第4章平面任意力系修改稿

1、第4章平面任意力系修改稿 第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面平行力系平面平行力系 物体系统的平衡、静定和静不定问题物体系统的平衡、静定和静不定问题 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算 习题课 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 一、力线平移定理一、力线平移定理 定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平 行移至刚体内任一指定点，欲不改变

2、该力对刚体行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体 的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内 附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原 力对指定点的矩。力对指定点的矩。mB=Fd 用力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力用力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力 和一个力偶合成一个力。和一个力偶合成一个力。 A B F B A F F F A B m d F 第4章平面任意力系修改稿 工程实际意义: 1) 乒乓球旋转原理 2) 水瓶平衡原理 F C M F M M M G T T 二力平衡,力偶平衡 其它:攻丝锥,

3、开关水阀门等. 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 设平面任意力系如图（设平面任意力系如图（a），在平面内任取），在平面内任取 一点一点O，称为简化中心，由力线平移定理，将各，称为简化中心，由力线平移定理，将各 力平移至力平移至O点。于是可得平面汇交力系和附加力点。于是可得平面汇交力系和附加力 偶系如图（偶系如图（b）。其中：）。其中： O 1 A 2 A n A 1 F 2 F n F )(a O 1 F 1 m 2 F 2 m n F n mx y )(b O R O M x y )

4、(c )2 . 1)( )2 . 1( niFmm niFF iOi ii 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 对于汇交力系，由平面汇交力系的合成理论：对于汇交力系，由平面汇交力系的合成理论： FFFF FFFR n n 21 21 平面任意力系中各力的矢量和平面任意力系中各力的矢量和 称为平面称为平面 任意力系的主矢。所以力任意力系的主矢。所以力 等于原力系的主矢。等于原力系的主矢。 显然，主矢与简化中心的位置无关。显然，主矢与简化中心的位置无关。 F R YYYYR XXXXR ny

5、 nx 21 21 建立坐标：建立坐标： 因此，因此， 的大小和方向为：的大小和方向为：R 22 22 )()(YXRRR yx R X iR ),cos( R Y jR ),cos( 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论：对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论： )()()()( 21 21 iOnOOO nO FmFmFmFm mmmM 原力系各力对简化中心力矩的代数和原力系各力对简化中心力矩的代数和 称为原力系对简化中心的主矩。所以，称为原力系

6、对简化中心的主矩。所以， 等于原等于原 力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化 中心的位置有关。中心的位置有关。 )( iO Fm O M 平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩 综上所述可得如下结论：平面任意力系综上所述可得如下结论：平面任意力系 向作用面内任一点简化得到一个力和一个力向作用面内任一点简化得到一个力和一个力 偶，如图（偶，如图（c)所示。该力作用在简化中心，所示。该力作用在简化中心， 其大小

7、和方向等于原力系的主矢，该力偶之其大小和方向等于原力系的主矢，该力偶之 矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢与简矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢与简 化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置 有关。有关。 第4章平面任意力系修改稿 4.1 平面任意力系向作用面内一点简化 三、平面固定端约束三、平面固定端约束 物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约 束称为平面固定端约束。束称为平面固定端约束。 A A AA A X A Y A M 第4章平面任意力系修改稿 4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 一、简化结果分

8、析一、简化结果分析 1、主矢和主矩都等于零、主矢和主矩都等于零)0, 0( o MR 此时平面力系平衡。此时平面力系平衡。 2、主矢等于零，主矩不等于零、主矢等于零，主矩不等于零)0, 0( O MR 3、主矢不等于零，主矩等于零主矢不等于零，主矩等于零)0, 0( O MR 此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩M等等 于原力系对简化中心的主矩，即于原力系对简化中心的主矩，即 且且 此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。 )(FmM O 此时平面力系简化为一合力，作用在简化此时平面力系简化为一合力，作用在简化 中心，其大小和方向等于原力系的

9、主矢，即中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即 FR 第4章平面任意力系修改稿 4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 一、简化结果分析一、简化结果分析 4、主矢和主矩均不等于零、主矢和主矩均不等于零)0, 0( O MR 此时还可进一步简化为一合力。此时还可进一步简化为一合力。 O O O M R O O R R R d O O R d dRRdRmM OO )( 于是于是 R M d O 由主矩的定义知：由主矩的定义知： )( iOO FmM 所以：)()( iOO FmRm 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 等于力系中各

10、力对同一点之矩的代数和。即为平面等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面 任意力系的合力矩定理。任意力系的合力矩定理。 第4章平面任意力系修改稿 力系简化的 最后结果: 主矢R0 主矩MO0 主矩MO=0 一合力(原为汇交力系) 主矢R=0 主矩MO0 一合力偶(原为力偶系) 主矩MO=0 平衡 例:平面力系F1-F4有图示关系,则力系简化的结果为 F1 F2 F3 F4 x y A x=? y=? mo=? 或用平行四边形法则 第4章平面任意力系修改稿 4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 二、平行分布线荷载的简化二、平行分布线荷载的简化 分布在较大范围内，不能看作集中力的

11、荷载分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载 称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心 线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载， 简称线荷载。简称线荷载。 q x C x Q x y 结论：结论： 1、合力的大小等、合力的大小等 于线荷载所组成几何图形于线荷载所组成几何图形 的面积。的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。、合力的作用线通过荷载图的形心。 第4章平面任意力系修改稿 4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 二

12、、平行分布线荷载的简化二、平行分布线荷载的简化 Q q 2 l 2 l 1、均布荷载、均布荷载qlQ q Q 3 2l 3 l 2、三角形荷载、三角形荷载 qlQ 2 1 3、梯形荷载、梯形荷载 1 q 2 q l 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一、平衡条件和平衡方程一、平衡条件和平衡方程 1、平衡条件：平面任意力系平衡的必要与、平衡条件：平面任意力系平衡的必要与 充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都 等于零。即等于零。即 0R 0 O M 2、平衡方程：由于、平衡方程：由于 22 )()(YXR )( iOO

13、FmM ，因此平衡条件的解析方程为：，因此平衡条件的解析方程为： 0 X0Y0)(FmO 即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所 有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的 代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代 数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例1 P A a b q 求图示刚架的约束反力。 x a b q P A A X A Y A

14、 M y 解：以刚架为研究对象，受力 如图，建立如图所示的坐标。 0:0qbXX A 0:0PYY A :0)(FmA 0 2 1 2 qbPaM A 解之得： qbX A PY A 2 2 1 qbPaMA 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例2 b a P A B m 求图示梁的支座反力。 解：以梁为研究对象，受 力如图，建立如图所示的 坐标。P A B m A X A Y B Y x y 0cos:0PXX A 0sin:0PYYY BA 0)(sin:0)(mbaPaYFm BA 解之得： cosPX A a baPm YB )(sin a Pbm

15、YA sin 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例3 Q AB P m a bb 求图示平面刚架的约束反力。 解：以刚架为研究对象，受力如图， 建立如图所示的坐标。 P m a bb AB Q A X A Y B R x y 02:0)( 0:0 0:0 PamQbbRFm QRYY PXX BA BA A 解之得： b mPaQb Y b mQbPa R PX A B A 2 2 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例4 45 45A BC 30 1 F 2 F 2222 梁ABC用三链杆支 承，并受荷载 和 的作用， 如

16、图所示，试求每根 链杆所受的力。 kNF20 1 kNF40 2 ABC 30 1 F 2 F 2222 A S B S C S x y 解1：以梁为研究对象， 受力如图，建立如图 坐标。 030sin45cos45cos:0 2 FSSX BA 045cos45sin45sin:0 21 FFSSSY CBA 0245sin430cos68:0)( 12 FSFSFm BCA 解之得：)(8 .29);(5 . 3);(8 .31kNSkNSkNS CBA 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例4 解2：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 045cos

17、75cos45cos:0 21 CB SFFSX 045sin75sin45sin:0 21 CA SFFSY 0630sin230cos4:0)( 22 CD SFFFm 解之可得同上的结果。 A S ABC 30 1 F 2 F 2222 B S C S D E H x y 同样，亦可由 或 和前两个投影 方程联立求解。 0)(FmE 0)(FmH 第4章平面任意力系修改稿 例：图示悬臂起重机，不计AC自重，求：机构平衡时 B铰及AC杆受力？=30 解：取ABD，受力见原图 AB C P P aa 1.5a xB yB sAC =0 BSACcos=0 （1） y=0 yB+sACsin-

18、2p=0 （2） mB=0 sACsin1.5a-pa-p2a=0 （3） 得：sAC=4P B=23p yB=0 0 mA=0 yB1.5a-p0.5a+p0.5a=0 （4） mC=0 xB1.5atan-pa-p2a=0 （5） （4）,（5）代替了（2）,（1）,只能列三个独立平衡方程 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式 1、二矩式、二矩式 0)( 0)( 0 Fm Fm X B A 其中其中A、B两点的连线两点的连线AB不能垂直于不能垂直于x轴。轴。 2、三矩式、三矩式 0)( 0)( 0)( Fm Fm

19、Fm C B A 其中其中A、B、C三点不能在同一条直线上。三点不能在同一条直线上。 A B x F 第4章平面任意力系修改稿 平面力系向已知点简化只可能有三种结果： 合力、力偶或平衡。如果力系对点 A的主矩等于零，即MA=MA0， 则表明力系不可能简化为一力偶， 只可能是作用线通过A点的一合力或平衡。 同理，如果力系对另一点B的主矩 也同时为零，即MB=MB0，则该力系或 有一沿A、B连线的合力，或平衡， 如图3.16所示。但当力系又满足方程 Fx=0，那么力系如有合力，则此合 力必与x轴垂直。而连线A、B不垂直 于x轴，显然力系不可能有合力。 这就表明，只要适合以上三个方程及连 线A、B不

20、垂直于投影轴的附加条件， 则力系必平衡。三矩式读者可自己讨论。 A B FR x 图3.16 第4章平面任意力系修改稿 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例5 A B C O D G P rr 2 l 4 l A B C O D G P A N B N 均质杆AB长l,重为G，置于 光滑半圆槽内，圆槽半径为r， 力 铅垂向下作用于D点，如图， 求平衡时杆与水平线的夹角 。 P 解：以杆AB为研究对 象，受力如图。 0)(FmO 0sin)(cossin)( 2 2 2 4 2 2 2 lll rPrG 解之得： 22 42lr l GP P arctg 第4章平面任意力系修改稿 4.

21、4 平 面 平 行 力 系 一、平面平行力系的平衡方程一、平面平行力系的平衡方程 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称力的作用线在同一平面且相互平行的力系称 平面平行力系。平面平行力系。 O x y 1 F 2 F 3 F n F 平面平行力系作为平面任意力平面平行力系作为平面任意力 系的特殊情况，当它平衡时，也应系的特殊情况，当它平衡时，也应 满足平面任意力系的平衡方程，选满足平面任意力系的平衡方程，选 如图的坐标，则如图的坐标，则 自然满足。自然满足。 0 X 于是平面平行力系的平衡方程为：于是平面平行力系的平衡方程为： 0)(;0FmY O 平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：平面

22、平行力系的平衡方程也可表示为二矩式： 0)(; 0)(FmFm BA 其中其中AB连线不能与各力的作用线平行。连线不能与各力的作用线平行。 第4章平面任意力系修改稿 例例 3-7 如图3.19（a）所示塔式起重机， 机架重为G，其作用线离右轨B的距离为e， 轨距为b，最大载重P离右轨B的距离为l， 平衡锤的重力Q的作用线离左轨A的距离为x。 欲使起重机满载、空载时均不翻倒，试求平 衡锤的重力Q。 解解：取塔式起重机整体为研究对象。 作用于起重机上的力有：机架重G、 重物重P、 平衡锤重Q、钢轨的约束力FA、FB， 所有力构成平面平行力系，受力 如图3.19（b）所示。 一、平面平行力系的平衡方

23、程一、平面平行力系的平衡方程 平 面 平 行 力 系 第4章平面任意力系修改稿 （a） Q G e A B C D E bal P （b） Q G e A B C D E bal P F F 图3.19 第4章平面任意力系修改稿 满载时，若起重机翻倒，将绕B点顺时针转动，而轮 A离开钢轨，FA为零。若使起重机满载时平衡而不翻 倒，必须满足平衡方程 平 面 平 行 力 系 一、平面平行力系的平衡方程一、平面平行力系的平衡方程 0)(0)( bFPlGebaQM AB F 及限制条件 0 A F 解得 ba PlGe Q 第4章平面任意力系修改稿 空载时，P=0，若起重机翻倒，将绕A点逆时针转动，

24、 而轮B离开钢轨，FB为零。若使起重机空载时平衡而 不翻倒，必须满足平衡方程 平 面 平 行 力 系 一、平面平行力系的平衡方程一、平面平行力系的平衡方程 及限制条件 解得 0)(0)( bFbeGQaM BA F 0 B F a ebG Q )( 第4章平面任意力系修改稿 平 面 平 行 力 系 一、平面平行力系的平衡方程一、平面平行力系的平衡方程 因此，起重机满载、空载都不翻倒（稳定）时， 平衡锤重Q满足的条件为： a ebG Q ba PlGe)( 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 一、概念一、概念 由若干个物体通过约束所组成的系统称为由若干个物体通过约束所组

25、成的系统称为 物体系统，简称物系。物体系统，简称物系。 外界物体作用于系统的力称该系统的外力。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。 系统内各物体间相互作用的力称该系统的系统内各物体间相互作用的力称该系统的 内力。内力。 当整个系统平衡时，系统内每个物体都平当整个系统平衡时，系统内每个物体都平 衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必 然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研 究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是 单个物体。单个物体。 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物

26、 体 系 统 的 平 衡 一、静定和静不定的概念一、静定和静不定的概念 在静力学中求解物体系统的平衡问题在静力学中求解物体系统的平衡问题 时，若未知量的数目不超过独立平衡方程时，若未知量的数目不超过独立平衡方程 数目，则由刚体静力学理论，可把全部未数目，则由刚体静力学理论，可把全部未 知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量求出，这类问题称为静定问题。若未 知量的数目多于独立平衡方程数目，则全知量的数目多于独立平衡方程数目，则全 部未知量用刚体静力学理论无法求出，这部未知量用刚体静力学理论无法求出，这 类问题称为静不定问题或超静定问题。而类问题称为静不定问题或超静定问题。而 总未知量数与总独立

27、平衡方程数之差称为总未知量数与总独立平衡方程数之差称为 静不定次数。静不定次数。 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 一、静定和静不定的概念一、静定和静不定的概念 P P P P F P F P F 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例6 AB CD EF 1 2 3 q a a a b 组合结构的荷载和尺寸如 图所示，求支座反力和各链杆 的内力。 A B C D EF 1 2 3 q A X A Y D R 解：先以整体为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 0:0 DA RXX 0)2(:0baqY

28、Y A 0)2(:0)( 2 2 1 baqaRFm DA 解之得： a baq RD 2 )2( 2 a baq X A 2 )2( 2 )2(baqYA 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例6 C 1 S 2 S 3 S x y 45 再以铰C为研究对象，受力如 图，建立如图坐标。 045cos:0 31 SSX 045sin:0 32 SSY D RS 1 由于 ，代入解之得： a baq S 2 )2( 2 3 a baq S 2 )2( 2 2 当然，亦可以以AB为研究对象，求 和 。 2 S 3 S 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的

29、 平 衡 例例7 q P AB C aa a 求图示三铰刚架的支座反力。 解：先以整体为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 B Y P A B C q A X A Y B X x y 0:0PXXX BA 0:0qaYYY BA 02:0)( 2 3 aqaPaaYFm BA 可解得： qaPYB 4 3 2 1 PqaYA 2 1 4 1 P A Y C X A C A X C Y 再以AC为研究对象，受力如图。 0; 0)(aYaXFm AAC 解得： PqaYX AA2 1 4 1 qaPX B4 1 2 1 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例8 求图示

30、多跨静定梁的 支座反力。 解：先以CD为研究对象， 受力如图。 BC 221 3 P q A D q D C D R C X C Y 033:0)( 2 3 qRFm DC 解之得：qRD 2 3 P q A D BC D R B R A X A Y x y 再以整体为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 0:0 A XX 04:0qPRRYY DBA 064248:0)(qPRRFm BDA 解之得：qPRB3 2 1 qPYA 2 1 2 1 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例9 求图示结构固定端的约 束反力。 M B C B R C R M B C P q

31、 A a a b 解：先以BC为研究对象， 受力如图。 0:0mbRm C 于是得： BC R b m R P q A B R A M A X A Y x y 再以整体为研究对象，受力 如图，建立如图坐标。 0:0 BA RPXX 0:0qaYY A 0)(FmA 0)( 2 2 1 aRqabaPM BA 将 代入即可求得 、 、 。 BB RR A X A Y A M 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例10 0 q A P m B C D E 30 a a3 结构的荷载和尺寸如图， CE=ED，试求固定端A和铰支座 B的约束反力。 m B D B X B Y

32、 D X D Y 解：先以BD为研究对象， 受力如图。 0:0)(maXFm BD 解得： a m X B P m B C D E 30 B Y B X C X C Y 再以CDB局部为研究对 象，受力如图。 03:0)( 2 3 maPaYFm BC 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例10 解得： a mP B Y 3 3 2 0 q A P m B C D E 30 A M A X A Y B X B Y x y 最后以整体为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。 03:0 02 1 aqXXX BA 0:0PYYY BA :0)(FmA 0333 2 3 3

33、 2 02 3 aYaXmaPaaqM BBA 解之得： aqX a m A02 3 a mP A Y 3 3 2 maqM A 33 2 0 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例11 图示结构，各杆在A、 E、F、G处均为铰接，B 处为光滑接触。在C、D 两处分别作用力 和 ， 且 ，各杆自 重不计，求F处的约束反 力。 1 P 2 P NPP500 21 C B E F A G 1 P 2 P m2 m2 m2 m2m2m2 D AB C E F G 1 P 2 P A X A Y B N 解：先以整体为研 究对象，受力如图。 :0)(FmA 0624 12

34、PPN B 解得： NN B 1000 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例11 E F 2 P E X E Y F X F Y D 再以DF为研究对象，受力如图。 :0)(FmE 解得：NPYF500 2 B F G G Y G X F X F Y B N 最后以杆BG为研究对象，受 力如图。 :0)(FmG 0224 FFB XYN 解得：NX F 1500 2P2+2YF=0 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例12 三根等长同重均质杆（重W） 如图在铅垂面内以铰链和绳EF 构成正方形。已知：E、F是AB、 BC中点，AB水平，

35、求绳EF的张 力。 W AB T A X A Y B X B Y W A A Y A X W W B C D D X D Y 解1：先以AB为研究对象， 受力如图。不妨设杆长为 。 l :0)(FmB 045sin 22 ll A TWlY （1） 再以整体为研究对象，受力如图。 :0Y 03WYY DA （2） W W W AB C D E F 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例12 最后以DC为研究对象，受力如图。 :0)(FmC 0 2 l D WlY （3） 联立求解（1）（2）（3）得：WT24 W C D D X D Y C X C Y B Y W

36、B C T B X C X C Y 解2：先以BC为研究对象，受力如图。 :0)(FmB 045sin 2 l C TlX （4） 再以DC为研究对象，受力如图。 0:0 CD XXX （5） 最后以整体为研究对象，受力如图。 :0)(FmA 02 2 WlWlX l D （6） W A A Y A X W W B C D D X D Y 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例12 联立求解（4）（6）即可 的同样结果。 W W B C D D X D Y T B X B Y 解3：先以BCD为研究 对象，受力如图。 :0)(FmB 045sin 22 ll DD

37、TWlYlX （7） 联立求解（3）（6）（7）即可得同样结果。 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例13 A B CD E P l l l 3 2 三无重杆AC、BD、CD如 图铰接，B处为光滑接触， ABCD为正方形，在CD杆距C 三分之一处作用一垂直力 ， 求铰链E处的反力。 解：先以整体为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。 P A B CD E P l l 3 2 A X A Y B N x y 0:0 A XX 0:0)( 3 2 lPlNFm BA 0:0PNYY BA 解得： PYA 3 1 PN B3 2 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体

38、 系 统 的 平 衡 例例13 C D P l 3 2 C X C Y D X D Y 下面用不同的方法求解。 解1：先以DC为研究对 象，受力如图。 0:0)( 3 2 lPlYFm CD PYC 3 2 B E C D P l 3 2 C Y C X B N E X E Y x y 再以BDC为研究对象，受力 如图，建立如图坐标。 0:0PYNYY CBE PYE 3 1 0:0)( 232 l E ll EC YPXFm PX E 类似地，亦可以DC为研究对象，求 ，再以 ACD为研究对象，求解。 D Y 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例13 P A C

39、 D E D X D Y E X E Y A X A Y A C E C X C Y E X E Y A X A Y 解2：分别以ACD和AC为 研究对象，受力如图。 :0)(FmD 0 3 2 22 lPYXlX l E l EA :0)(FmC 0 22 l E l EAA YXlYlX 联立求解以上两方程即得同样结 果。 类似地，亦可以BDC和 BD为研究对象，进行求解。 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 例例13 D E B D Y D X B N 1E R 2E R A C E A X A Y C X C Y 1E R 2E R 解3：分别以BD和AC为研

40、 究对象，受力如图。 :0)(Fm D 0 2 2 1 lRlN EB PRE 3 22 1 :0)(FmC 0 2 2 2 lYlRlX AEA 23 2 2EE RPR 用 、 表示的约束 反力和用 、 表示的约束 反力本质上是同一个力。 1E R 2E R E X E Y 第4章平面任意力系修改稿 4.5 物 体 系 统 的 平 衡 思考题思考题 A B C E P x b D H 图示结构，在水平 杆AB上作用一铅垂向 下的力 ，试证明AC 杆所受的力与 的作 用位置无关。 P P 取整体,求YD,取AB求YH,取BAD求SAC 第4章平面任意力系修改稿 4.6 桁 架 的 内 力 计

41、 算 概概 念念 桁架是由杆件彼此在两端用铰链联接形成的几何桁架是由杆件彼此在两端用铰链联接形成的几何 形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内 的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。 为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几 个假设：个假设： （1）桁架的杆件都是直杆；）桁架的杆件都是直杆； （2）杆件用光滑铰链联接；）杆件用光滑铰链联接； （3）桁架所受的力都作用到节点上，且在桁架）桁架所受的力都作用到节点上，且在桁架 平面内；平面内； （4）桁架杆

42、件重不计，或平均分配在杆件两端）桁架杆件重不计，或平均分配在杆件两端 的节点上。的节点上。 这样的桁架，称为理想桁架。这样的桁架，称为理想桁架。 第4章平面任意力系修改稿 4.6 桁 架 的 内 力 计 算 一、节点法一、节点法 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求 桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为 研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。 P A B C D 30 30 1 2 3 4 5 m2m2 例14 平面桁架的尺寸和支 座如图，在节点D处受一

43、集中荷 载P=10kN的作用。试求桁架各 杆件所受的内力。 P AB C D A Y B X B Y x y 解：先以整体为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 0:0 B XX 0:0PYYY BA 042:0)( AB YPFm 解之得： kNYY BA 5 第4章平面任意力系修改稿 4.6 桁 架 的 内 力 计 算 一、节点法一、节点法 A A Y 1 S 2 S C 1 S 3 S 4 S D 3 S 2 S P 5 S 再分别以节点A、C、D为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 x y 对A：030cos:0 12 SSX 030sin:0 1 SYY A 解得： kNSkNS6

44、6. 8,10 21 对C：030cos30cos:0 14 SSX 030sin)(:0 413 SSSY 解得： kNSkNS10,10 34 对D：0:0 25 SSX 解得： kNS66. 8 5 P A B C D 30 30 1 2 3 4 5 m2m2 第4章平面任意力系修改稿 4.6 桁 架 的 内 力 计 算 二、截面法二、截面法 用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个 节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被 截杆件内力，这就是截面法。截杆件内力，这就是截面法。 B DF G 3 2 P x y B Y A C E 1 2 1 P A X A Y 解：以整体为研究对象， 受力如图，建立如图坐标。 0:0 A XX 0:0 21 PPYYY BA 0312:0)( 21 AB YPPFm 例15 图示平面桁架，各杆长 度均为1m，在节点E上作用荷 载 ，在节点D上作用 荷载 ，试求杆1、2、 3的内力。 kNP10 1 kNP7 2 AB CDF EG 1 2 3 1 P 2 P 第4章平面任意力系修改稿 4.6 桁 架 的 内 力 计 算 二、截面法二、截面法 解之得： kNYkNYX BAA