC20 7.4 分60的方向能最快追上走私船，最少要花AC20， BAC120 ，由余弦定理得，106小时.12 分BC2AB2AC2由正弦定理，得 sinABACBsinBCBAC? sinACBABBCsinBAC 721.8分 由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cos ACB2 7 7. ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACB cos 30 sinAC

18、B sin 30课时分层训练 (二十三 ) 正弦定理、余弦定理应用举例A组在ABC 中， ACBC a， ACB120， 由条件及题图可知， A B40，又1241.12分12 所以 3A基础达标2 2 2 2 AB2a2a22a2cos 120 3a BCD 60，所以 CBD 30 ，DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.如图所示，易知，在 ABC 中， AB20 海里， CAB 30， ACB45 根据正弦定理得 BC AB ，解得 BC10 2(海里 )sin 30 sin 45 01.653，从而 cos15AB 3a.4Bsin4 5， 5B设 AB 与河岸线所成的角

19、为 ，客船在静水中的速度为 v km/h ，由题意知， 1102 2 1221102145，解得 v6 2.依题意可得 AD20 10(m) ，AC30 5(m)，又 CD50(m) ，所以在 ACD 中，由余弦定理得30 5 2 20 10所以由余弦定理得AC2AD2CD2 30 5 2 20 10 2502 6 000 2cosCAD 2AC AD230 520 106 000 2又 0CAD180，所以 CAD 45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 2 2 2 616 如图所示，设 BDx m，则 142102x2210xcos 60， 整理得 x210x960，x 6

20、（舍去 ）， x 16 ， 710 6 在 BCD 中， CDBCx16（米） 10，BDC45， BCD1590105，DBC30，CD ， BCCD sin 45 10 2.在RtABC中， tan 60 AB，ABBCtan 60 10 6（米）sin 45 sin 30 sin 30 BC8 36 由已知得 ACB45， B60，由正弦定理得 sAinC B sinACB所以 ACsAinBsAinC BB20sins in4 56010 6，所以海轮航行的速度为 10306 36（海里 /分钟）9解 在ABD 中， BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80 2.3 分801BC AB ABsin 30 80 2 在 ABC 中， BC40 2.6 分sin 30 sin 45 sin 45 22BCAB在DBC 中， DC 2 DB 2BC 2 2DB BC cos 60 (80 2)2(40 2)2280 240 219 600.2DC40 6，航模的速度 v 40206 2 6米/秒. 12 分10解 (1)依题意知， BAC120，AB12，AC10220，BCA.3 分在ABC 中，由余弦定理