12几何向量及线性运算3.1-3.2.3向量积

1、1 山东科技大学信息学院山东科技大学信息学院 刘西奎刘西奎 2 几何向量的线性运算几何向量的线性运算 空间中的平面与直线空间中的平面与直线 t数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积 3 4 5 6 ， ： , , , ., , AB a, a ,ABa A B a 坐标坐标 (x,y,z) 7 a 1 a 的负向量与的负向量与a 大小相等方向相大小相等方向相 反反, ,记为记为 a 0a ab 同向或反向的向量同向或反向的向量. 平行与同一平面的向量平行与同一平面的向量. . 任意两向量都共面任意两向量都共面. . 8 b a a+b a b a+b 首尾相连首尾相连, ,a起点起点 指

2、向指向b终点终点 c = a+b 9 a b c d e e = a + b + c + d n个向量之和个向量之和,只要把它们只要把它们 相继地首尾连接后，从第一个向量的起点相继地首尾连接后，从第一个向量的起点 到最后一个向量的终点的向量到最后一个向量的终点的向量,即为和向量即为和向量. 如如 10 a + b = b+ a 2) (a + b) + c = a +(b+ c) ) : : a +0 = 0 + a = a a +(- a) = (- a)+ a = 0 aba( b) b 两起点置一处两起点置一处, , b终点指向终点指向a终点终点 a ab 11 (1) 1a = a,

3、(-1)a = -a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb kaa 长度长度 0, 0, 0, a aa k k k k kk 方向方向 同向同向 反向反向 不定不定 规定规定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 0 12 a0 ,a0 = a |a| ,a . . a = a a0 （） /(), / a bba aa0 0 1 a b a （1） （2） a b .abab（3） 13 0 a = (- / )b a, b 0 b = (- / )a a, b a,b a +b =

4、0. a, b a = kbb = ka, a +b = 0, a +b = 0. 14 a1,a2, a3 k1, k2, k3 aaa 1 12233 0kkk a2 a3 a1 k1 a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3 15 平行四边形平行四边形ABCD( (如图如图) ), , 试用试用a、b 表示表示 . . ,ab ABAD 和和, MA MB MCMD 因为平行四边形的对角线互相平分因为平行四边形的对角线互相平分 所以所以 2ab ACMC () 1 2 ab MC a b M AB CD () 1 2 ab MAMC ,() 1 2 2 abab DBMBMB

5、 ()() 11 22 abba MDMB 16 前面讨论的向量及运算只是在几何前面讨论的向量及运算只是在几何 作图，而这节的目的是用投影法得到向作图，而这节的目的是用投影法得到向 量的坐标，即将向量与数对应起来，把量的坐标，即将向量与数对应起来，把 向量的代数运算转化为数量（坐标）的向量的代数运算转化为数量（坐标）的 代数运算，实际上是对向量及运算进行代数运算，实际上是对向量及运算进行 定量的描述定量的描述. 17 a b 注：零向量与任一向量的夹角可以在注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到到 间任意间任意 取值取值. 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过

6、间不超过 的夹角的夹角. a b 2.2.点在点在u轴上的投影轴上的投影：若若A为空间中一点为空间中一点, u 为一轴，过为一轴，过 A点作垂直于点作垂直于 u 轴的平轴的平 面面 ，则，则 与轴与轴 的交点的交点 为为A在在 轴轴 上的投影上的投影. u A u 18 AB , , u (),u u AA 1 投 轴 ()u u BB 2 投 轴 A B u 与与A Bu 与与 反反A B与与 A B A Bu AB u A B 投影轴投影轴 u1 1u2 2 B A 3 3.向量在向量在u轴上轴上投影投影: : u rj21 P ABA Buu 19 u A B u1 1u2 2 A B

7、C C u3 3 a b A B u1 1u2 2 B u B A u u rj Pcos,ABABABu uuu rjrjrj P ()PPabab : 20 数量积（数）数量积（数） 21 |cos| |cos WFSFS F S F 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下，的作用下， 沿直线运动产生的位移为沿直线运动产生的位移为 时，则力时，则力 所所 做的功是做的功是: F S 抽去物理意义，就是两个向量确定一抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算个数的运算. 22 rjrj |cos,|P|P ab a baba babba 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量

8、一个向量的模乘以另一个向量在这个向量 上的投影上的投影. a b 23 a bb a （1）交换律：）交换律： ()ab ca cb c （2）分配律：）分配律： ()()()a ba bab () ()()mmaba b （3）结合律：）结合律： 0a b , a b （1） , 中未必有中未必有0向量向量, 也可也可. （2） 无意义无意义. （3）数量积不满足消去律即）数量积不满足消去律即 ab a b c ,a ba c abc 0 a b c 22 | | cos| |0, | |a aaaaa a （4） 0a a a 0 a (b-c). ： （1 1） （2 2） （4 4）

9、|a|=aa ,ab00 (,) aba b 3 2 a b a b=0 ,0b rj P b a b a b ,arccos | a b a b ab 25 设设( (a +3+3b) )(7(7a-5-5b) ), ,且且( (a -4-4b) )(7(7a-2-2b) 求求 . 22 22 (3 ) (75 )715160 (4 ) (72 )78300 abababa b abababa b cos 2 b a 由上式消去由上式消去 2 2 23460aba b 得得 cos 2 a b由上式消去由上式消去 22 1613220baa b 得得 1 cos, 23 26 用向量证明余弦

10、定理用向量证明余弦定理. . ABC 2 BC 2 ACAB () ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB 22 2 cos Aabcbc 222 2 中中 b c a AB C 27 a, b a b sin,a ba ba b . . 都非零且不共线都非零且不共线, ,则则,a b| |cab , a b以以 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积. . a b a b , a ba a bba, b a b b a 28 ()()()ababa b kkk ()abca ba c abb a aa 0（1） 0 a b（2） （3）反交换律）反交换律： （4）结合律）结合律: : （5）分配律）分配律: : 规定规定/0a / ,a b 29 (1)(1) (2)(2)： a b h h=|b|sina，b= |ab| |a| (3)(3)： (4)(4) /