立体几何垂直证明题常见模型及方法讲解

1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点： 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 立体几何论证题的解答中， 利用题设条件的性质适当添加辅助线 （或面） 是解题的常用方 法之一。 明确何时应用判定定理， 何时应用性质定理， 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直 ；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（ 1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）1 等腰（等边）三角形中的中线2 菱形（正方形）的对角线互相垂直3 勾股定理中的三角形4 1:1:2 的直角梯

2、形中 5 利用相似或全等证明直角。例：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心， E为CC1,求证： A1O OE（2）例1异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 在正四面体 ABCD 中，求证 AC BD如图 ，在四 棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD是矩形 ，AB 3,AD 2,PA 2,PD 2 2, PAB 60 证明： AD PB ；变式 2 如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E是 AB的中点，点 F是BC的中点，将 AED, DCF 分别沿 DE,DF 折起，使 A,C 两点重合于 A. 求证:AD EF ；变式 3 如图，在

3、三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形， PAC=PBC=90 o证明： AB PC类型二：线面垂直证明方法 1 利用线面垂直的判断定理例 2：在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O为底面 ABCD 的中心， E 为CC1 ,求证：A1O 平面 BDE变式 1：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， ,求证： A1C 平面BDC1变式 2：如图：直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90 .E为 BB1的中点， D 点在 AB 上且 DE= 3 . 求证： CD 平面 A1ABB 1；变 式 3 ： 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ，

4、O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ，CA CB CD BD 2 , AB AD 2.求证： AO 平面 BCD ；EADBC， ABC 90， PA 平面 ABCD PA 3，AD 2，AB 2 3，BC 6变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD 中，方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式 1, 在四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 是等腰三角形，且面PAB 底面 ABCD ,求证： BC 面PAB变式 2：类型 3：面面垂直的证明。 （本质上是证明线面垂直 ）例 1 如图，已知 AB 平面 ACD ，AD DE 2AB， F

5、 为CD的中点 .（1） 求证： AF / 平面 BCE ；（2） 求证：平面 BCE 平面 CDE ；E例2如 图 ， 在 四 棱 锥 P A B C中 ，PA 底 面 A B C ，DAB AD，AC CD， ABC 60， PA AB BC ， E是PC 的中点1）证明 CD AE ； （ 2）证明 PD 平面 ABE ；变式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形，ABC 60 ， E、F 分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC =2FB=2 （ 1）求证：平面 AEF平面 AACC；举一反三1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： a/baMbM a

6、 MbMa/b a Mb Mab a/ Mb M.ab其中正确的命题是 ( )A. B.C.D.2. 下列命题中正确的是( )A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形 ABCD 中， E、F分别是 AB、BC的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、 CDF 和 BEF折起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 P.

7、那么，在四面 体 P DEF 中，必有( )A.DP平面 PEF B.D 4.设 a、 b 是异面直线，下A.过不在 a、 b 上的一点 B.过不在 a、 b 上的一点 P 一定C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 5.如果直线 l,m 与平面 ,满足:l=可列正b 都垂直F C.PM 是 作一条直线和 一个平面和面 DEF D.PF平面 DEF第 3 题图A. 且 lm6.AB 是圆的直径，P到 AB的距离为A.1 B.2B. 且 m ,lC.m 且 lm,m 和 m ,那么必有(D.且C 是圆周上一点， PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1

8、,AC=2,PC=1，则)C. 2 553557. 有三个命题： 垂直于同一个平面的两条直线平行； 过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.38. d 是异面直线 a、b 的公垂线，平面 、 满足 a，b，则下面正确的结论是 ( )A. 与必相交且交线 md 或 m 与 d 重合B. 与必相交且交线 md 但 m与 d 不重合C. 与必相交且交线 m与 d 一定不平行D.与不一定相交9. 设 l、m 为直线， 为平面，且 l ，给出下列命题 若 m，则 m

9、l；若 ml，则 m ；若 m ，则 ml；若 ml，则 m ，其中真命题的序号是( )A.B.C. D. 10. 已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题：若，则 lm；若 ，则 lm；若 lm，则；若 lm，则 .其中正确的命题是 ( )A.与B.与C.与 D. 与、思维激活 的同侧，它们在 AA 3cm，BB内的射影分别为 A， B， 5cm， CC 4cm，则 A11. 如图所示， ABC 是直角三角形， AB 是斜边，三个顶点在平面 C，如果 A B C是正三角形，且 B C的面积是.第 11 题图第 12 题图 A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形 ABCD 满足

10、条件 有 A1CB1D1(注 :填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形 ) 13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件 有 VC AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)12.如图所示 ,在直四棱柱时,时，三、能力提高14. 如图所示 ,三棱锥 V-ABC中,AH侧面 VBC,且 H是 VBC 的垂心， BE 是 VC边上的 高.(1) 求证 :VCAB;第 14 题图(2) 若二面角 EABC的大小为 30,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小 .15. 如图所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分别是 AB、 PC 的中

11、点 .(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证： MNCD.(3) 若 PDA 45，求证： MN平面 PCD.16. 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 4，AD2，侧棱 PB 15，PD 3 .(1) 求证： BD 平面 PAD.第 16 题图(2) 若 PD 与底面 ABCD 成 60的角，试求二面角 PBC A的大小 . 第 15题图a，M 是 AD 的中点， N 是 BD第 18 题图17. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1= 6，M 是 CC1 的中点，求证： AB1 A1M18. 如图所示，正方体

12、 ABCD ABCD的棱长为 上一点，且 DNNB1 2，MC 与 BD 交于 P.(1) 求证： NP平面 ABCD.(2) 求平面 PNC 与平面 CCD D 所成的角 .(3)求点 C 到平面 D MB 的距离 .第 4 课 线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平 行.2. C 由线面垂直的性质定理可知 .3. A 折后 DP PE,DP PF， PEPF.4. D 过 a上任一点作直线 b b,则 a， b确定的平面与直线 b 平行.5. A,m且 m ,则必有 ,又因为 l=则有 l ,而 m则 l m,故选 A.6. D

13、 P 作 PD AB 于 D ， 连 CD ， 则 CD AB ， AB= AC2 BC 2 5 ，CDAC BCAB2PD= PC2 CD2 1 4 3 5 .557. D 由定理及性质知三个命题均正确 .8. A 显然 与不平行 .9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面 垂直 .10. B ，l， lm11. 3 cm2 设正三角 AB C的边长为 a.22 2 2 2 2 AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4， 又 AC2+BC2=AB2， a2=23 2 3 2 SAB C=a cm 4212. 在直四棱柱 A1 B1C1D

14、 1 ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导出 这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等 )时 ,有 A1C B1D1(注:填上你认为正确 的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形 ).点评： 本题为探索性题目， 由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了 三垂线定理但答案不惟一 ,要求思维应灵活 .13. VCVA，VCAB. 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB.14. (1)证明: H为 VBC的垂心 , VCBE,又 AH 平面 VBC, BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC. (2)解:由(1)知 VC

15、 AB,VC BE, VC 平面 ABE,在平面 ABE上,作 ED AB ,又 ABVC, AB面 DEC. ABCD , EDC 为二面角 EABC 的平面角， EDC =30 ,AB 平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影为 CD. VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角 ,又 VCAB,VC BE,VC面 ABE,VC DE, CED=90 ,故 ECD=60 ,第 15 题图解VC与面 ABC 所成角为 60.15.证明： (1) 如图所示，取PD 的中点 E，连结 AE， EN，则有 ENCD ABAM，11EN CD ABAM ，故 AMNE 为平行四边形 .22MNAE

16、. AE 平面 PAD ，MN 平面 PAD， MN 平面 PAD.(2) PA平面 ABCD， PAAB.又 ADAB， AB平面 PAD. ABAE，即 AB MN.又 CDAB， MNCD.(3) PA平面 ABCD ， PAAD . 又 PDA45， E为 PD 的中点. AEPD，即 MNPD.又 MNCD ， MN 平面 PCD.16.如图 (1)证：由已知 AB 4，AD， BAD 60， 故 BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-224 1 12.第 16 题图解2 又 AB2AD2+BD2， ABD 是直角三角形， ADB 90，即 AD BD .在 PDB 中

17、，PD 3，PB 15 ，BD 12， PB2PD2+BD2，故得 PD BD .又 PDADD， BD 平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD， BD 平面 ABCD. 平面 PAD平面 ABCD .作 PEAD 于 E， 又 PE 平面 PAD ， PE平面 ABCD ， PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角 . PDE 60， PEPDsin60 3 3 3 .22 作 EF BC 于 F，连 PF，则 PF BF， PFE 是二面角 PBCA 的平面角 .又 EFBD 12 ，在 RtPEF 中，3PE 2 3tanPFEEF 2 3 4故二面角 PBCA 的大小为arcta

18、n 3417. 连结 AC1，AC 3MC1 622 CC1C1 A1 Rt ACC 1Rt MC1A1， AC1C= MA1C1， A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1M AC1,又 ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又 B1C1A1C1， B1C1平面 AC1M. 由三垂线定理知 AB1 A1M.点评： 要证 AB1A1M，因 B1C1平面 AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M 一定会成立18.(1) 证明：在正方形 ABCD 中， MPD CPB，且 MD 1BC，2 DPPB MD BC12.又已知 DNNB 12， 由平行截割定

19、理的逆定理得 NPDD ，又 DD 平面 ABCD， NP 平面 ABCD.(2) NPDD CC， NP、CC在同一平面内， CC为平面 NPC 与平面 CCDD 所成二面角的棱 . 又由 CC平面 ABCD ，得 CC CD，CCCM， MCD 为该二面角的平面角 .在 Rt MCD 中可知 MCD arctan 1 ，即为所求二面角的大小 .2a2 6(3) 由已知棱长为 a可得，等腰 MBC面积 S1a2 ，等腰 MBD 面积 S2 46 a2 ，设所求距离为 h，三棱锥 D 即为三棱锥 CDMB 的高 .11BCM 体积为 S1 DDS2h ，33S1 a6ha.S23空间中的计算基

20、础技能篇 类型一：点到面的距离方法 1：直接法 把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例 1 ：在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求点 A 到面 BCD 的距离。变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到 底面 ABCD 的距离。变式 2在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到底 面 VCD 的距离。方法 2：等体积法求距离 - 在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同 的底和高来达到目的。例2 已知在三棱锥 VABC 中， VA,VB,VC 两两垂直， VA=VB=3 ，V

21、C=4，求 点V 到面 ABC 的距离。变式 1：如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的，其 中 AB 4,BC 2,CC1 3,BE 1（ 1）求 BF 的长；（ 2）求点 C 到平面 AEC1F 的距离变式 2 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形， ABC4OA 面 ABCD , OA 2 ,求点 B 到平面 OCD 的距离_O_D例 3 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是四边长为 1的菱形， ABC, OA4面 ABCD , OA 2 ,M 为 OC 的中点，求 AM 和点 A 到直线 OC 的距离_O举一反三1正三棱锥 P-ABC高为 2，侧棱与底面所成角为 45 ，则点 A 到侧面 PBC 的距离是A 4 5B 6 5 C 6 D 4 6已知正三棱柱 ABC A1 B1C1的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为2如图，出发，A10B20 C 30 D40二、填空题：3太阳光照射高为3 m的竹竿时，它在水平地面上的射影为 1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度 AB等于 3 3 cm,则该球的体积为 4若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长