11平面问题极坐标解答11

1、弹塑性力学 第七章第七章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程 7-27-2 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 弹塑性力学 第七章第七章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 （续（续1 1） 第七章概述与学习指导：第七章概述与学习指导： 本章介绍了弹塑性力学平面问题极坐标解答的相关理论。本章介绍了弹塑性力学平面问题极坐标解答

2、的相关理论。 首先给出了平面问题极坐标解答的基本方程。然后直接采用应首先给出了平面问题极坐标解答的基本方程。然后直接采用应 力解法力解法应力函数解法应力函数解法逆解法分析求解平面问题。最后逆解法分析求解平面问题。最后 几节介绍了厚壁圆筒问题、孔边应力集中问题、半无限平面体几节介绍了厚壁圆筒问题、孔边应力集中问题、半无限平面体 问题等几个与工程密切相关的有实用价值的弹塑性力学问题。问题等几个与工程密切相关的有实用价值的弹塑性力学问题。 本章内容的学习可分成以下三部分进行学习。本章内容的学习可分成以下三部分进行学习。 其一：其一： 正确了解平面问题极坐标求解基本方程与平面问题正确了解平面问题极坐标

3、求解基本方程与平面问题 直角坐标基本方程间的差异，以及产生差异的原因。熟悉平面直角坐标基本方程间的差异，以及产生差异的原因。熟悉平面 问题极坐标求解基本方程。这些内容涉及教材问题极坐标求解基本方程。这些内容涉及教材7-1节。节。 弹塑性力学 第七章第七章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 （续（续2 2） 其二：其二：正确理解轴对称问题、平面问题极坐标用应力函数正确理解轴对称问题、平面问题极坐标用应力函数 表示的相容方程等概念。熟悉并掌握平面问题极坐标按应力求表示的相容方程等概念。熟悉并掌握平面问题极坐标按应力求 解，再引入应力函数求解问题的基本思路、基本方程和基本解解，再引入应力函数求解

4、问题的基本思路、基本方程和基本解 题技巧，并注意与直角坐标相关内容的比较。题技巧，并注意与直角坐标相关内容的比较。 本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数 作为基本未知函数进行求解作为基本未知函数进行求解, , 并以极坐标来表示问题的解答。并以极坐标来表示问题的解答。 在学习本章时在学习本章时, , 应重点掌握应重点掌握: : 3. 3. 求出应力解后，再求出应力解后，再由应力求位移的思路和方法。由应力求位移的思路和方法。 这些内容涉及教材这些内容涉及教材7-17-1、7-27-2节。节。 1. 1. 按应力函数按应力函数 求解

5、时求解时, , 函数函数必须满足的条件。必须满足的条件。 2. 2. 按应力函数按应力函数 求解时逆解法的具体应用。求解时逆解法的具体应用。 弹塑性力学 第七章第七章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 （续（续3 3） 其三：其三：本章后几节讨论了厚壁圆筒问题、孔边应力本章后几节讨论了厚壁圆筒问题、孔边应力 集中问题、半无限平面体问题等几个与工程密切相关的集中问题、半无限平面体问题等几个与工程密切相关的 有实用价值的弹塑性力学问题。应特别注意教材中与工有实用价值的弹塑性力学问题。应特别注意教材中与工 程实际问题相关的有实用价值的讨论内容。这些内容涉程实际问题相关的有实用价值的讨论内容。这些

6、内容涉 及教材及教材7-3、7-4、7-5节。节。 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程 在实际问题中，物体结构的形状和受力情况是复杂的，若在实际问题中，物体结构的形状和受力情况是复杂的，若 能选用合适的坐标系将使求解问题简单方便。例如对圆筒、圆能选用合适的坐标系将使求解问题简单方便。例如对圆筒、圆 盘、圆弧形曲梁、扇形平板以及半元限平面体等问题，若采用盘、圆弧形曲梁、扇形平板以及半元限平面体等问题，若采用 极坐标求解则显得特别方便。极坐标求解则显得特别方便。 在平面极坐标系内，任意一点在平面极坐标系内，任意一点P的位置，可用矢径的位置，可用

7、矢径 r 和极角和极角 来表示，如图来表示，如图7-1 所示。于是极坐标与直角坐标的关系为：所示。于是极坐标与直角坐标的关系为： 在平面问题中，应力、应变在平面问题中，应力、应变 和和 位移等函数均与位移等函数均与z无关，只是无关，只是 r 和和 的函数。的函数。 2221 ;ta n y r x y x (7-1) 2221 ;tan y rx y x 弹塑性力学 1. 平衡微分方程平衡微分方程: 现用半径分别为现用半径分别为 和和 ，一的两圆柱面和成，一的两圆柱面和成 角的两角的两 径向平面，在物体内截取一单位厚度的微单元体径向平面，在物体内截取一单位厚度的微单元体 ，考察此，考察此 微单

8、元体的平衡。这里微单元体的平衡。这里 称为径向正应力，称为径向正应力， 称为环向正应力。称为环向正应力。 由剪应力互等定理有由剪应力互等定理有 。同时，以。同时，以 分别表示径分别表示径 向与环向体力分量。于是由向与环向体力分量。于是由 的平衡条件，有的平衡条件，有:0 r F r FF 、 rr r abcd drdrr 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续1 1） sinsin 22 coscos0 22 r rr r rrr dd drrdr drdddrdr r dd ddrdrFrdrd (a) 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示

9、用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续2 2） 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续3 3） 0 2 0 rrr r rr F rrr F rrr (7-3) 此式即为用极坐标表示的平面问题的平衡微分方程。此式即为用极坐标表示的平面问题的平衡微分方程。 同理，由同理，由 ，得其第二式，即：，得其第二式，即： 0F 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续4 4） 2. 几何方程几何方程: 设所取微单元体设所取微单元体 ABCD 变形后到达新位置变形后到达新位置A

10、BCD， 如图如图7-3所示。现研究其变所示。现研究其变 形前后的几何关系。用极形前后的几何关系。用极 坐标表示的平面问题的几坐标表示的平面问题的几 何方程为：何方程为： r r u r vu rr vcu rrr (7-4) 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续5 5） 3. 物理方程物理方程: 因极坐标与直角坐标均为正交坐标系，故在极坐标系中的物因极坐标与直角坐标均为正交坐标系，故在极坐标系中的物 理方程与直角坐标系中的物理方程相类似，只需将应力的角标做理方程与直角坐标系中的物理方程相类似，只需将应力的角标做 相应的更换。于是关于

11、各向同性弹性体的物理方程如下。相应的更换。于是关于各向同性弹性体的物理方程如下。 对于平面应力问题，有：对于平面应力问题，有： 1 1 21 rr r rr E E E (7-5) 2 2 1 1 2 1 rr r rr E E E (7-6) 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续6 6） 4. 应力函数和变形谐调方程应力函数和变形谐调方程: 在极坐标系中，用应力函数在极坐标系中，用应力函数(r，)表示的变形谐调方程，可表示的变形谐调方程，可 直接由直角坐标双调和方程推出。直接由直角坐标双调和方程推出。 用极坐标应力函数用极坐标应力函

12、数(r，)表示的平面问题的变形谐调方程为：表示的平面问题的变形谐调方程为： 2222 222222 1111 ,0r rr rrrr rr (7-7) 224 ,0rr (7-8) 在体力为常数或不计时，平面问题的极坐标解答，同样可归在体力为常数或不计时，平面问题的极坐标解答，同样可归 结为求双调和方程（结为求双调和方程（7-8）的应力函数）的应力函数（r，）。）。 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续7 7） 5 . 用应力函数用应力函数(r，)表示的应力分量表示的应力分量: 2 22 2 2 2 2 11 111 r r rrr

13、r rr rr r (7-10) 式（式（7-l0）即为用极坐标应力函数）即为用极坐标应力函数(r，)表示的应力分量求表示的应力分量求 解公式。解公式。 弹塑性力学 7-1 7-1 用极坐标表示用极坐标表示平面问题平面问题的基本方程的基本方程（续（续8 8） 采用极坐标系解平面问题，进一步采用：采用极坐标系解平面问题，进一步采用： 应力解法应力解法引入应力函数解法引入应力函数解法 当体力为常量或不计体力时，平面问题的求解就归结为：当体力为常量或不计体力时，平面问题的求解就归结为： 首先寻求满足相容方程（首先寻求满足相容方程（7-7或或7-8）的一个双调和函数）的一个双调和函数 （逆解法）（逆解

14、法） ，再由式（，再由式（7-10）求出应力分量，并令）求出应力分量，并令 应力分量满足问题的静力边界条件即可。应力分量满足问题的静力边界条件即可。 , r（） 弹塑性力学 7-27-2 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 在平面问题中，当所考察的物体的形状及所受的外力对称于在平面问题中，当所考察的物体的形状及所受的外力对称于 通过坐标原点通过坐标原点 0 并与并与 xOy 平面垂直的轴线时，由于变形的对称平面垂直的轴线时，由于变形的对称 性，物体内的应力分布也对称于该轴线，这类问题称为性，物体内的应力分布也对称于该轴线，这类问题称为轴对称应轴对称应 力分布问题或轴对称问题力分布问题

15、或轴对称问题。 此问题的应力函数可取为：此问题的应力函数可取为： 代入式（代入式（7-11），得到应力分量的表达式；），得到应力分量的表达式； =Alnr+Br2lnr+Cr2+D (7-14) 2 2 12ln2 32ln2 0 r r A BrC r A BrC r (7-15) 弹塑性力学 7-27-2 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 （续（续1 1） 应力分量的表达式：应力分量的表达式： 2 2 12ln2 32ln2 0 r r A BrC r A BrC r (7-15) 式中待定常数式中待定常数A、B、C可由具体问题的边界条件来确定。接着可由具体问题的边界条件来确定

16、。接着 考察轴对称问题的变形和位移。对于平面应力问题，将应力分考察轴对称问题的变形和位移。对于平面应力问题，将应力分 量式量式(7-15)代人物理方程代人物理方程(7-5)，得：，得： 弹塑性力学 7-27-2 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 （续（续2 2） 2 2 1 11 32 1ln2 1 1 132 1ln2 1 0 r r A BBrC Er A BBrC Er (7-16) 应变分量的表达式：应变分量的表达式： 位移分量表达式为：位移分量表达式为： 1 11 321ln1 21sincos 4 cossin A uBrBrrCrIK Er Br vHr IK E 其

17、中，其中，A、B、C、H、I、K 都是待定常数，而常数都是待定常数，而常数 H、I、K 表表 示刚性位移。示刚性位移。 (7-17) 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 a q 厚壁长圆筒是工程结构中常见的重要构件之一。现以厚壁长圆筒是工程结构中常见的重要构件之一。现以 a、b 分分 别表示长圆筒的内、外半径，厚壁筒一般认为别表示长圆筒的内、外半径，厚壁筒一般认为b ：a 1.1。并设其。并设其 内、外壁上分别受均匀分布压力内、外壁上分别受均匀分布压力 和和 作用，如图作用，如图7-5 所示。所示。 若不计自重，则圆筒的结构形状与受力状态均

18、对称于轴线，故此若不计自重，则圆筒的结构形状与受力状态均对称于轴线，故此 问题为轴对称问题。问题为轴对称问题。 b q a q 弹塑性力学 可得相应的径向位移公式为：可得相应的径向位移公式为： 22 22 22 22 1 12 ab ab a qb qr qqa b u Ebabar 平面应变问题承受内、外均匀压力的厚壁圆筒应力计算公式平面应变问题承受内、外均匀压力的厚壁圆筒应力计算公式 （Lame公式）经推导得：公式）经推导得： 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续1 1） 1. 弹性解弹性解 : e qq (7-19) (7-18) 22

19、22 2222 22 22 2222 ;0 ba ab r ba ab rrr a bqqa qb q baba a bqqa qb q baba 2 2 1 r 1 r z 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续2 2） 下面给出两种均匀压力分别单独作用下厚壁圆筒的推导结果：下面给出两种均匀压力分别单独作用下厚壁圆筒的推导结果： A. 厚壁圆筒仅受均匀内压，则应力分量为：厚壁圆筒仅受均匀内压，则应力分量为： 22 222 22 222 1 1 a r a zr a qb bar a qb bar 平面应变 (7-21) 只有内压而无

20、外压的情况在实际工程问题中较常见，如压力只有内压而无外压的情况在实际工程问题中较常见，如压力 油缸、高压容器等。油缸、高压容器等。 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续3 3） B. 厚壁圆筒仅受均匀外压则应力分量为：厚壁圆筒仅受均匀外压则应力分量为： 22 222 22 222 1 1 b r b zr a qa bar a qa bar 平 面 应 变 (7-22) 两种均压情形中的应力分量沿壁厚的变化如图两种均压情形中的应力分量沿壁厚的变化如图 7-6 所示。由所示。由 图中可知，径向应力均为压应力，且在受载荷作用的表面上为最

21、图中可知，径向应力均为压应力，且在受载荷作用的表面上为最 大值。环向应力的符号取决于受力状况，受内压时为正，其最大大值。环向应力的符号取决于受力状况，受内压时为正，其最大 值产生于内壁；受外压时为负，内壁处的绝对值最大。显然，当值产生于内壁；受外压时为负，内壁处的绝对值最大。显然，当 厚壁圆筒只受内压时，其内壁各点的应力厚壁圆筒只受内压时，其内壁各点的应力 和和 都达到了最都达到了最 大值，且为异号，这对设计是极为不利的。大值，且为异号，这对设计是极为不利的。 r 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续4 4） 弹塑性力学 7-3 7

22、-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续5 5） 由以上分析知，如为了提高只受均布内压厚壁圆筒由以上分析知，如为了提高只受均布内压厚壁圆筒 的强度而增加壁厚，收效甚微。的强度而增加壁厚，收效甚微。 因此，在工程上为了使厚壁圆筒内壁各点应力合理因此，在工程上为了使厚壁圆筒内壁各点应力合理 分布，常采用组合圆筒方法。所谓组合圆筒方法就是将分布，常采用组合圆筒方法。所谓组合圆筒方法就是将 两个或多个圆筒以过盈配合的方法（热压配合或压入配两个或多个圆筒以过盈配合的方法（热压配合或压入配 合）构成组合套筒，这种装配应力与内压力引起的工作合）构成组合套筒，这种装配应力与

23、内压力引起的工作 应力叠加，可大大地提高圆筒的承载能力。例如夹层炮应力叠加，可大大地提高圆筒的承载能力。例如夹层炮 筒、轮轴套合，以及压力隧道等的设计均采用此种方法。筒、轮轴套合，以及压力隧道等的设计均采用此种方法。 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续6 6） 2. 承受内压的厚壁圆筒弹塑性解承受内压的厚壁圆筒弹塑性解 : 假设圆筒为理想弹塑性材料，假设圆筒为理想弹塑性材料， 如图如图7-7所示。显然，随着压力所示。显然，随着压力 q 的增加，圆筒内应力都在不断增的增加，圆筒内应力都在不断增 加。当应力分量的组合达到某一加。当应力

24、分量的组合达到某一 临界值时，该处材料就进入塑性临界值时，该处材料就进入塑性 变形状态，并逐渐形成塑性区，变形状态，并逐渐形成塑性区， 随着压力的继续增加，塑性区不随着压力的继续增加，塑性区不 断扩大，弹性区不断相应减小，断扩大，弹性区不断相应减小， 直至圆筒的截面全部进入塑性状直至圆筒的截面全部进入塑性状 态。对于理想弹塑性材料，截面态。对于理想弹塑性材料，截面 全部进入塑性状态时即为圆筒的全部进入塑性状态时即为圆筒的 塑性极限状态。塑性极限状态。 es qqq 弹塑性力学 3. 承受内压的厚壁圆筒塑性解承受内压的厚壁圆筒塑性解 : 随着压力的继续增大，塑性区不断向外扩展，当随着压力的继续增

25、大，塑性区不断向外扩展，当r=c=b时，时， 整个截面整个截面(也即整个圆筒也即整个圆筒)进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限 状态，由于是理想弹塑性材料，此时的压力不能再继续增加，状态，由于是理想弹塑性材料，此时的压力不能再继续增加， 该临界值称为塑性极限压力，以该临界值称为塑性极限压力，以 表示。圆筒在未达到塑表示。圆筒在未达到塑 性极限状态之前，由于有外侧弹性区的约束，塑性区的变形与性极限状态之前，由于有外侧弹性区的约束，塑性区的变形与 弹性区的变形同属一个量级。一旦达到塑性极限状态，圆筒便弹性区的变形同属一个量级。一旦达到塑性极限状态，圆筒便 丧失了工作能力

26、。丧失了工作能力。 s qq s q 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续7 7） 弹塑性力学 7-3 7-3 承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解承受均匀压力的厚壁圆筒弹塑性解 （续（续8 8） 弹塑性力学 本节首先讨论受单向均匀拉力作用的带孔平板的应力计算，本节首先讨论受单向均匀拉力作用的带孔平板的应力计算， 然后将有关结果推广应用到带孔无限平板在两向压力作用下的然后将有关结果推广应用到带孔无限平板在两向压力作用下的 应力计算，以及相关应力计算，以及相关 的平面应变问题的应的平面应变问题的应 力和位移计算中去。力和位移计算中去。 而这些研究结果经

27、常而这些研究结果经常 被应用于工程结构设被应用于工程结构设 计、岩石破裂机理分计、岩石破裂机理分 析、地压分析以及岩析、地压分析以及岩 体应力测量技术中。体应力测量技术中。 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续1 1） 1. 单向均匀受拉无限平板中圆孔周围的应力计算：单向均匀受拉无限平板中圆孔周围的应力计算： 经分析推导，得该问题的应力函数和应力分量分别为：经分析推导，得该问题的应力函数和应力分量分别为： 4 2222 2 2ln2cos2 4 qa rarra r = 224 224 24 24

28、24 24 43 11cos2 2 3 11cos2 2 23 1sin2 2 r r paaa rrr paa rr paa rr = (7-34) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续2 2） 现考察孔边附近的应力情况：现考察孔边附近的应力情况： 0 1 2cos2 rr p (7-35) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续3 3） 对于椭圆形的孔（王龙甫，对于椭圆形的孔（王龙甫，l979），见图），见图7-12，当椭圆的一，当椭圆的一 个主轴（个主轴（2b）与受拉方向一致时，则在另一主轴）与受拉方向一致时，

29、则在另一主轴 （2a）端部产）端部产 生的应力为：生的应力为： max 2 1 a p b (7-37) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续4 4） 显然，如显然，如 a b ，则，则 ，且当，且当 b0时，时， 也即椭圆孔趋于一条裂纹（或裂隙）时，裂纹尖端的应也即椭圆孔趋于一条裂纹（或裂隙）时，裂纹尖端的应 力是相当大的。力是相当大的。 这种情况说明，垂直于受拉方向的裂纹，首先在其这种情况说明，垂直于受拉方向的裂纹，首先在其 端部扩展。工程上为防止裂纹的扩展，而加大其尖角处端部扩展。工程上为防止裂纹的扩展，而加大其尖角处 的曲率半径，如常在裂纹尖端钻

30、一小圆孔以降低应力集的曲率半径，如常在裂纹尖端钻一小圆孔以降低应力集 中的程度。中的程度。 max3p 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续5 5） 2. 双向均匀受压无限平板中圆孔周围的应力计算双向均匀受压无限平板中圆孔周围的应力计算 现考察带有圆孔的无限平板在两向受压下的应力计算。现考察带有圆孔的无限平板在两向受压下的应力计算。 以以 代表代表 x 的均布压力，的均布压力， 代表代表 y 方向的均布压力，如方向的均布压力，如 图图7-13（a）所示。此时对）所示。此时对 、 可分别运用上文推导的结果可分别运用上文推导的结果 式（式（7-34）进行叠加

31、即可。）进行叠加即可。 1 p 2 p 1 p 2 p 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续6 6） 仍以仍以 x 轴为轴为角的起始线。当只有角的起始线。当只有 作用时，则由式（作用时，则由式（7-34），）， 令令 ，得：，得： 1 p 1 pp 224 1 224 24 1 24 24 1 24 43 11cos2 2 3 11cos2 2 23 1sin2 2 r r paaa rrr paa rr paa rr (7-38) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续7 7） 当只有当只有 作用时，此时力的作用线

32、方向与作用时，此时力的作用线方向与角起始线有角起始线有 的夹角，故在式（的夹角，故在式（7-34）中除了以）中除了以 替换替换 外，还要用外，还要用 代代 ，从而得到：，从而得到： p 2 p 2 2 2 p 224 2 224 24 2 24 24 2 24 43 11cos2 2 3 11cos2 2 23 1sin2 2 r r paaa rrr paa rr paa rr (q) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续8 8） 将式（将式（7-38）与式（）与式（q）相加，即得到当）相加，即得到当 和和 同时作用时同时作用时 的应力计算公式：的应力

33、计算公式： 1 p 2 p 224 1212 224 24 1212 24 24 12 24 43 11cos2 22 3 11cos2 22 23 1sin2 2 r r ppppaaa rrr ppppaa rr ppaa rr (7-39) 弹塑性力学 7-47-4 圆孔附近的应力和位移圆孔附近的应力和位移 （续（续9 9） 由式（由式（7-39），若令），若令 ，即在，即在 x 方向受拉，而方向受拉，而 y 方向再方向再 等值受压时，如等值受压时，如 图图7-13(b) 所示，则有：所示，则有： 12 pp 24 2 24 4 2 4 24 2 24 43 1cos2 3 1cos2

34、23 1sin2 r r aa p rr a p r aa p rr (7-40) 需要指出，根据应力状态分析，上述这种受力状态相当于纯剪需要指出，根据应力状态分析，上述这种受力状态相当于纯剪 切，见切，见 图图7-13(b) 。 弹塑性力学 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 当建筑物地基土体作为弹性体考虑时，地表面受到当建筑物地基土体作为弹性体考虑时，地表面受到 带状载荷作用的问题，可化为弹性半无限平面体受垂直带状载荷作用的问题，可化为弹性半无限平面体受垂直 载荷作用的问题。此外，大尺寸薄平板边界受作用于板载荷作用的问题。此外，大尺寸薄平板边界受作用于板 的中面，且平行于板面的

35、外力作用时也属此类问题。不的中面，且平行于板面的外力作用时也属此类问题。不 过前者可作为平面应变问题来处理，后者则作为平面应过前者可作为平面应变问题来处理，后者则作为平面应 力问题来处理。以下我们按平面应力的情况来讨论，而力问题来处理。以下我们按平面应力的情况来讨论，而 所得结果对于平面应变情况的应力解仍然适用，位移和所得结果对于平面应变情况的应力解仍然适用，位移和 应变部分只需要更换一下弹性常数即可。应变部分只需要更换一下弹性常数即可。 弹塑性力学 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 （续（续1 1） 1. 楔形体顶端受集中力楔形体顶端受集中力: 设有一楔形体，其中心角为设有一楔

36、形体，其中心角为2，下端，下端 无限长，沿中心角的平分线上受集中力无限长，沿中心角的平分线上受集中力 P 作用，楔形体厚度取单位长，如图作用，楔形体厚度取单位长，如图7-14所示。所示。 从理论上来说，集中力从理论上来说，集中力P的作用点的作用点0附近的附近的 应力很大，往往超出弹性极限。应力很大，往往超出弹性极限。 经推导得到应力分量经推导得到应力分量: 2cos 2sin2 0 r r P r (7-48) 弹塑性力学 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 （续（续2 2） 2sin 2sin2 0 r r r (7-49) 当楔形体顶端在单位厚度上受到水平当楔形体顶端在单位厚度

37、上受到水平 力力 Q 作用时，如图作用时，如图7-15(a)所示，所示， 经推导得到应力分量经推导得到应力分量: 弹塑性力学 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 （续（续3 3） 2sincos2cossin 2sin22sin2 0 r r rr FF + (7-50) 当楔形体顶端受到任意方向的集中力当楔形体顶端受到任意方向的集中力 F 作用，作用，F 力与水平方向成力与水平方向成 角，如角，如 图图7-15(b) 所示，则此时可将所示，则此时可将F分解为一分解为一 个垂直力和一个水平力。个垂直力和一个水平力。 经推导得到应力分量经推导得到应力分量: 弹塑性力学 7-57-5 半无限平面体问题半无限平面体问题 （续（续4 4） 2. 半无限平面体边界上承受法向力半无限平面体边界上承受法向力: 当楔形